专题02 空间几何体（考点清单+6个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

清单02 空间几何体（6个考点梳理+提升训练） 【清单01】柱体的概念 1.棱柱 我们见到过的长方体、四面体都是由若干个三角形或平面多边形包围起来的几何体．像这样由三角形或平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体，构成多面体表面的各三角形或平面多边形叫做多面体的面，相邻面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点． 观察图中的多面体，可以发现它们有如下的共同特征：有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两面上的棱都相互平行．我们把这样的多面体叫做棱柱．那一对互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高．侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，否则称为斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． （1） （2） （3） 通常又可按照棱柱底面的多边形的边数把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等．例如，图中，（1）是斜三棱柱，其侧棱不垂直于底面；（2）是直四棱柱，其侧棱垂直于底面；（3）是正六棱柱，不仅其侧棱垂直于底面，而且其底面是正六边形． 2.圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱． 所在直线叫做圆柱的轴，线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，叫做圆柱侧面的一条母线，圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高． 【性质】根据圆柱的形成过程易知： ①圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行； ②圆柱有两个相互平行的底面. 【清单02】柱体的表面积与体积 1.柱体的体积 祖暅原理　夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等． 由祖暅原理可以得到一般棱柱的体积公式：． 其中，为棱柱的底面积，为棱柱的高．用类似的方法可以推导出圆柱的体积公式：． 2.柱体的表面积 ，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积．其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积．例如，棱长分别为、、的长方体的表面积等于． 为了计算方便，下面我们只讨论直棱柱和圆柱的表面积． 直棱柱的表面积公式：底面积， 圆柱的表面积公式：．其中，是圆柱底面的半径 【清单03】锥体与台体的概念 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱台的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥.四棱锥.五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台.四棱台.五棱台…… 3.圆锥的概念 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 4.圆台的概念 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 【清单04】锥体与台体的侧面积、表面积、体积 1.圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2.锥体与台体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 【清单05】球体 1.球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 2.球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面； ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2 3.球的面积和体积公式 S球面 = 4 π R2 (R为球半径) V球 = 4/3 π R3 【考点题型一】棱柱 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【变式1-1】有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【变式1-2】（21-22高二上·上海杨浦·期中）用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【变式1-3】（23-24高一下·天津静海·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【变式1-4】（23-24高二上·上海·期中）若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为 . 【变式1-5】（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【考点题型二】圆柱 【例2】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 【变式2-1】（21-22高二上·北京东城·阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面平面 【变式2-2】（23-24高二下·上海·期中）若将一个边长为1的正方形围成一个圆柱，则该圆柱的体积为 . 【变式2-3】（23-24高二上·上海静安·期中）如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． (1)求圆柱的侧面积； (2)求与所成的角． 【变式2-4】（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 【考点题型三】棱锥 【例3】（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【变式3-1】（20-21高三上·上海黄浦·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 【变式3-2】（23-24高二上·上海·期中）已知正四棱锥的侧棱和底面边长均为，则该四棱锥的高为 . 【答案】1 【变式3-3】19-20高二下·上海杨浦·阶段练习）一个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，另一个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，这两个棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 【变式3-4】（23-24高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 【答案】 【变式3-5】（21-22高二上·上海闵行·阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求证：⊥平面； (3)求三棱锥的体积． 【考点题型四】圆锥 【例4】（21-22高二下·上海宝山·期中）已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为 . 【变式4-1】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 【变式4-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 【变式4-3】（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在底面半径为3，母线长为5的圆锥中内接一个高为的圆柱．用表示圆柱的侧面积 ．    【变式4-4】（23-24高二上·上海静安·期中）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线的中点．    (1)求该圆锥的侧面展开图的面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【考点题型五】球 【例5】给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-1】A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【变式5-2】（22-23高二上·上海静安·期中）已知上海地处东经120°52'至122°12'，北纬40'至31°53'之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【变式5-3】（22-23高二上·上海长宁·期中）设地球的半径为，球心为，北纬所在的小圆圆心为，则到的距离为 . 【变式5-5】（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【考点题型六】旋转体与多面体 【例6】（18-19高三上·福建莆田·阶段练习）下列几何体不是多面体的是（ ） A．B．C．D． 【变式6-1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【变式6-2】（23-24高一下·青海西宁·期中）菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 空间几何体（6个考点梳理+提升训练） 【清单01】柱体的概念 1.棱柱 我们见到过的长方体、四面体都是由若干个三角形或平面多边形包围起来的几何体．像这样由三角形或平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体，构成多面体表面的各三角形或平面多边形叫做多面体的面，相邻面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点． 观察图中的多面体，可以发现它们有如下的共同特征：有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两面上的棱都相互平行．我们把这样的多面体叫做棱柱．那一对互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高．侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，否则称为斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． （1） （2） （3） 通常又可按照棱柱底面的多边形的边数把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等．例如，图中，（1）是斜三棱柱，其侧棱不垂直于底面；（2）是直四棱柱，其侧棱垂直于底面；（3）是正六棱柱，不仅其侧棱垂直于底面，而且其底面是正六边形． 2.圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱． 所在直线叫做圆柱的轴，线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，叫做圆柱侧面的一条母线，圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高． 【性质】根据圆柱的形成过程易知： ①圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行； ②圆柱有两个相互平行的底面. 【清单02】柱体的表面积与体积 1.柱体的体积 祖暅原理　夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等． 由祖暅原理可以得到一般棱柱的体积公式：． 其中，为棱柱的底面积，为棱柱的高．用类似的方法可以推导出圆柱的体积公式：． 2.柱体的表面积 ，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积．其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积．例如，棱长分别为、、的长方体的表面积等于． 为了计算方便，下面我们只讨论直棱柱和圆柱的表面积． 直棱柱的表面积公式：底面积， 圆柱的表面积公式：．其中，是圆柱底面的半径 【清单03】锥体与台体的概念 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱台的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥.四棱锥.五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台.四棱台.五棱台…… 3.圆锥的概念 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 4.圆台的概念 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 【清单04】锥体与台体的侧面积、表面积、体积 1.圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2.锥体与台体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 【清单05】球体 1.球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 2.球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面； ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2 3.球的面积和体积公式 S球面 = 4 π R2 (R为球半径) V球 = 4/3 π R3 【考点题型一】棱柱 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【解析】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【答案】D 【解析】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（21-22高二上·上海杨浦·期中）用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【解析】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确； 对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误； 对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一下·天津静海·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【答案】 【解析】    连接， 因为底面，，底面， 所以，， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面， 所以直线与侧面所成的角为，即， 所以， 所以在中，， 该三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 【变式1-4】（23-24高二上·上海·期中）若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为 . 【答案】 【解析】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 则该正四棱柱的体积为. 故答案为：. 【变式1-5】（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 【考点题型二】圆柱 【例2】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 【答案】（1）（2） 【解析】解：圆柱的底面是圆面，故（1）正确； 圆柱的母线都平行且相等，且都垂直于底面，则经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故（2）正确； 圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，则圆台的任意两条母线所在的直线相交，故（3）错误； 当两个截面不平行或截面平行但不与底面平行时，两个截面间的几何体不是旋转体，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）． 【变式2-1】（21-22高二上·北京东城·阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面平面 【答案】C 【解析】因四边形是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BC，AD都是母线， 又是底面圆周上异于，的一点，于是得，而平面ABE，平面ABE，则， 因，平面BCE，则平面BCE，平面BCE，因此得，A正确； 同理，，B正确； 点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若平面，因平面BCE， 与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，C不正确； 因平面BCE，而平面ADE，于是得平面平面，D正确. 故选：C 【变式2-2】（23-24高二下·上海·期中）若将一个边长为1的正方形围成一个圆柱，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为，高为， 则根据题意可得：，，， 这个圆柱的体积为， 故答案为： 【变式2-3】（23-24高二上·上海静安·期中）如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． (1)求圆柱的侧面积； (2)求与所成的角． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可得，，， 所以在中，， 所以底面半径， 所以圆柱的侧面积． （2）由题意可得， 又因为是圆柱的一条母线，可得底面， 因为底面， 所以， 因为，且，平面， 所以平面， 又平面， 所以，所以与所成的角为． 【变式2-4】（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为2，若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： 【考点题型三】棱锥 【例3】（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【解析】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 【变式3-1】（20-21高三上·上海黄浦·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 【答案】D 【解析】解：因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误； 因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以C选项错误，D选项正确. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二上·上海·期中）已知正四棱锥的侧棱和底面边长均为，则该四棱锥的高为 . 【答案】1 【解析】作平面，连接，如图， 由正四棱锥性质知，为正方形的中心， 所以， 在中，, 故答案为：1 【变式3-3】19-20高二下·上海杨浦·阶段练习）一个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，另一个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，这两个棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设正三棱锥的边长为，则四棱锥的边长也为，点为四棱锥底面中心，点为的中点，为底面三角形的中心也为点在底面的投影， 解得， ，于是， 因为为底面三角形的中心，所以 所以 所以. 故选：B 【变式3-4】（23-24高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 【答案】 【解析】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 因为正四棱锥的底面边长为，取的中点为，连接，则， 又因为高与斜高夹角为，即， 在直角中，可得，解得， 所以正四棱锥的体积为. 故答案为：. 【变式3-5】（21-22高二上·上海闵行·阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求证：⊥平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）证明：取中点F，连， 因为E为的中点， 所以且， 又，， 所以且， 故四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面；    （2）证明：由题意：，． ∵， ∴⊥， 又平面⊥平面，平面平面 ，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴PD⊥AB， ∵为等腰直角三角形， ∴⊥， ∵，平面， ∴⊥平面；                        （3）∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵⊥平面，平面， ∴⊥， 又，故， 由（2）得，⊥平面，又为的中点， 所以. 【考点题型四】圆锥 【例4】（21-22高二下·上海宝山·期中）已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为 . 【答案】2 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意，有①， 由于侧面展开扇形的圆心角大小为， 所以，即②， 由①②得，， 即圆锥的底面半径为2， 故答案为：2. 【变式4-1】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 【答案】 【解析】设圆锥的母线为，高为，底面半径，扇形的半径为. 由已知可得的长为， 又，由可得， 所以圆锥的高. 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为，圆锥轴截面的顶角为，则，解得， 由余弦定理可得，则为钝角， 故当两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在底面半径为3，母线长为5的圆锥中内接一个高为的圆柱．用表示圆柱的侧面积 ．    【答案】， 【解析】由题设，圆锥的高，由该圆锥中内接一个高为的圆柱， 设圆柱的底面半径为，则，故， 所以圆柱的侧面积且. 故答案为：， 【变式4-4】（23-24高二上·上海静安·期中）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线的中点．    (1)求该圆锥的侧面展开图的面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）圆锥的底面半径为，母线， 故圆锥的侧面展开图的面积为； （2）取的中点，连接，取的中点，连接， 则， 因为点D是母线的中点．所以⊥平面， 由勾股定理得，故， 因为点C是底面直径所对弧的中点， 所以⊥，， 其中，同理可得， 因为DE是三角形PAB的中位线，所以, 所以或其补角为异面直线与所成角， 由余弦定理得， 故异面直线与所成角的大小为.    【考点题型五】球 【例5】给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 【变式5-1】A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【答案】1或无数 【解析】当两点与球心不共线时，可作1个大圆， 当两点与球心共线时，可作无数个大圆. 故答案为：1或无数. 【变式5-2】（22-23高二上·上海静安·期中）已知上海地处东经120°52'至122°12'，北纬40'至31°53'之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【答案】 【解析】由题设上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 . 故答案为： 【变式5-3】（22-23高二上·上海长宁·期中）设地球的半径为，球心为，北纬所在的小圆圆心为，则到的距离为 . 【答案】 【解析】 设北纬所在的小圆的其中一条直径为， 由题意可得， 在中，, 故答案为： 【变式5-4】两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是 【答案】7或17/17或7 【解析】球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，； 球的半径为，由，得； 由，得； 如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差； 即； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和． 即. 所以这两个平面间的距离为或． 故答案为：或 【变式5-5】（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【解析】正方体的对角线就是球的直径，即，则， 则. 故答案为：. 【考点题型六】旋转体与多面体 【例6】（18-19高三上·福建莆田·阶段练习）下列几何体不是多面体的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】A.该几何体是球，是旋转体； B.该几何体是三棱柱，是多面体； C.该几何体是棱台，是多面体； D.该几何体是三棱锥，是多面体， 故选：A 【变式6-1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：C． 【变式6-2】（23-24高一下·青海西宁·期中）菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【答案】C 【解析】将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$