专题2.6 手拉手模型（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题2.6 手拉手模型 · 典例分析 【典例1】（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【思路点拨】 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【解题过程】 （1）证明： 即 在和中 ， ． （2）与的数量关系是，位置关系是． 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． （3）解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ． ， ， ， ， 即四边形的面积． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的是 （只填写序号）    4．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． （1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． （2）如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 5．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 6．（2024·河南·一模）如图，    （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 7．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图，在和中，，，，连接，，交于点，延长交于点． 试说明：； 求的度数． 【问题探究】 （2）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，． （1）如果，． ①如图1，当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系：___________，位置关系：___________；（只写结论，不用证明） ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，写出结论并加以论证； （2）如果，，点D在线段上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点C，E重合除外）？请写出条件，并借助图3简述成立的理由． 10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． （1）【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； （2）【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 11．（23-24七年级下·浙江宁波·期末） 【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 12．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ （2）类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； （3）解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． （1）如图1，点在线段上，如果，则__________度．    （2）如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    （3）如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    （4）设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 14．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形． 如图1，中，，，点在边上，连接，以为边作，使，，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和的度数． 问题探究：小明想，如果将上图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？ 如图2，和是等边三角形，点，，在同一直线． （1）证明：． （2）探索线段，，三者间的数量关系，写出结论并说明理由． 问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现． 如图3，边长为的等边中，D是中点，，是线段上一动点，连接，在右侧作等边，连接，求周长的最小值（用含，的代数式表示），并直接写出取最小值时的度数．    16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践 问题情境： 如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系． 特例探究： （1）如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； 求异探究： （2）如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的关系，并证明； 拓展应用： （3）如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，求的面积． 17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 18．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某数学小组在探究三角形之间的关系问题中，经历了如下过程： 问题发现 如图，，分别是钝角的边，上的点，为内部的一点，分别以，为腰作等腰和，且，，交于点，，请根据下图的各角和点的位置情况．    （1）当时，的值为_______，的度数为______． 猜想论证 （2）当时，的值是否会发生变化?的度数与存在什么数量关系?请分别进行说明． 拓展思考 （3）当为钝角，且点落在直线上时，（2）中的结论是否仍然成立?如果成立，直接写出与满足的数量关系，不必说明理由；如果不成立，直接写出结论，不必证明． 19．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    （1）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） （2）如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． （3）如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 手拉手模型 · 典例分析 【典例1】（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【思路点拨】 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【解题过程】 （1）证明： 即 在和中 ， ． （2）与的数量关系是，位置关系是． 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． （3）解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ． ， ， ， ， 即四边形的面积． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【解题过程】 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 2．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【解题过程】 解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的是 （只填写序号）    【思路点拨】 当是的中点或者平分时，，故①错误；根据等边三角形的性质得，，则，可得，故，再判断，所以；可以判断③正确，根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到，故，故②正确；作于，于，由得到，即可证明，故，根据角平分线的判定定理即可得到平分，进而可以判断④正确． 【解题过程】 证明：∵是等边三角形， ∴当是的中点或者平分时， ∴， 但题中的位置不确定， ∴和不一定相等， 故①错误； ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， 而， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于，于，如图，    ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴平分， 故④正确． 综上所述：正确的是②③④． 故答案为：②③④． 4．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． （1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． （2）如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 5．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再说明即可． 【解题过程】 （1）解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴． 6．（2024·河南·一模）如图，    （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得到的度数；由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，即可得到线段、、之间的数量关系； （3）证明，得到，推出，最后根据，即可求解． 【解题过程】 （1）解：① 和都是等边三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ② ， ， 故答案为：； （2）解： 和都是等腰直角三角形，， ，， ，   在与中，， ， ， ，点B、D、E在同一条直线上， ， ， ， 都是等腰直角三角形，， ， ， ， 的度数为，线段之间的数量关系为：； （3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得， 和都是等腰三角形，， ， ， ， ． 7．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 【思路点拨】 （1）证出，根据证明； （2）在上取点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）作， 使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点在线段上时，的值最小，由直角三角形的性质可得出答案． 【解题过程】 （1）证明:∵和都是等边三角形， ∴，, ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）证明: 在上取点，使得，连接， ∵和都是等边三角形. ∴，，， ∴是等边三角形, ∴，， ∵是等边三角形, ∴，， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点, 点为的中点, ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴点为的中点； （3）作，使，连接， ∵是等边三角形, ∴ ，， ∴， ， ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时， 的值最小， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为 8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图，在和中，，，，连接，，交于点，延长交于点． 试说明：； 求的度数． 【问题探究】 （2）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用证明，即可得出结论；由全等三角形的性质以及三角形外角的性质可得出结论； （2）利用证明，由全等三角形的性质即可得出；然后，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可求出的度数． 【解题过程】 解：（1）， ，即， 在和中， ， ， ； 如图，设与交于点， ， ， ， ， ； （2），，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，． （1）如果，． ①如图1，当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系：___________，位置关系：___________；（只写结论，不用证明） ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，写出结论并加以论证； （2）如果，，点D在线段上运动．试探究：当满足一个什么条件时，（点C，E重合除外）？请写出条件，并借助图3简述成立的理由． 【思路点拨】 本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）①根据等腰直角三角形性质得到,推出，得到，得到，，得到，； ②根据等腰直角三角形性质得到,推出，推出，得到，，得到，即得； （2）当时，．过点A作交的延长线于点F，得到是等腰直角三角形，根据，，推出，得到，得到，得到，即得． 【解题过程】 （1）①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②，仍然成立，理由： ∵，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）当时，，理由： 如答图，过点A作交的延长线于点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． （1）【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； （2）【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【思路点拨】 本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【解题过程】 （1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 11．（23-24七年级下·浙江宁波·期末） 【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点， ① 求 的大小； ，求 的面积； 【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长． 【思路点拨】 （1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ，负值舍去， 即的长为8． 12．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ （2）类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； （3）解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【解题过程】 （1）解：， 理由如下：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点，，在同一直线上； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． （1）如图1，点在线段上，如果，则__________度．    （2）如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    （3）如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    （4）设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 【思路点拨】 （1）由“”可证，得，可求的度数； （2）由“”可证，得，可求的度数； （3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； （4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （3）， 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （4）如图4，当点D在的延长线上时，，    证明方法同（3）； 如图5，当点D在的延长线上时，，    理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，或． 14．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【解题过程】 （1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形． 如图1，中，，，点在边上，连接，以为边作，使，，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和的度数． 问题探究：小明想，如果将上图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？ 如图2，和是等边三角形，点，，在同一直线． （1）证明：． （2）探索线段，，三者间的数量关系，写出结论并说明理由． 问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现． 如图3，边长为的等边中，D是中点，，是线段上一动点，连接，在右侧作等边，连接，求周长的最小值（用含，的代数式表示），并直接写出取最小值时的度数．    【思路点拨】 问题发现：由，，得到，可证明，推出，由中，，，可得，得到，即可求解； 问题探究：（1）由和是等边三角形，得到，，，推出，即可证明；（2）由可得，推出； 问题拓展：证明，得到，由于是定值，所以为定值，在一条固定的线段上运动，延长至点，使得，推出点在线段上运动，以直线为对称轴，作点的对称点，得到，，根据三角形的三边关系可得，令与交于点，则有，根据全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质推出，得到，可求出周长的最小值；延长交于点，由可求出此时的度数． 【解题过程】 解：问题发现： ，， ，即， 在和中， ， ， ， 中，，， ， ， ； 问题探究：（1） 和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2），理由如下： ， ， ， ； 问题拓展：连接， 和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， 由于是定值，所以为定值，在一条固定的线段上运动， 如图3，延长至点，使得， 点在线段上运动， 以直线为对称轴，作点的对称点， ，， ， 令与交于点，则有， ，， ，， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 又 ， ， ； ， ， 延长交于点， ， ， 为等边三角形， ，， 又 ， ，， 综上所述，周长的最小值为，此时． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践 问题情境： 如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系． 特例探究： （1）如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； 求异探究： （2）如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的关系，并证明； 拓展应用： （3）如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，求的面积． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，进而证明，得出，可得，即可得证； （2）连接，，先证明可得，，进而证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，，，利用三角形面积公式可求解；当点在的延长线上时，同理可求解． 【解题过程】 解：（1），， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； （2），； 如图所示，连接，， 以为边在其右侧作等腰直角三角形， ，， ，， ， 点和分别为和的中点， ∴，，则， ， ， ，， ，，， ， 又， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∵，，点F为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 同理是等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 综上，的面积为4或176． 17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 【思路点拨】 （1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论； （2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题； （3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题． 【解题过程】 （1）证明：如图1，设与交于点，    ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，在上取一点，使得，    是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ，， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①，②都是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得，    和均为正三角形，，，三点共线， ，， 由（1）知：， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，，垂足分别为，， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ， ， ①； ②， ， ， ． 综上所述：①，②都是定值． 18．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某数学小组在探究三角形之间的关系问题中，经历了如下过程： 问题发现 如图，，分别是钝角的边，上的点，为内部的一点，分别以，为腰作等腰和，且，，交于点，，请根据下图的各角和点的位置情况．    （1）当时，的值为_______，的度数为______． 猜想论证 （2）当时，的值是否会发生变化?的度数与存在什么数量关系?请分别进行说明． 拓展思考 （3）当为钝角，且点落在直线上时，（2）中的结论是否仍然成立?如果成立，直接写出与满足的数量关系，不必说明理由；如果不成立，直接写出结论，不必证明． 【思路点拨】 （1）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质得到即可得到答案；由全等性质得到，再结合三角形内角和定理即可得到答案； （2）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质得到即可得到答案；由全等性质得到，再结合三角形内角和即可得到答案； （3）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质得到即可得到答案；由全等性质得到，再结合三角形外角性质即可得到答案；根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理即可求出与满足的数量关系． 【解题过程】 解：（1） ，， ， 在和中， ， ，则； ， ， ， ，则； 故答案为：，； （2）的值不会发生变化；； ，， ， 在和中， ， ，则； ， ， ， ，则； （3）当是钝角时，如图所示：    由（2）中；； ，， ， 在和中， ， ，则； ， ， ， ， 是的一个外角， ； 在等腰中，，则设；在等腰中，，则； ， ， ， ，，则在中，， ， ． 19．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点B为顶点，作，且，连接，证明，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可； 【解题过程】 （1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， F为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，即； （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点B为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 ， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    （1）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） （2）如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． （3）如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【思路点拨】 （1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【解题过程】 （1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$