精品解析：河南省创新发展联盟2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

2024-2025年度河南省高三年级联考（二） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，再根据并集得出参数的值. 【详解】因为,，又因为， 所以即. 故选：C. 2. 已知符号）（表示不平行，向量，.设命题，，则（ ） A. ，，且为真命题 B. ，，且为真命题 C. ，，且为假命题 D. ，，且为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定求出，再结合向量共线判断真假即可. 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 则，，排除BD； 而向量，，当时，，即， 因此为真命题，排除C，A正确. 故选：A 3. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对A，当时可判断；对B，当时和两种情况讨论；对C，当时可判断；对D，当，时可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，当时， 当时，，则，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，当，时，，故D错误. 故选：B 4. 已知等比数列的前n项和为，且，则“”是“的公比为2”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 当时，，解得或，充分性不成立； 当时，，必要性成立. 所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件. 故选：A 5. 已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数的图象，得出关系式后，利用基本不等式得结果. 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知，又，可知， 所以，即，∴， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为4. 故选： 6. 三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量基本定理，利用坐标运算求解即可. 【详解】如图，以A为原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 设，则，故，， 作,交的延长线于点，由题意可知， 又，则，所以，所以， 因为，所以，则. 故选：A 7. 若，对恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可判断的正负，进而可知和是的两根，且，根据韦达定理列出等式，然后判断大小即可. 【详解】因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 因为在上恒成立， 所以和是的两根，且， 则，解得，， 所以，. 故选：B. 8. 已知A是函数图象上的一点，点B在直线上，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设上一点处的切线与平行，由导数几何意义得到，构造，求导得到其单调性，从而得到故只有1个零点，即0，故，的最小值为到直线的距离，从而得到答案. 【详解】设上一点处切线与平行， 则，则， 令，显然，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，恒成立，易知只有1个零点，即0， 所以，故点坐标为， 的最小值为到直线的距离，即， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列，的前n项和分别为，，且，则下列结论不正确的是（ ） A. 若是递增数列，则是递增数列 B. 若是递减数列，则是递减数列 C. 若是递增数列，则是递增数列 D. 若是递减数列，则是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】取具体数列可判断AB，根据指数的性质判断，由数列和的概念可判断CD. 【详解】当时，是递增数列，此时，不是递增数列，故A错误； 当时，是递减数列，此时，不是递减数列，故B错误； 由是递增数列， 得是递增数列，且，则是递增数列，故C正确； 由是递减数列，得是递减数列，且，则是递增数列，故D错误. 故选：ABD 10. 已知为奇函数，且对任意，都有，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由为奇函数可得到的图象关于点对称，由得到的图象关于直线对称，结合两者得到的周期为8，进而化简即可求解. 【详解】由为奇函数，可得，即， 则的图象关于点对称，所以， 又，所以的图象关于直线对称， 结合得， 即，所以，所以 则是以8为周期的周期函数，所以， ，，， 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】函数解析式变形为，A选项，由判断结论；B选项，由判断结论；C选项，通过换元，利用导数求值域；D选项，通过导数判断函数在区间内的单调性. 【详解】 ， ， 所以的图象关于点中心对称，A选项正确； ，，， 所以的图象不关于直线对称，B选项错误； 令，则，设，则， 解得；解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， ，，，， 所以的值域为，即的值域为，C选项正确； ， 当时，，，， 所以在上恒成立，得在上单调递增，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 通过检验法判断对称性，利用导数判断单调性，利用导数求函数值域. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及余弦定理、正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】在中，由，得，而， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆， 所以外接圆的面积是. 故答案为： 13. 已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将点代入函数模型，求出的值，从而可求解. 【详解】由题意可得则，解得. 因为，即， 所以，所以，解得. 故答案为：. 14. 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯基碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先明确，利用同角三角函数基本关系及降幂公式，可得，由积化和差公式求出，即可得结果. 【详解】由题意可知：. 又. 所以. 又. 所以. 故答案为：15 【点睛】方法点睛：对，要分子分母同乘以，然后利用积化和差公式：，进行化简整理即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和平方关系计算可得； （2）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得，可求出的周长. 【小问1详解】 根据以及可得； 利用正弦定理由可得， 即； 可得，又，即可得， 又，所以； 【小问2详解】 若，由正弦定理可得， 又，结合，可得； 易知； 所以， 因此的周长为. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的零点； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象由最值分别求得，再利用周期性和对称性即可得结果； （2）令解方程即可得和； （3）由平移规则可得，再根据正弦函数单调性即可得出其值域. 【小问1详解】 由根据图象可知，解得； 设函数的最小正周期为，由图可知，即可得， 解得； 代入，可得，即； 又，所以； 因此的解析式为； 【小问2详解】 令可得， 所以或， 解得或； 所以的零点为和； 【小问3详解】 由题意可得. 因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值 故在上的值域为. 17. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合，可得； （2）由（1）可得在上单调递增，结合，可解不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 又，所以， 所以， 从而. 【小问2详解】 由（1）可知， 显然在上单调递增. 因为，所以由，可得， 则，解得或， 故不等式的解集为. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）在区间上单调递增；在区间上单调递减. 极大值：. （2） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，通过求导得出单调区间，由定义得出极值. （2）当时，对进行参数放缩可证得恒成立，当时，可以找到区间，在此区间内证得为增函数，故得矛盾. 【小问1详解】 当时，， 则，令， 则，∵，∴ 即时，，单调递增； 时，，单调递减； 存在极大值，极大值为：. 【小问2详解】 ， ， 令， ， 当时时,， 所以在为减函数,在为增函数， ， ①当时，， ， ∴在为减函数,成立； ②当时，令， 则，显然在为减函数， 又， 所以存使得， 当时，为增函数， 所以，所以为增函数， 所以,与矛盾. 综上：. 19. 设数列的前n项和为，若对任意的，都有（k为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中k为和公比. （1）若，判断是否为“和等比数列”. （2）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前n项和为. ①求的和公比； ②求； ③若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）不是和等比数列 （2）①;②;③ 【解析】 【分析】（1）根据“和等比数列”定义判断即可； （2）①根据和等比数列的出定义列方程求和公比；②应用错位相减法计算求解；③根据数列的单调性得出数列的最小值，把恒成立转化为最值问题，分奇偶两种情况分别得出参数范围. 【小问1详解】 数列的前n项和为，, 设,, ,无解， 故不是和等比数列. 【小问2详解】 ①是首项为1，设公差为d,不为0, 因为是“和等比数列”，所以, 可得, 所以或(舍)， 所以. ②因为,所以 , , 两式相减得, , , ③若不等式对任意的恒成立， 则，化简得恒成立， 令,,， 所以是递减数列，可得单调递增， 当为奇数时，当时，,所以， 当为偶数时，当时，,所以, 所以的范围是. 【点睛】方法点睛：根据数列的单调性得出数列的最小值，把恒成立转化为最值问题，分奇偶两种情况分别得出参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年度河南省高三年级联考（二） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知符号）（表示不平行，向量，.设命题，，则（ ） A. ，，且为真命题 B. ，，且为真命题 C. ，，且假命题 D. ，，且为假命题 3. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A B. C. D. 4. 已知等比数列的前n项和为，且，则“”是“的公比为2”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 若，对恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知A是函数图象上的一点，点B在直线上，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列，的前n项和分别为，，且，则下列结论不正确的是（ ） A. 若是递增数列，则是递增数列 B. 若是递减数列，则是递减数列 C. 若是递增数列，则是递增数列 D. 若是递减数列，则是递减数列 10. 已知为奇函数，且对任意，都有，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是______. 13. 已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则______. 14. 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯基碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，. （1）求的值； （2）若，求周长. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求解析式； （2）求的零点； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 17 已知函数，且. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 19. 设数列的前n项和为，若对任意的，都有（k为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中k为和公比. （1）若，判断是否为“和等比数列”. （2）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前n项和为. ①求的和公比； ②求； ③若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$