精品解析：江苏省泰州市民兴中英文学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（A卷）

泰州市民兴中英文学校 初二数学2024年秋学期第一次月度独立作业（A卷） （考试时间：150分钟 满分：150分） 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 如图，下列图案中，是轴对称图形的是( ) A. （1），（2） B. （1），（4） C. （1），（3） D. （2），（3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各小题分析判断即可得解． 【详解】（1）是轴对称图形， （2）不轴对称图形， （3）不是轴对称图形， （4）是轴对称图形； 综上所述，是轴对称图形是（1）（4）． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离PA=5,则点P到B点的距离PB等于（ ） A. PB=5 B. PB>5 C. PB<5 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可. 【详解】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5， ∴PB=PA=5 故选A. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键. 3. 下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A. ， B. ， C. D. ，平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、 ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； B、 ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； C、当时， 是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段 的垂直平分线，故选项符合题意； D、平分， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 5. △ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于（ ） A. 37.5° B. 67.5° C. 37.5°或67.5° D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出，推出，，分为两种情况：画出图形后，根据三角形内角和定理求出即可. 【详解】是的垂直平分线， ， ， ， ， 分为两种情况：①如图1，，， ， ， ， ， ②如图2，，， ， ， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是正确根据题意画出图形，注意分类讨论. 6. 如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则①平分；②；③；④．这四个结论中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线判定定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质；根据角平分线的判定定理可判断①；证明出，再利用全等三角形的性质可得，从而可判断②；由，利用等边对等角得，从而有，利用内错角相等两直线平行可得，可判断③；根据已知条件可知与只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴平分，故①正确； ∴， 在和中， ， ， ∴，故②正确； ， ， 又∴， ∴， ；故③正确； ④在和中， 只有，两个条件， 不一定全等与（只具备一角一边的两三角形不一定全等）． 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：B． 二．填空题（本大题共10小题，每空3分，共计30分） 7. 从镜中看到的一串数字是，这串数字应为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，可根据这个特点来解决镜面对称的问题． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 8. 如图，已知，请你添加一个条件：______，使．（图形中不再增加其他字母） 【答案】∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（ASA）或∠CEB＝∠CDB或AB＝AC或BD＝CE． 【解析】 【分析】△ABE和△ACD中，已知了AE＝AD和公共角∠A，因此只需再添加一组对应角相等或AB＝AC时即可判定两三角形全等． 【详解】解：∵AD＝AE，∠A＝∠A， ∴当①∠B＝∠C（AAS）；②∠AEB＝∠ADC（ASA）； ③∠CEB＝∠CDB（可推出∠AEB＝∠ADC）；④AB＝AC（SAS）； ⑤BD＝CE（可推出AC＝AB）时，可判定△ABE≌△ACD． 故答案为：∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC（ASA）或∠CEB＝∠CDB或AB＝AC或BD＝CE． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 9. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处． 【答案】4． 【解析】 【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断． 【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 10. 如图，中，点在上，将点分别以，为对称轴，画出对称点，，并连接，，根据图中标示的角度，的度数为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和，根据三角形内角和为得到，通过对称性特征得到即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意可得，，，， 则 故答案为：． 11. 如图，中，，，是中线，，则是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，连接，若，则的大小是_______． 【答案】##115度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理．如图，由点O到三边的距离相等，可知点O是三角形三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，利用三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图： ， 。 ∵点O到三边的距离相等， 是三角形三条角平分线的交点， 分别平分， ，， ， ． 故答案为：． 13. 如图：，，垂足分别为B，C，，E为的中点，且于F，若，则的长度为__________． 【答案】##8厘米 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察图形，找出图形中隐含的等量关系或全等关系． 运用等角的余角相等，得出，从而得到，，得到，结合，即可解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 为的中点， ． 故答案为：． 14. 如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，先由证明，再由得，即可证明，再证明，得，，再证明，得，即可推导出． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 【点睛】此重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15. 如图，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，这样的格点有__________个． 【答案】##四 【解析】 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，如图1，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图2，以线段所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图3，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；如图4，以线段所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 16. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________． 【答案】78 【解析】 【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解． 【详解】如图，连接BO并延长， ∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线， ∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90， ∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO， ∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51， ∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)， ∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF， ∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C， 而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180， ∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180， ∴∠A+∠C=39， ∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78， 故答案为：78． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用． 三．解答题 17. 如图是由个边长为个单位长度的小正方形拼成，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，即可得到答案． 【详解】如图所示： 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 18. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） （1）在直线上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等； （2）在图中找一点O，使得； （3）在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识； （1）取格点，，作直线交于点，由作图可知垂直平分，则点即为所求； （2）三边垂直平分线的交点，即为所求． （3）作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解；如图，点即为所求． 【小问2详解】 解；如图，点即为所求． 【小问3详解】 解；如图，点即为所求． 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 19. 如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．由中，，，可求得的度数，由折叠的性质可得：，，由三角形外角的性质，可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠的性质可得：，， ， 20. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，由，，则有，所以，，然后通过高得出，最后由三角形内角和定理即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴． 21. 如图，，是线段垂直平分线，与交于点，，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质；根据线段的垂直平分线的性质，可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分， ． 的周长（）． 22. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 23. 如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接、，过点B作交于F，且． （1）若，求的长； （2）若，，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据平行线的性质得到，，再证明即可； （2）求出，证明，得到，利用等式性质可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'． （1）求证：△ABD≌△ACD'． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由对称得到，再证明 即可； （2）由全等三角形的性质，得到，∠BAC＝=100°，最后根据对称图形的性质解题即可． 【详解】解：（1）以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A， 在△ABD与中， （2） ，∠BAC＝=100°， 以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A， ∠DAE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 25. 如图，中，点在边上， ， 的平分线交于点 ，过点作，交的延长线于点，且 ，连接． （1）求 的度数； （2）求证：平分 ； （3）若，，，且的面积，求的面积． 【答案】（1） （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ， 【小问2详解】 证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； 【小问3详解】 解：， ，，， ， ． 26. 问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】问题情境：相等，理由见解析；变式拓展：①，见解析；②，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质； 问题情境：过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证； 变式拓展：①过点作于，于．根据角平分线性质定理可得，，从而证得，即可求解； ②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】问题情境：证明：如图1，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 变式拓展：解：①结论：．理由如下： 如图2，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②结论：．理由如下： ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰州市民兴中英文学校 初二数学2024年秋学期第一次月度独立作业（A卷） （考试时间：150分钟 满分：150分） 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 如图，下列图案中，是轴对称图形的是( ) A. （1），（2） B. （1），（4） C. （1），（3） D. （2），（3） 2. 线段AB垂直平分线上一点P到A点的距离PA=5,则点P到B点的距离PB等于（ ） A. PB=5 B. PB>5 C. PB<5 D. 无法确定 3. 下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A. ， B. ， C. D. ，平分 4. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 5. △ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于（ ） A 37.5° B. 67.5° C. 37.5°或67.5° D. 无法确定 6. 如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则①平分；②；③；④．这四个结论中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（本大题共10小题，每空3分，共计30分） 7. 从镜中看到的一串数字是，这串数字应为______________． 8. 如图，已知，请你添加一个条件：______，使．（图形中不再增加其他字母） 9. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处． 10. 如图，中，点在上，将点分别以，为对称轴，画出对称点，，并连接，，根据图中标示的角度，的度数为 ________． 11. 如图，中，，，是中线，，则是_______度． 12. 已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，连接，若，则的大小是_______． 13. 如图：，，垂足分别为B，C，，E为的中点，且于F，若，则的长度为__________． 14. 如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为___________． 15. 如图，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，这样的格点有__________个． 16. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________． 三．解答题 17. 如图是由个边长为个单位长度的小正方形拼成，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种． 18. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） （1）在直线上找一点P，使得点P到点B，C距离相等； （2）在图中找一点O，使得； （3）在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 19. 如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，求的度数． 20. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 21. 如图，，是线段垂直平分线，与交于点，，求的周长． 22. 如图，是角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 23. 如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接、，过点B作交于F，且． （1）若，求的长； （2）若，，求证：． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'． （1）求证：△ABD≌△ACD'． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 25. 如图，中，点在边上， ， 的平分线交于点 ，过点作，交的延长线于点，且 ，连接． （1）求 的度数； （2）求证：平分 ； （3）若，，，且的面积，求的面积． 26. 问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $