专题06 因式分解（八大题型优选题，55题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题06 因式分解（八大题型+优选题，55题） 因式分解的意义 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） （1）    （2） （3）        （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·上海普陀·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 5．（22-23七年级上·上海宝山·期中）下列各式从左到右的变形，属因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·上海长宁·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D．2 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 10．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 提公因式法分解因式 11．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）分解因式： ． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 13．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 14．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： 15．（23-24七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 平方差公式分解因式 16．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 17．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 18．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 20．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： (1) (2) 完全平方公式分解因式 21．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 22．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 23．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 24．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：． 25．（22-23七年级上·上海宝山·期中）因式分解： 综合运用公式法分解因式 26．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 27．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式： 28．（23-24七年级上·上海闵行·期中）分解因式： 29．（22-23七年级上·上海·期中）因式分解： 30．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解∶ 综合提公因式和公式法分解因式 31．（23-24七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 32．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 33．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式：（n为大于2的正整数） 34．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 35．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 十字相乘法 36．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 37．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 38．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 39．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 40．（23-24七年级上·上海普陀·期中）分解因式：． 分组分解法 41．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 42．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 43．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 44．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 45．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 一、填空题 46．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 47．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分解： ； 48．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 二、解答题 49．（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 50．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式：． 51．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解： （2）因式分解： 52．（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 53．（22-23七年级上·上海长宁·期中）分解因式：． 54．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 55．（22-23七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 因式分解（八大题型+优选题，55题） 因式分解的意义 1．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） （1）    （2） （3）        （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：（1），属于多项式乘法，不属于因式分解，不符合题意； （2），等式右边不是整式的乘积形式，不属于因式分解，不符合题意； （3），等式左边不是多项式，不属于因式分解，不符合题意； （4），属于因式分解，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查判断因式分解．掌握因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．右边不是整式的积的形式，不是因式分解； B、选项是整式的乘法，不是因式分解； C、选项是整式的乘法，不是因式分解； D、选项是因式分解． 故选：D． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键．因式分解：将一个多项式转化成整式的积的形式． 3．（22-23七年级上·上海普陀·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案． 【详解】解：在多项式中，系数4、6的最大公约数为2，相同字母的最低次幂是，所以多项式多项式的公因式是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了公因式，掌握公因式的定义是解题关键． 4．（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【答案】C 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将展开，分别对应即可得出答案． 【详解】解：， ∵多项式分解因式得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得进行求解． 5．（22-23七年级上·上海宝山·期中）下列各式从左到右的变形，属因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样式子变形叫做把这个多项式因式分解，即可． 【详解】A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不合题意； C、符合因式分解的定义，符合题意； D、等式右边是整式的乘法，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的定义和特点． 6．（22-23七年级上·上海长宁·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，“把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解”，熟练掌握此定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； B、，不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、，属于因式分解，故此选项符合题意； D、，不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解： A、右边，左边不等于右边，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； B、，右边是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，所以本选项正确，符合题意； C、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； D、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； 故选：B． 9．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 10．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 提公因式法分解因式 11．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练的利用提公因式的方法分解因式是解本题的关键，本题先提取公因式，分解后再次提取公因式2，从而可得答案． 【详解】解： ； 13．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等，得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）多项式，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． 根据题意若，则， 故答案为：； （3）由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 等式右边， ， =． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握试根法，是解题的关键． 14．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： 【答案】 【分析】把提公因式，即可作答． 【详解】解： 【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式，难度较小． 15．（23-24七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可解答． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式进行因式分解是解答本题的关键． 平方差公式分解因式 16．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． 17．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 18．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，运用平方差公式因式分解即可； （2）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，阅读材料、掌握材料介绍的方法是解答本题的关键． 19．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解． 20．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了公式法因式分解，掌握乘法公式是解题的关键． 完全平方公式分解因式 21．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式进行解题即可． 【详解】解：可以用完全平方公式因式分解， 的值等于：． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式应用，能够熟练掌握完全平方公式是解题关键． 22．（23-24七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，涉及完全平方公式，一个多项式化为几个整式的积的过程叫因式分解；难度较小． 23．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法公式法，，即可． 【详解】 ． 24．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可．此题考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 【详解】原式， ， =． 25．（22-23七年级上·上海宝山·期中）因式分解： 【答案】 【分析】设，再根据，即可． 【详解】设 ∴ ． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握的运用． 综合运用公式法分解因式 26．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 27．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 28．（23-24七年级上·上海闵行·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式与完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 29．（22-23七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】根据公式法进行因式分解即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 30．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解∶ 【答案】 【分析】先分组，再利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 综合提公因式和公式法分解因式 31．（23-24七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式及平方差公式分解因式． 先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 32．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用平方差公式分解即可，熟练掌握提公因式与公式法是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 33．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式：（n为大于2的正整数） 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，本题先提取公因式，再利用完全平方公式与平方差公式进行分解即可，熟记把多项式的每个因式都分解到不能再分解为止是解本题的关键． 【详解】解： ． 34．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 【答案】 【分析】此题考查了综合运用提公因式法和运用公式法分解因式，先提公因式，然后再用平方差公式对进行因式分解． 【详解】解：原式 35．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 十字相乘法 36．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 37．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了公式法分解因式和十字相乘法分解因式，先利用平方差公式分解因式，然后根据十字相乘法和完全平方公式即可求解，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 38．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 39．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，本题先把看作是整体，计算乘法运算，再利用十字乘法与公式法分解因式即可． 【详解】解： . 40．（23-24七年级上·上海普陀·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】先把看作一个整体，利用十字乘法作第一次分解，再把两个因式再一次分解因式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握利用十字乘法分解因式的方法与步骤是解本题的关键． 分组分解法 41．（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把原式分为两组，再分别提取公因式，化为，再提取公因式即可． 【详解】解： 42．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 43．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了分组分解法分解因式，直接将后三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 44．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． 【详解】解： ； 45．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】先分组,然后根据提公因式法可进行求解． 【详解】解： ； 【点睛】本题主要考查因式分解的提公因式法，先分组后提取公因式是解题的关键． 一、填空题 46．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用立方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 47．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分解： ； 【答案】 【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键． 48．（22-23七年级上·上海静安·期中）已知，则的值为 【答案】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 二、解答题 49．（23-24七年级上·上海青浦·期中）关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 【答案】(1)1，1，1 (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键． （1）观察多项式可得当时，多项式的值等于0；再将代入即可求出的值； （2）先分别求出当，，时，多项式的值等于0，从而可设，再将代入求出的值即可得． 【详解】（1）解：对多项式， 令，原式；令，原式， 所以设， 令得，，即， 故答案为：1，1，1． （2）解：对多项式， 令时，原式， 令时，原式， 令时，原式， 所以设（保证两边次数相同，其中是系数）， 令时，， 解得， 所以， 即． 50．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 51．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 52．（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了多项式乘法与因式分解，理解题意是解题的关键． 53．（22-23七年级上·上海长宁·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的因式分解，掌握运用提公因式法和公式法、因式分解是解答本题的关键． 54．（22-23七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】把看作一个整体，这个多项式就可以化为关于的二次三项式，常数36可以分解成：，其中一次项系数，因此可以利用十字相乘法进行因式分解，然后再利用公式法继续分解彻底即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查因式分解的方法．因式分解时，一般先提公因式，然后再运用公式法进行因式分解．对于一个一次项系数为1的二次三项式，如果能把常数分解成两个因数，的积，并且，的和恰好等于一次项的系数，那么，这个二次三项式就可以分解为，即．把运用乘法公式： ； ，进行因式分解的方法叫做公式法．熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．特别需要注意的是，分解一定要彻底，直到不能再分解为止． 55．（22-23七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$