精品解析：江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年高二上学期9月阶段性检测数学试题

高二上9月阶段性检测数学 命题人：陈明 审题人：刘驰驰 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 3. 已知圆锥侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 4. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为（ ） A. 10米 B. 20米 C. 米 D. 米 5. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 6. 袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与B是互斥事件 B. 事件A与B是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 事件C与D不是互斥事件 7. 设为锐角，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线且在第一象限交椭圆于点，设与的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，值为的是（ ） A B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线，，，则 11. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台体积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 异面直线和所成的角的大小为 D. 圆台外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是______. 13. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 14. 杭州第19届亚运会主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）．会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示．一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示．若椭圆的方程为，下顶点为为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为__________；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 为了加深师生对党史了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； （2）利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； （3）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 17. 已知圆C经过两点，且在x轴上的截距之和为2． （1）求圆C的标准方程； （2）圆M与圆C关于直线对称，求过点且与圆M相切的直线方程. 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． （1）证明：； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的平面角为，求． 19. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8 （1）求椭圆C的方程; （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点 ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由. ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上9月阶段性检测数学 命题人：陈明 审题人：刘驰驰 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，可得，所以 所以5. 故选：B 2. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可. 【详解】因为，， 由可得且， 解得， 故选：C. 3. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据题意，列出方程，求得，进而求得圆锥的高，得到答案. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形， 可得，解得，所以圆锥的高为. 故选：B. 4. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为（ ） A. 10米 B. 20米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的条件，建立直角坐标系，可以求出双曲线的标准方程，即可解出． 【详解】解：建立如图的坐标系， 依题意，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，根据双曲线的对称性，点与点的纵坐标互为相反数，所以，则 由题意可知，，，， 设双曲线方程为：， ，解得，， ， 故选：． 5. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 故选：B 6. 袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A与B是互斥事件 B. 事件A与B是对立事件 C. 事件C与D相互独立 D. 事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 7. 设为锐角，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由为锐角，得，而， 因此， 所以 . 故选：B 8. 如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线且在第一象限交椭圆于点，设与的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程求出点的坐标，再由向量共线的坐标表示可得点的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值. 【详解】设椭圆的右顶点，上顶点， 则，且直线为， 由可得，所以直线为， 联立，解得，即， 因为，所以， 将代入椭圆方程化简得， 即，所以或（舍去）， 所以，即，所以离心率. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断. 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项C符合题意. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线斜率求出倾斜角判断A；求出过原点的直线方程判断B；求出平行线间距离判断C；由两直线垂直求出参数判断D. 【详解】对于A，直线的斜率，则其倾斜角为，A正确； 对于B，过点，且在，轴上截距互为相反数的直线还有过原点的，其方程为，B错误； 对于C，直线与直线，即间的距离，C正确； 对于D，由，得，且，解得，D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 异面直线和所成的角的大小为 D. 圆台外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，算出圆台上底面圆、下底面圆的面积和高即可求出圆台的体积； 对于B选项，根据线面角的定义计算即可； 对于C选项，取中点，连接，，，得到四边形为平行四边形，根据异面直线所成角的定义求解即可； 对于D选项，找出外接球半径并求出即可求解. 【详解】A.做圆台的轴截面如图所示，做，，得到四边形为平行四边形， 因为上底面圆的面积为， 下底面圆的面积为， 圆台的高， 则圆台的体积为，故A错误； B.与下底面所成的角为， 且，则， 且，则， 所以，故B正确； C.取中点，连接，，， 由为弧中点可得， 过点作，连接， 则，且，且， 则四边形为平行四边形， 所以，则异面直线和所成的角为与所成角， 即为，又，， 所以，在中，，， 则为等腰直角三角形，则，故C正确； 取中点，中点，连接，在上找一点，使得， 设，则， 由勾股定理得， 解得，即圆台外接圆的半径为， 所以圆台外接球的表面积为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，用，，这3类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统正常工作的概率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式求解． 【详解】设元件，，正常工作分别为事件，，， 则，，， ，中至少有一个正常工作的概率为：， 则系统正常工作概率为：． 故答案为：. 13. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 14. 杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）．会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示．一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示．若椭圆的方程为，下顶点为为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为__________；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】设，把已知用坐标表示并化简得轨迹方程后可得点坐标，用三角换元法设，求出后结合对称性、二次函数性质，正弦函数性质可得参数范围． 【详解】设，由得，化简得， ∴， 椭圆的方程是，设， ， 令，则， 依题意，点在轴上方，且关于轴对称，因此取最大值时，对应的， 时，取得最大值，且，又，因此可解得． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，解得（负值已舍去）， 所以. 16. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； （2）利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； （3）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【答案】（1），； （2）80； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图性质可得a，根据中位数的定义计算即可； （2）根据平均数定义计算即可； （3）根据古典概型公式计算即可． 小问1详解】 根据频率分布直方图性质，可得， 所以， 因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率， 设中位数为x，则 根据中位数的定义，可得， 所以； 【小问2详解】 根据平均数定义，可得， 即2000名师生的平均成绩为80. 【小问3详解】 因为第四组与第五组的频率之比为2:1， 故按照分层抽样第四组抽取人数4人，记为a，b，c，d；第五组抽取人数为2人，记为e，f， 从6人中选出2人，共有， 共有15种， 其中选出的2人来自同一组有7种， 则选出的2人中来自同一组的概率为． 17. 已知圆C经过两点，且在x轴上的截距之和为2． （1）求圆C的标准方程； （2）圆M与圆C关于直线对称，求过点且与圆M相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 设圆的方程为， 令，可得，则， 将代入可得，， 解得，所以圆方程为， 即. 【小问2详解】 圆C的圆心，圆的圆心与关于对称， ∴设圆的圆心为 则，解得， 圆的标准方程为：， 若过点的直线斜率不存在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． （1）证明：； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的平面角为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）只需结合已知证明平面即可，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）利用转换法，可知只需求出即可，再结合解三角形知识即可求解； （3）找出二面角的平面角，再结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， 【小问2详解】 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， 【小问3详解】 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 19. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8 （1）求椭圆C的方程; （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点 ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由. ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①直线AD恒过定点；② 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义得到，得到，结合离心率求出，从而求出，得到椭圆方程； （2）①设直线，，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，并求出，表达出直线的方程，由对称性可知直线若过定点，则定点在轴上，计算出直线AD恒过定点； ②利用计算出，使用基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由椭圆定义得， 故的周长为，解得， 又，解得，故， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 ①由题意得， 设直线，， 则联立得， 设， ， 则， ， 故， 由对称性可知， 则直线的斜率为， 直线的方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则定点在轴上， 令得，又， 故 ， 故直线AD恒过定点，定点坐标为； ②过点作⊥轴，交于点， 直线方程，令得， 故，所以， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积最大值为. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$