精品解析：云南省文山州西畴县第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. 9 D. 19 3. 直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 平行或重合 D. 相交 4. 如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ） A. B. C. 6 D. 5 6. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 7. 已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果.则下列结论正确的有（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 是平面的一个法向量 D. 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线l与直线和平行且距离相等，则直线l的方程为___________． 13. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝__． 14. 已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为______． 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16. 已知空间三点、、. （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求以、为邻边的平行四边形的面积． 17. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离． 18. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 因此该直线的倾斜角为， 故选：D 2. 已知，，则（ ） A. B. C. 9 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则. 故选：B 3. 直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 平行或重合 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件即可求解. 【详解】因为直线和直线平行， 所以， 故直线为，与直线平行 故选：B 4. 如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 5. 已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】化简，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量， 又因为，且， 可得，则，解得， 所以. 故选：C. 6. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 7. 已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 8. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【详解】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 10. 已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果.则下列结论正确的有（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，以及向量的夹角公式和平面的法向量的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 对于A中，由，得，即，所以A正确： 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，得，又由A知， 且且都在面，所以向量是平面的一个法向量，所以C正确： 对于D中，由是平面的法向量，且平面，易知，所以D错误. 故选：ABC. 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线l与直线和平行且距离相等，则直线l的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线l的方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程求解即可 【详解】设直线l的方程为，由两条平行直线间的距离公式可得，于是，解得， 故直线l的方程为． 故答案为： 【点睛】此题考查两平行线间的距离公式的应用，属于基础题 13. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝__． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算法则，以为基底表示出，由此求得，进而求得. 【详解】平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE，DF， 所以 ． 由， 所以x＝﹣1，y＝1，z， x+y+z＝﹣1+1． 故答案为：． 14. 已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意求得，结合到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意知，点，，，可得，， 则，，， 所以， 可得， 所以点到直线的距离为． 故答案为：1. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线. （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程； （2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出． 【小问1详解】 因为直线的方程为，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线，所以可设直线的方程为， 直线与直线之间的距离为， 所以，解得或. 故直线的方程为或. 16. 已知空间三点、、. （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量的数量积公式求出的值，然后利用三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积 【小问1详解】 由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. 【小问2详解】 由题可得：，， 所以，因为，所以， 则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 17. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形是矩形，， 所以四边形是正方形， 所以， 又平面，平面，， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明、，由线面垂直的判定定理可证明平面，即证； （2）由勾股定理求出△ACD1各个边长，设点到平面的距离为，由即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，，为的中点， 所以，，，， 所以，， 设点到平面的距离为， 由可得：， 即， 解得：， 所以点E到面ACD1的距离为. 18. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过设出方程，通过联立解出答案即可. （2）首先设出对称点,解出所在方程即可. 【小问1详解】 设，由中点在上可得 ，即， 又，联立，解得．即顶点的坐标为． 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 所以边所在的方程为：，即直线的方程为：． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：是等边三角形，是的中点， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面. （2） （3）不存在，理由如下： 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为， 设 由（2）得平面的法向量为， 则直线与平面的法向量所成的夹角为， ， ，则， ， 即， 关于的方程无解， 故线段上不存在点. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理直接证明即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的公式即可； （3）假设线段上存在点，设由向量共线得到，利用直线与平面的法向量所成的夹角余弦公式，得到关于的一元二次方程，由判别式得到无解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面， 连接，建立以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示，底面是边长为4的正方形， 则， ， 则， 设平面的法向量为， 则取，则， 平面的法向量为， 又平面的法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $