期末易错压轴题型（31易错+14压轴）（专项训练）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

期末易错压轴题型（31易错+14压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、图形的全等 易错题型二、三角形的概念 易错题型三、确定第三边的取值范围 易错题型四、等腰三角形的定义 易错题型五、三角形角平分线的定义 易错题型六、根据三角形中线求长度、面积 易错题型七、全等三角形的性质与判定 易错题型八、斜边的中线等于斜边的一半 易错题型九、等腰三角形的性质和判定 易错题型十、等边三角形的判定和性质 易错题型十一、求一个数的算术平方根与平方根 易错题型十二、求一个数的立方根 易错题型十三、近似数 易错题型十四、无理数的概念 易错题型十五、实数的混合运算 易错题型十六、勾股定理与无理数 易错题型十七、用勾股定理解三角形 易错题型十八、勾股树（数）问题 易错题型十九、利用勾股定理的逆定理求解 易错题型二十、用有序数对表示路线与位置 易错题型二十一、已知点所在的象限求参数 易错题型二十二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 易错题型二十三、已知两点关于原点对称求参数 易错题型二十四、坐标与图形变化——轴对称 易错题型二十五、函数的概念 易错题型二十六、求自变量的值或函数值 易错题型二十七、正比例函数的定义 易错题型二十八、求一次函数解析式 易错题型二十九、一次函数的图象与性质 易错题型三十、据一次函数增减性求参数 易错题型三十一、一次函数与方程及不等式 压轴题型一、实数与数轴综合应用 压轴题型二、算术平方根和立方根的综合应用 压轴题型三、勾股定理折叠问题 压轴题型四、勾股定理及其逆定理的综合应用 压轴题型五、点坐标规律探索 压轴题型六、坐标系中的动点问题探究 压轴题型七、全等三角形最值问题 压轴题型八、垂直平分线常见辅助线添加 压轴题型九、全等三角形判定与性质综合应用 压轴题型十、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴题型十一 等边三角形动点问题 压轴题型十二、 一次函数图象平移问题 压轴题型十三、一次函数的实际综合应用 压轴题型十四、一次函数的几何应用 易错题型一、图形的全等 1．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级·江苏常州·假期作业）观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10 【分析】根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10； 故答案为1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 【答案】是全等图形，理由见解析 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解：是全等图形，理由如下： 把两个图形放在一起，把和，和，和重合，发现能够完全重合， 因此和是全等图形． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 易错题型二、三角形的概念 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90度． 根据直角三角形的定义判断即可． 【详解】图中直角三角形的个数有共4个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了三角形，主要利用了三角形的定义，三角形的角的对边，边的对角，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据三角形的定义分别解答即可． 【详解】解：图中有：共5个； 以为一边的三角形有：， 以为一内角的三角形是：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【答案】6对．“共角三角形”有与，与，与，与，与，与． 【分析】本题考查了共角三角形的定义，正确理解定义是解题的关键. 根据有一个公共角的两个三角形为一对共角三角形，首先确定三角形的角，然后确定三角形即可. 【详解】解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、 与、与、与、和共6对. 故答案为：6 ． 易错题型三、确定第三边的取值范围 7．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如果三角形的两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系．设第三边长为，根据三边关系得出，根据周长为偶数，得出，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是2和5， 设第三边长为，则， ∵周长为偶数，， ∴， 即第三边长为5， 故选：C． 8．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）用两根长分别为6cm和10cm的木条钉成三角形，还需选用一根木条，这一根木条长为偶数，这样的三角形可围出 个，其中周长最大的三角形的周长是 【答案】 5 30cm 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．，，在4到16之间和偶数有6，8，10，12，14共5个，即这样的三角形可围出5个，周长最大时这条边的边长为14，此时周长cm． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三根木条的取值范围是大于4，而小于16． 又该木条是偶数，则应是6，8，10，12，14． 故这样的三角形有5个，且最大周长是cm． 故答案为：5，30cm 【点睛】本题利用了三角形中三边的关系求解，解题的关键是同时注意本题的第三边是偶数． 9．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，的三边长分别为a、b、c． (1)若，，求的取值范围． (2)为的中线，若，求与的周长之差．（用字母表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形中线可得，再结合三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知，， ，， ； （2）解：为的中线， ， 的周长，的周长， 与的周长之差． 易错题型四、等腰三角形的定义 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等， ①当腰为时，三角形的三边为：、、， ，不能构成三角形； ②当腰为时，三角形的三边为：、、， ，能构成三角形， 三角形的周长为：； 综上，该三角形的周长为． 故选：B． 11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）若等腰三角形的两条边分别为1和2，则此三角形的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，先根据等腰三角形的两条边分别为1和2，进行分类讨论，再判断是否符合三角形三边关系，最后计算出此三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边分别为1和2， ∴当腰长为1时，底长为2，则，不符合三角形的三边关系， 当腰长为2时，底长为1，则，符合三角形的三边关系， ∴此三角形的周长为， 故答案为：5． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，请用尺规作图法，在的左侧找一点D，使得，且是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，线段的尺规作图，等腰三角形的定义，先作，再以A为圆心，的长为半径角射线于D，则点D即为所求． 【详解】解：如图所示，点D即为所求； 易错题型五、三角形角平分线的定义 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分，，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由线段的和差关系可得的长，由角平分线的性质可得的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵， ∴； ∵平分，，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：B． 14．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，D为边上一点，连接，并过点D作于点E．已知，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】根据角平分线的判定得到平分，求出，从而得到，再根据含30度的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，含30度的直角三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是根据角平分线的判定求出． 15．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，在直角三角形中，，是的平分线，于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，，， ∴． 易错题型六、根据三角形中线求长度、面积 16．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据中线的性质得到，再利用周长作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长 ∴与的周长差， 故选：A． 17．（2025八年级上·广东揭阳·模拟预测）如图，和分别是中线，若的面积等于，则的面积是 ． 【答案】/4平方厘米 【分析】本题考查了三角形中线平分三角形面积，掌握三角形的性质是关键，根据三角形中线平分三角形面积进行判定分析即可求解． 【详解】解：的面积等于，和分别是中线， ∴， 故答案为： ． 18．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）学校有一块三角形空地，要铺成面积相等的四块不同颜色的彩砖．请你设计出三种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限，只要求画出图形）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质．方法一：如图1，取的三边的中点D，E，F，再连接即可；方法二：在边上取点K，M，N，使，连接即可；方法三：取边的中点Q，连接，再取的中点P，连接即可． 【详解】解：如图， 易错题型七、全等三角形的性质与判定 19．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等得到，而，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 20．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明得到，再加上的长度即可求解． 【详解】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∵的长度为， ∴小红（点）到地面的距离为， 故答案为：． 21．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，，，，垂足分别为，点在上，且，过点的任一直线与，分别交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 易错题型八、斜边的中线等于斜边的一半 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，为斜边的中点，连接，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半. 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵，为斜边的中点，， ∴ 故选：C． 23．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，D是AB边的中点，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得CD的长． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=2，BC=6， ∴AB=， ∵D是AB边的中点， ∴CD=AB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、斜边上的中线，解答本题的关键是求出AB的长． 24．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形斜边中线的性质推出，，即可证明． 【详解】证明：，， ， 为的中点， ，， ． 易错题型九、等腰三角形的性质和判定 25．（25-26八年级上·江苏常州·单元测试）如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 26．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 ． 【答案】125°/125度 【分析】利用等腰三角形的性质和四边形内角和定理可得答案． 【详解】∵AB＝BC＝BD， ∴∠A＝∠ADB，∠BDC＝∠C， ∵∠A+∠ADB+∠C+∠BDC+∠ABD+∠CBD＝360°， ∴2∠ADB+2∠CDB+∠ABC＝360°， ∴2（∠ADB+∠CDB）+110°＝360°， ∴∠ADB+∠CDB＝125°， 即∠ADC＝125°， 故答案为：125°． 【点睛】考查等腰三角形的性质以及四边形的内角和，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 27．（25-26八年级上·江西赣州·期中）在中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)如图1，已知点D，E分别是，的中点，作出的对称轴； (2)如图2，以的两腰为边向外作等边和，作出的对称轴． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形中线的性质，作出的对称轴即可； （2）根据等腰三角形的性质，作出的对称轴即可． 【详解】（1）解：由于，点D，E分别是，的中点，则连接、，且与交于点，连接并延长， 如图1，即为所求： （2）解：连接、交于点，连接并延长，如图2即为所求： 延长交于点，连接并延长，如图3即为所求： 易错题型十、等边三角形的判定和性质 28．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 30．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）已知：如图，中，，点为的中点，连接． ​ (1)请你写出两个正确结论：________ (2)当时，还可以得出正确结论：________ 【答案】(1)， (2)是等边三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合)，写出两个结论即可； （2）根据等边三角形的判定定理“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，可得是等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， 又∵点为的中点， ∴可得：， ∵是等腰底边 上的中线， ∴也是底边上的高， ∵已知点为的中点， ∴； 故答案为：①；②； （2）∵，， ∴是等边三角形． 故答案为：是等边三角形． 易错题型十一、求一个数的算术平方根与平方根 31．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）一个数值转换器的运算流程如图所示．例如：当输入时，第一次运算不是无理数，则进行第二次运算不是无理数，再进行第三次运算是无理数，则输出．若输入，则输出的数为（　　） A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根．先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是49时，取算术平方根是7，7是有理数， 再把7输入，7的算术平方根是，是无理数，所以输出是． 故选：B． 32．（24-25八年级上·江苏常州·假期作业）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查算术平方根，平方根，先求出，再求4的平方根即可；求出，再求9的算术平方根即可． 【详解】解：∵，4的平方根为， ∴的平方根是； ∵，9的算术平方根为3， ∴的算术平方根是3， 故答案为：，3． 33．（24-25八年级上·江苏徐州·月考）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 易错题型十二、求一个数的立方根 34．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）若，则的立方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的定义和性质，立方根的关键性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是；且一个数的立方根是唯一的；即可解答． 【详解】解：∵， ∴的立方根为． 故答案为：B． 35．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）的立方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟知这两个概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， 又，27的立方根是3， 的立方根是3， 故答案为：，3． 36．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数立方根． （1）根据立方根的定义求解即可． （2）根据立方根的定义求解即可． （3）根据立方根的定义求解即可． （4）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 易错题型十三、近似数 37．（25-26八年级上·江苏南京·期中）2025年江苏省城市足球联赛十分火爆，常规赛阶段累计现场观赛人数约为2118900人．“苏超”场均观赛人数2118900用四舍五入法精确到万位所得到的近似数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数和科学记数法，熟练掌握科学记数法的方法是解题的关键． 将2118900四舍五入到万位，需看千位数字8，由于，向万位进位，得到2120000，再用科学记数法表示为即可． 【详解】解：数2118900的千位是8，由于，向万位进位，万位1变为2，得到2120000， 用科学记数法表示为：． 故选：C． 38．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把精确到得到的近似数是 ，近似数表示精确到 位． 【答案】 千 【分析】本题考查了求近似数，求精确度． 第一部分根据四舍五入法，将精确到（十分位），需看百分位数字；第二部分根据科学记数法近似数的有效数字，确定的精确位． 【详解】解：精确到：百分位数字为4，且，∴根据四舍五入法，舍去百分位及以后数字，得； 近似数：，有效数字为1、2、5，最后一位有效数字5位于千位，∴精确到千位． 故答案为：，千． 39．（24-25八年级上·江苏常州·期中）用四舍五入对圆周率按以下要求取近似数． （1） （精确到个位）； （2） （精确到或精确到十分位）； （3） （精确到或精确到百分位）． 【答案】 3 【分析】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答． （1）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到个位； （2）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到十分位； （3）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【详解】解：（1）（精确到个位）； （2）（精确到十分位）； （3）（精确到百分位）． 故答案为：3，，． 易错题型十四、无理数的概念 40．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数，根式等，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：（相邻两个1之间0的个数逐次加是无理数，共4个． 故选：B． 41．（2025·江苏无锡·模拟预测）在实数，，，， 中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 综上可知：无理数有个， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·江苏常州·课前预习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 【答案】解：有理数：①③④⑤；无理数：②⑥． 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念辨析，解题的关键是掌握有理数（整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的定义特征． 根据有理数是有限小数或无限循环小数、无理数是无限不循环小数的定义，对每个数逐一进行判断，区分出有理数和无理数． 【详解】解：①是有限小数，属于有理数； ②是无限不循环小数，属于无理数； ③0是整数，属于有理数； ④是分数，属于有理数； ⑤是无限循环小数，属于有理数； ⑥（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数． 因此，有理数有①③④⑤，无理数有②⑥． 易错题型十五、实数的混合运算 43．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）计算 的结果是（　） A．0 B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查的是实数的混合运算，掌握乘方的定义、立方根的定义和算术平方根的定义是解决此题的关键． 依次计算各部分的算术平方根、立方根及乘法，再合并结果． 【详解】 故选：B． 44．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算的值 ． 【答案】 / 【分析】此题考查了实数的混合运算． 分别计算算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减法即可． 【详解】解：原式 故答案为： 45．（25-26八年级上·广东东莞·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，进行负整数指数幂，开方，乘方和乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 易错题型十六、勾股定理与无理数 46．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，数轴上点表示的数为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，正确应用勾股定理是解题关键．根据图示，可得：点A是以数轴上1表示点为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可． 【详解】解∶根据题意，得， 故选∶C． 47．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图为方格，每个小正方形的边长都为1． (1)图1中阴影正方形的面积为________，边长为_______； (2)请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，并求出所画正方形的边长．要求所画正方形满足以下条件：①正方形的边长为无理数  ②正方形的四个顶点均在网格格点处． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求得正方形的边长，进而求得正方形的面积； （2）根据题意可以选取边长为为边长画出正方形即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为：，面积为， 故答案为：；； （2）解：如图所示（答案不唯一），正方形的边长为，正方形的面积为 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键． 易错题型十七、用勾股定理解三角形 49．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 同理可得：，； 故选B． 50．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，则底边上的高 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活应用是解题关键．先根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 51．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）由（1）可证得是直角三角形，根据勾股定理，求出的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， 则，即 因此是直角三角形； （2）解：由（1）可知 在中，， 根据勾股定理得， 即 解得 因此 答：的面积为． 易错题型十八、勾股树（数）问题 52．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．66 B．16 C．32 D．23 【答案】A 【分析】本题考查了勾股树，正方形的面积公式． 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为， ，， 于是， 即可得． 故选：A． 53．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，观察、、，找出规律：，进而求出． 【详解】解： …… ∴ 故答案为：． 【点睛】本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键． 54．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）你探索出了哪些有关勾股数组的规律？ （2）小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．再找几组数，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据勾股数的规律写出勾股数组的规律，扩大正整数倍，仍是勾股数组，较大的两个数为连续整数时，最小是的平方为奇数，当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数； （2）根据题意验证规律即可． 【详解】解：（1）探索的规律如下：①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后，仍然是一组勾股数； ②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数； ③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数； （2）他发现的规律正确，理由如下： 例如勾股数6,8,10,约去公因数后为3,4,5,满足该形式 例如勾股数5,12,13,其中满足该形式， 故他发现的规律正确满足这个规律的数组都是勾股数组，理由如下： 若一组整数中的三个数，其中一个数为2mn，另外两个数分别可以写成 满足这个规律的数组都是勾股数组． 【点睛】本题考查了勾股数，熟悉常用的勾股数是解题的关键． 易错题型十九、利用勾股定理的逆定理求解 55．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中， ，且，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，则可证明，可以得到是直角三角形，且，再由进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选B． 56．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 57．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度， 再根据勾股定理的逆定理判断出的形状， 再利用三角形的面积公式求解即可 ． 【详解】解：：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积的面积的面积． 易错题型二十、用有序数对表示路线与位置 58．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（    ） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了写出图中点的位置，根据图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，A地的位置是东经，北纬， 故选：D． 59．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若用表示“物质之妙展区”所在区域，则“宇宙之奇展区”所在区域可以表示为 ． A B 3 物质之妙展区 4 宇宙之奇展区 【答案】 【分析】本题考查坐标与位置，根据表示“物质之妙展区”所在区域，得到“宇宙之奇展区”所在区域可以表示为，即可． 【详解】解：由题意，可知：“宇宙之奇展区”所在区域可以表示为； 故答案为：． 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【答案】(1)光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区 (2)见解析 【分析】本题考查了区域定位法在生活中的运用； （1）根据题意找到位置即可； （2）利用区域定位法描出公交路线. 【详解】（1）解：光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区． （2）如图所示，图中黑粗线即为所求． 易错题型二十一、已知点所在的象限求参数 61．（25-26八年级上·江苏常州·单元测试）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，根据第四象限点坐标的特征求解即可． 【详解】解：∵目标在第四象限， ∴其坐标的符号是，观察各选项只有B符合题意， 故选：B 62．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标为负数，列出不等式组求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解①得， 解②得， 原不等式组的解集为：． 故答案为：． 63．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标． (2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． 【答案】(1)点 (2)点 【分析】本题考查的是坐标与图形，根据点的位置结合坐标特点建立方程求解即可； （1）由点P在x轴上，可得，再进一步求解即可； （2）由直线轴，点Q的坐标为，可得，进一步求解即可； 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点． （2）解：∵直线轴，点Q的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴点． 易错题型二十二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 64．（24-25八年级下·陕西西安·期中）将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的平移，坐标轴上的点的特征，掌握相关知识点是解题的关键．根据点向左平移4个单位长度得到点，再根据该点在y轴上横坐标为0，可得答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点， 即． ∵点在y轴上， ∴， 解得． 故选：C． 65．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是 ． 【答案】 【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为． 故答案为： 66．（24-25八年级上·陕西·期末）在如图的平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上，且坐标分别是，，． (1)请在图中画出三角形； (2)画出将三角形先向左平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度后得到的三角形，并写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点的坐标，先在坐标系中描出A、B、C，再顺次连接A、B、C即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ∴，，． 易错题型二十三、已知两点关于原点对称求参数 67．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）点与点关于原点对称，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标和纵坐标分别与点B的横坐标和纵坐标互为相反数，由此求出a和b的值，再计算a的b次方． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故选：C． 68．（24-25八年级上·广西柳州·月考）已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握：关于原点对称的点坐标，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点坐标的特征求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：． 69．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了关于原点对称问题，根据关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得． 易错题型二十四、坐标与图形变化——轴对称 70．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法，熟练掌握点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，根据整点可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点M与点N关于x轴对称， ∴； 故选B． 71．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意的描述，得火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称，结合火焰顶尖S点的坐标是，则顶尖点的坐标是，即可作答． 【详解】解：依题意，火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称， ∵火焰顶尖S点的坐标是， ∴顶尖点的坐标是， 故答案为：． 72．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．请画出与关于轴对称的（点的对应点分别为点，），并写出点的坐标． 【答案】图详见解析，，， 【分析】本题考查了直角坐标系以及关于轴对称，先找到点的对应点，依次连接． 【详解】解：关于轴对称， 横坐标不变，纵坐标为相反数， 关于轴对称的点为：， 关于轴对称的点为：， 关于轴对称的点为：， 如图所示，在直角坐标系上找到，依次连接，与关于轴对称． 易错题型二十五、函数的概念 73．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列各图中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，由题意，是的函数，依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，因此D选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 故选：D． 74．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在关系式中，V随着t的变化而变化，其中自变量是 ，因变量是 ，当 时，． 【答案】 t V 15 【分析】本题考查函数的相关概念，以及根据函数值求自变量，掌握自变量，因变量的定义，并将代入关系式中求解，即可解题． 【详解】解：关系式中，V随着t的变化而变化， 是自变量，是因变量， 当时，有，解得， 故答案为：，，． 75．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时抽水15立方米． (1)抽水两个小时后，池中还有水______立方米； (2)在这一变化过程中哪些是变量？哪些是常量？ 【答案】(1)190 (2)答案见解析 【分析】（1）用容积总量减去3台抽水机2小时抽水的量即可； （2）根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量； 【详解】（1）解：抽水2小时后，池中还有水：（立方米）； 故答案为：190； （2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间，水池中的水的体积是变量； 【点睛】本题考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 易错题型二十六、求自变量的值或函数值 76．（24-25八年级下·四川内江·月考）在物理实验中，测量一个物体的重力加速度g，根据公式（其中h为下落高度，t为下落时间），若米，秒，则g的值为（结果保留根号）（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】C 【分析】本题考查函数解析式，将，代入求出对应的的值即可．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：（米/秒）． 故选：C． 77．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    【答案】70 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键．把代入，如果结果大于12就输出，如果结果不大于12，就再算一次． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 输出因变量． 故答案为：70． 78．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离与时间之间的函数表达式为． (1)根据表达式完成下表； 时间 1 2 3 4 距离 (2)当小球滚动时，其滚动的距离是多少？ 【答案】(1)2，8，18，32 (2)其滚动的距离为 【分析】本题主要考查了求函数值： （1）分别求出当，，，时，对应的s的值即可； （2）把代入函数表达式，求出s的值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 完成表格，如下： 时间 1 2 3 4 距离 2 8 18 32 （2）解：当时，， 即当小球滚动时，其滚动的距离是． 易错题型二十七、正比例函数的定义 79．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）下列函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义．一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数．根据正比例函数的定义即可得答案． 【详解】解：A．是一次函数，不符合题意； B．是一次函数，不符合题意； C．未知数的次数是次，不满足正比例函数的定义，不符合题意； D．是正比例函数，符合题意． 故选：D． 80．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知是关于的正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如的函数称为正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 81．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知函数． (1)若函数为正比例函数，求的值； (2)若函数过点，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数的解析式，熟练掌握正比例函数的定义，待定系数法求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （2）把，代入解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：； （2）把代入，得：， 解得：． 易错题型二十八、求一次函数解析式 82．（24-25八年级下·陕西延安·月考）变量x，y的一些对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 7 11 15 … 根据表格中的数据，当时，y的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求函数解析式、求函数值等知识点，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 由表格可知，x的值增加1，y的值增加4，x与y之间是一次函数的关系，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式并将代入，求出对应的y值即可． 【详解】解：由表格可知，x的值增加1，y的值增加4， ∴x与y之间是一次函数的关系． 设y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）， 将，和分别代入， 可得：，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，． 故选：A． 83．（2025·辽宁锦州·三模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质；设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，则， ∵直线l将这八个边长为1的正方形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为：． 84．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，一次函数等知识，解题的关键是： （1）先求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解∶ ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点C在y轴正半轴上， ∴； （2）解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴． 易错题型二十九、一次函数的图象与性质 85．（25-26八年级上·江西吉安·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据已知得出，进而判断的图象，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限 ∴， ∴的图象经过一、三、四象限 故选：B． 86．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 87．（25-26八年级上·山西太原·期中）在如图的平面直角坐标系中，直接画出一次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数图像， 根据一次函数解析式列表，然后描点，连线即可． 【详解】解：列表 画图如下： 易错题型三十、据一次函数增减性求参数 88．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：B． 89．（24-25八年级上·天津·期末）（Ⅰ）如图，过点画直线轴，过点画直线轴，直线，相交于点，则点的坐标是 ； （Ⅱ）已知非负数，满足条件，若，则的最大值与最小值的积为 ． 【答案】 （-3，2） 50 【分析】（1）由直角坐标系中的点的坐标特点及图形即可求解； （2）由得b=5-3a，根据，都是非负数，可得a的取值范围，根据一次函数的性质从而得到答案． 【详解】（1）由题意可得点M的横坐标与点P的横坐标相同，为-3； 点M的纵坐标与点Q的纵坐标相同，为2； ∴点的坐标是（-3，2） 故答案为：（-3，2）； （2）∵ ∴b=5-3a ∵，都是非负数， ∴a≥0，b=5-3a≥0 解得0≤a≤ ∵=6a+5-3a=3a+5 ∴当a=0时，m的最小值为5； 当m=时，m的最大值为10 故的最大值与最小值的积为5×10=50 故答案为：50． 【点睛】此题主要考查坐标与图形、一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知坐标与一次函数的性质． 90．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质． （1）根据y随x的增大而减小，即，建立不等式求解即可； （2）根据一次函数不经过第四象限，即，建立不等式求解，再结合m为整数判断即可． 【详解】（1）解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下： ∵一次函数不经过第四象限， ∴且， ∴解得． ∵m为整数， ∴或． 易错题型三十一、一次函数与方程及不等式 91．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线、的交点坐标可以看作哪一个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用待定系数法求得两个一次函数的解析式，即可求得答案． 【详解】解：不妨设、为，， 不妨设过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 由题意可知，过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 直线、的交点坐标可以看做方程组的解， 故选：A． 92．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集． 根据函数图象，结合点的横坐标，即可得不等式的解集． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 93．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知直线：经过点． (1)求直线的函数表达式，并在图中画出其函数图象； (2)将直线向上平移3个单位，得到直线，画出该函数图象， ①直接写出直线的表达式为： ②直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】(1)，图象见解析 (2)图象见解析；①；② 【分析】本题考查一次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式和平移规律是解题的关键， （1）利用待定系数法求函数解析式，再利用两点法画出函数图象即可； （2）根据函数平移的性质得到函数图象和解析式，再根据图象与轴的交点，，即可求得答案． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的函数表达式为， 当时，， 函数的图象如图所示． （2）解：直线的图象如图所示． 将直线向上平移个单位，得到直线， 直线的表达式为，即． 故答案为． ， 当时，， 解得， 直线与轴的交点坐标是． 故答案为． 压轴题型一、实数与数轴综合应用 1．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)阴影部分的面积为2，边长为 (3)或． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格． (1)网格中以为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无理数”）． (2)仿照（1）中的思路，在网格中设计以为边的正方形，并求出线段的长． (3)若C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 【答案】(1)2；；无理数 (2)正方形如图， (3)的立方根为2 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的定义，算术平方根的应用，求立方根等； （1）由网格可求出正方形的面积，由算术平方根求出边长，再由无理数的定义，即可求解； （2）有网格可求格点正方形为，算术平方根即可求解； （3）由相反数的定义得，求出、，即可求解． 理解实数与数轴，无理数的定义，会用算术平方根求解，会求立方根是解题的关键． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 由算术平方根得， 正方形的边长为， 是无理数； 故答案为：2；；无理数． （2）解：如图，构造以为边的格点正方形（答案不唯一）． ∵， ∴， ∴． （3）解：由条件，可知， ∴，且， 解得，． ， 的立方根为2． 3．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为___________；点表示的数为___________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）根据，有，即可得，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， ， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解： 是整数，， ， ． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）①如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，边长为______；这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ ②由此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法，则图2中A，B两点表示的数分别为______；______． ③爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出正方形．如图3，将两个长和宽分别为c和b的长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，请用②中相同的方法在数轴上找到表示的点P．（作图过程中标出必要的线段长）． 【答案】①，，；②，；③见详解 【分析】本题考查了实数与数轴，用数形结合的思想是解此题的关键． 根据大正方形的面积个小正方形的面积和，解答即可； 结合①可知题图2中小正方形的对角线长为，从而可得，，结合数轴即可得解； ③由题意可得，大正方形的面积为，故大正方形的边长为，即长方形的对角线为，由此结合数轴画图即可． 【详解】解：①由题意可得：所得到的大正方形的面积为；边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为； 结合①可知题图2中小正方形的对角线长为， ∴，， ∴图2中A，B两点表示的数分别为，； ③由题意可得，当时， 图3中得出的小正方形的边长为， 大正方形的面积为， 故大正方形的边长为，即长方形的对角线为， 在数轴上表示，如图所示，点表示的数为． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，教材有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为________； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如下图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________； (3)通过动手操作，漠子同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)画图见解析 【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （2）依据图2中小正方形对角线长为，原点与A之间的距离为，从而可得到A点表示的数为； （3）先根据大正方形的面积为5，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示的点即可． 【详解】（1）解：∵面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； （2）如图中小正方形对角线长为， 原点与A之间的距离为， ∴A点表示的数为 ； 故答案为：； （3）如图，大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点C表示的数为． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．同时考查了勾股定理的应用，数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 压轴题型二、算术平方根和立方根的综合应用 6．（24-25八年级上·江苏连云港·月考）（1）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． （2）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 【答案】（1）64；（2）2 【分析】此题考查了实数的运算、无理数的估算和算术平方根、立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用算术平方根，立方根定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值； （2）根据题意，利用无理数估算的方法求出x与y的值，即可求出的算术平方根的值． 【详解】解：（1）∵的算术平方根是3，的立方根是2， ∴，， 解得：，， 则； （2）解：∵，其中x是整数，且，， ∴，， 则， ∴的算术平方根是2． 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是 (2)这个大长方体木块的表面积是 【分析】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键． （1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可； （2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可 【详解】（1）解：∵大正方体木块的体积是， ∴每个小正方体木块的体积是 ∴每个小正方体木块的棱长是： 答：每个小正方体木块的棱长是． （2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是， ∴这个大长方体木块的表面积是： 答：这个大长方体木块的表面积是． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号），因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最大值为______． （2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的是出猜想：（当且仅当时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是正实数，求的最小值． 【答案】（1）；（2）当时，最小值为8；（3）5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，算术平方根的应用，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键． （1）将原式变形为，再根据“基本不等式”的性质求解即可； （2）将原式变形为，再根据“基本不等式”的性质求解即可； （3）原式变形为，再根据“基本不等式”的性质得到，即可求解． 【详解】由题意，， 又， ∴， ∴ 有最大值； 故答案为：； 由题意， ∵， ∴ ∴， 当时，即舍去或时，y有最小值， 答：当时，最小值为8； 由题意，， ，b，c是正实数， ， ， 的最小值为5， 的最小值为． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 10．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)说法错误，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键； （1）将已知数据代入公式，即可求解； （2）根据题意，求得，进而比较和，即可求解． 【详解】（1）解：由可得： ； 答：此时d的值为． （2）说法错误，理由如下： 站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时， ， ， ， ， ∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海． 压轴题型三、勾股定理折叠问题 11．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)求证是等腰三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质结合平行线的性质可得，由等角对等边可得，即可得证； （2）利用勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：由翻折性质得， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：由题意可得：，， ∴， 在中，， 由（1）可得， ∴， 解得． 12．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长；过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 过点作于，则， 在中， ，由勾股定理：，即， ． ， ， ， ； （2）解：过点作于， ， ，， ， ， ． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 【答案】验证：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；[应用] （），理由见解析；（） 【分析】[验证]：由折叠的性质得，由平行线的性质得，即得，即可求证； [应用]（）同理[验证]得，即得，进而得到，即可求证；（）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】[验证]证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ∵四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等式的基本事实）， （等角对等边）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； [应用]（），理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． (1)观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． (2)迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． (3)拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】(1)或（写出一个即可） (2)阴影部分的面积是 (3)的长为或 【分析】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． （1）由，，可得，故，从而； （2）点H是的中点，，，，再证，求出，根据三角形面积公式得阴影部分的面积即可； （3）分两种情况：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，求出，设，则， 再证明，即可求解；②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，求得，得，，，故，根据，即可解答． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）； （2）∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； （3）①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 压轴题型四、勾股定理及其逆定理的综合应用 16．（25-26八年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)千米 (2)平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米，千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）某校开设创意编程、3D模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 【素材一】如图所示，四边形是模型零件平面图． 【素材二】通过扫描测量，已知，，，，． 【问题解决】根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】该模型零件平面图的面积为． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理.连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， 在中，，， ， 是直角三角形，． ， 即该模型零件平面图的面积为． 18．（25-26八年级上·四川成都·期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 【答案】(1)米 (2)26 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可求解； （2）根据勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． （2）解： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， 即的长度为26米． 19．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 压轴题型五、点坐标规律探索 21．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； 故答案为： （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在x轴上， 所以解得； 22．（25-26八年级上·福建三明·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，求出的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点，然后分为点在轴和轴上计算即可． 【详解】（1）解：点的“2级关联点”是， 即点的坐标为； （2）解：点的“级关联点”为， 则， 解得， ． （3）解：点的“级关联点”为，即， 当点在轴上时，，解得，这时点， 当点在轴上时，，解得，这时点， 综上所述，点的坐标为或． 23．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的规律探究，掌握通过分析点的坐标变化寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）①分析运动次数与坐标的关系，找出、的坐标规律为横纵坐标相等，且都为下标的； ②由①发现的规律总结出的坐标； （2）先找出这些点的下标与序号之间的规律，再据此计算序号是第676个点的下标即可． 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，，则称为两点的“直角距离”，记作．如图，，则．观察图形可知，两点的“直角距离”等于某两条线段的和． (1)已知，则y的值为_______； (2)已知，且，求的值； (3)已知，且，，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，解绝对值方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据定义分别求出，，再去绝对值后求和即可得到答案； （3）根据定义分别表示出，再根据得到关于t的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ， ∵， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 综上所述，． 25．（24-25八年级上·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 压轴题型六、坐标系中的动点问题探究 26．（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：，，； （2）顺次连接A，B，C，组成，求的面积． （3）在y轴上有一动点P，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，；（3） 【分析】本题考查坐标与图形、平面直角坐标系中三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积． （1）在平面直角坐标系中，描出点即可； （2）顺次连接A，B，C，组成，利用割补法求出的面积即可； （3）连接交于点P，利用勾股定理求得长即可． 【详解】解：（1）如图，点A，B，C，即为所作； （2）如图，即为所作， 的面积； （3）的最小值． 27．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)图见解析，点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】本题考查了作图—旋转变换，平移变换，轴对称变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标； （2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标； （3）找点A关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如上图，即为所求，点的坐标为； （3）解：如图，点与点关于轴对称，连接交轴于点， ∴， 的最小值为． 28．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中a，b满足，连接，． (1)求点B的坐标； (2)动点P以每秒2个单位的速度从O点出发，沿着x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示的面积； (3)如图所示，在（2）的条件下，连接交于E，是否存在这样t的值，使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为 【分析】本题考查平面直角坐标系，动点问题，涉及到解二元一次方程组、面积分割法求面积等，灵活运用所学知识是关键． （1）解二元一次方程组求解即可； （2）把的面积看成即可求解； （3）根据，得到，建立关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得： 得： 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：如图所示：连接， ∵动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发沿x轴正半轴匀速运动， 设点P的运动时间为t秒， ∴， ∵，， ∴，，， 由图可得：， ， ； （3）解：存在，t的值为， 如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 29．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们把，两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫作，两点间的“折线距离”，记作．例如： 已知，则． (1)已知，则的值为________． (2)已知，且，求的值． (3)已知，动点．若，两点间的“折线距离”与，两点间的“折线距离”的差的绝对值是，求的值，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出所有符合条件的点组成的图形． 【答案】(1) (2) (3) 的值为或，图见解析 【分析】（1）根据题干给出的可以求得值； （2）逆用题干公式即可求得的值； （3）根据公式和，两点间的“折线距离”与，两点间的“折线距离”的差的绝对值是，可得的关系式，分类讨论，即可求解，并在平面直角坐标系画出即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：. （2）解：， ， 解得； 故答案为：． （3）解：由题意可知，， ． 当时， ，不合题意，舍去； 当时， ， 即， 解得或； 当时， ， 不合题意，舍去． 综上所述，的值为或． 所有符合条件的点组成的图形如图所示 故答案为：的值为或. 【点睛】本题考查了两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． 30．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)作图见解析，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据题目可知是的中点，即可得解； （2）过点作，垂足为，证明和，即可得证； （3）当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，再分两种情况讨论：当点在点与点之间时，当点在点的右边时讨论即可． 【详解】（1）由题可知：， ， ，， ． （2）过点作，垂足为， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，． ①当点在点与点之间时，过点作交的延长线于点，如图（1）， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点在点的右边时，作，如图（2）， 由题可得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 压轴题型七、全等三角形最值问题 31．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，，． (1)求直线AB的解折式； (2)如图2，已知P为直线l：上一点，且，求点P的坐标； (3)若点D为第一象限内一动点，且，求BD的最小值． 【答案】(1) (2)（−1，）或（9，） (3) 【分析】（1）先得出BD的长，再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）设P（m，），作PQ∥y轴交直线AB于点Q，则Q（m，），再利用△ABP和四边形ABCO的面积求解即可； （3）过点O作OM⊥OD交DC的延长线于点M，连接DA，易得△MOD为等腰直角三角形，证出△MOC≌△DOA，得到∠CDA=90°，连接CA，取CA中点N,连接BN，DN，在Rt△CAD中，求出ND的长度，根据勾股定理求出BN的长度，根据三角形两边之差小于第三边得到． 【详解】（1）解：过点B作BD⊥OA于点D， ∴∠BDA＝90°， ∵BC∥OA，BC＝2，OA＝6， ∴AD＝6−2＝4， 在Rt△ABD中， BD＝， ∴B（2，6），A（6，0）， 设直线AB的解析式为：y＝kx＋b， 把B（2，6），A（6，0），代入得：， 解得： ， ∴直线AB的解析式为：； （2）设P（m，）， 作PQ∥y轴交直线AB于点Q， 则Q（m，）， ∴PQ＝|yQ−yP|＝， ∵xA−xB＝6−2＝4， ∴S△ABP＝PQ•(xA−xB)＝×4×|4−m|＝|8−2m|， S四边形ABCO＝×(2＋6)×6＝24， ∴|8−2m|＝×24， 即8−2m＝10或2m−8＝10， ∴m＝−1或9， ∴点P的坐标为：（−1，）或（9，）； （3）过点O作OM⊥OD交DC的延长线于点M，连接DA， ∵∠ODC=45°，∠MOD=90°， ∴△MOD为等腰直角三角形， ∴MO=DO，∠M=45°， ∵CO=AO=6，∠COA=90° ∴∠MOC=∠DOA， ∴△MOC≌△DOA (SAS)， ∴∠ODA=∠M=45°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°， 连接CA，取CA中点N,连接BN，DN， 在Rt△CAD中，CA=， ∴ND=AC=， ∵B (2,6)，N (3,3) ∴ ∴ 即BD的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理及三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 32．（24-25八年级上·陕西西安·期中）问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）能达到， 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，最短距离问题，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据三点共线，两点之间，线段最短即可求解； （2）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，确定当A、F、G三点共线时，最小，结合图形，利用各角之间关系即可求解． 【详解】解：（1）∵两点之间，线段最短， ∴当A、P、B三点共线时，取得最小值， 即； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，最小，此时，点F位置如图所示： 此时，， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为． (1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由； (2)如图3，延长交直线于点P． ①求证：； ②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①见解析；②存在，的最大值为 【详解】（1）如图2中，结论：． 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴（SAS）． （2）①证明：如图3中，设交于O． ∵， ∴， ∵， ∴在与中 ， ∴． ②存在 ∵，是定值， ∴当最小时，的值最大， ∴当时，的值最小，此时的值最大，此时点F与P重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题． 34．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． (3)若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有______个． (4)若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系：______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3)2个 (4)图见解析，与关于所在直线成轴对称，与关于的中垂线成轴对称，与关于的中点成中心对称． 【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可； （2）作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P，然后根据两点之间线段最短得到周长的最小值为，最后根据勾股定理求解即可； （3）根据等腰三角形的概念求解即可； （4）根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图，作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P． ∵周长， ∴周长的最小值为； （3）如图所示， ∴使是等腰三角形的点有2个； （4）如图所示， 与关于所在直线成轴对称， 与关于的中垂线成轴对称， 与关于的中点成中心对称． 【点睛】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值，作对称图形，等腰三角形的概念，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 35．（24-25八年级下·河南商丘·期末）实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 【答案】(1)①，证明见解析，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)25 【分析】（1）通过折叠,使点B与点A重合，再展开得到BD=AD,由折叠使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=，倍长CD至点E，连接BE，先证，由全等的性质得到，再进一步证明，证得CE=AB,从而证得CD= （2）由垂线段最短知：AB边上中线长，又，所以，所以Rt△ ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25 【详解】（1）解：①由折叠知：CD=BD=AD =，下面证明 下图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE， 在和中， 在和中， ∴CE=AB ∴CD=； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）由垂线段最短知：AB边上中线长 ,当D为AB中点时，即Rt△ ABC为等腰直角三角形时， 面积最小为：． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力． 压轴题型八、垂直平分线常见辅助线添加 36．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， 为 的角平分线，边 的垂直平分线分别交，，于点，，，连接、． (1)不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（ 除外），并用“”表示全等的等腰三角形． (2)若 求 的度数．（可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，结合图形求解是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，再由等腰三角形的定义及全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）解：等腰三角形有； ∵ 为 的角平分线， ∴垂直平分边， ∴， ∵边 的垂直平分线分别交，，于点，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 在和中， ∵，，， ∴； （2）∵， ∴ ∵为的角平分线， ∵， ∴． ∵ 为等腰三角形， ∴， ∴ ． 37．（24-25八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形中，，．E、F两点分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长到点G，使，连接．然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程． （2）如图2，在四边形中，，．若E、Ｆ分别在、的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接．先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出垂直平分，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）如图，延长到点，使，连接，延长，交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， 又∵， ∴． 38．（25-26八年级上·江苏常州·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及线段垂直平分线性质， （1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接，证明是等边三角形，得出即可； （2）先证明，进而证明，证明是的垂直平分线即可证明结论； （3）取的中点F，连接，得出，再证明，得出是的垂直平分线即可证明结论． 【详解】解：（1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ，即． （2）．理由如下： F是的中点， ∴． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． （3）．理由如下： 取的中点F，连接， ． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即． 在和中，， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． 39．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）过点作，可得，从而得到、，即可求解； （2）根据题意作图即可； （3）过点G作，根据题意可求出，根据平角的定义可得，然后即可求出答案；过点作，交于点，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意作图如下.    （3）解：∵， ∴， 如图乙，过点G作，交于点E，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图丙，过点作，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并熟悉相关模型的辅助线是解题关键． 40．（24-25八年级上·山西运城·期末）下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日   星期日 作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线，上截取； （2）分别作，的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是，的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： (1)小亮思考过程的依据1、依据2分别是______、______． (2)请将辅助线及小亮的思考过程补充完整． (3)请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、等量代换 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，等量代换即可求解； （2）利用判定即可； （3）方法不唯一，正确即可． 【详解】（1）垂直平分线的点到线段两端点的距离相等， 又、分别是，的垂直平分线， ，． （等量代换）． （2） , ． ， 是的角平分线． （3） ①以点为圆心画圆，交于点，交于点，连接； ②分别以点、点为圆心，大于为半径长作圆，则有两圆交点； ③连接则为的角平分线． 压轴题型九、全等三角形判定与性质综合应用 41．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）过作的延长线于点，可证，得到，再证明，得到，即可求证； （）由全等三角形的性质得，，即得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作的延长线于点， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）证明：由（）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 42．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握作图技能． （1）画射线，截取，利用画一个角等于已知角的方法作即可； （2）如图所示，过点B作，证明出，即可得到． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示，过点B作 ∴ ∵， ∴ ∴． 43．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【生活背景】村口有一条小河，小明想测量河宽，如图． 【测量操作】 ①把河两岸近似看作两平行的直线和，在河岸上取点； ②在河岸的另一侧取一点，使； ③在上取两点，使； ④作，且在同一条直线上； 【结论】测得的长就是河宽的长度． 【解决问题】按照操作获得的结论正确吗？如果正确，请给予证明，如果不正确，请说明理由． 【答案】正确，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，做题时要注意寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题是测量两点之间的距离方法中的一种，符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，只要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施． 【详解】解：，， ， 又直线与交于点， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 即测得的长就是，两点间的距离， 正确，因为得出， 所以测得的长就是，两点间的距离． 44．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【数学建模】 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中， ，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点． （1）请直接写出，和之间的关系_____． 【变式探究】 （2）小丽认为当不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图，在中，，，，三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗?请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和均为等边三角形，点，，是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形． 【答案】（1）；（2）小丽的说法正确，理由见解析；（3）说明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知条件可证明，可得，，即可求解； （2）根据已知条件可证明，也可得，，即可求解； （3）根据等边三角形的性质，可得，，再根据（2）得，即可证明，由全等三角形的性质可知，即可说明结论． 【详解】（1），和之间的关系为：； ， ， 直线、直线， ，， ， 在和中： ， ， ，， ， 故答案为： （2）小丽的说法正确，理由如下： 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可得，， 和为等边三角形， ，． ，即． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 45．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 压轴题型十、等腰三角形的性质和判定综合应用 46．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上，在给定的网格中，请只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图中，作出中边上的中线； (2)在图中，在边上作出点，使； (3)在图中，在边上作出点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点O，连接即可； （2）利用网格画图即可； （3）作且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，取的中点，连接，则即为所求． （2）解：如图2，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为所求． （3）解：如图3，作且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ∴， 即， 则点即为所求． 47．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）由平行线的性质可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得，即可证明结论； （2）先证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， 在和中， ∵， ∴， ∴． 48．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 49．（25-26八年级上·浙江温州·期中）【综合实践】阅读下列材料，完成胡老师的两个问题． 数学活动课上，胡老师让学生用一段无弹性绳子沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）小A同学：过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，证明，得出；小B同学：作，交于，可证得，从而； （2）同理小A同学得，，，求出，在中，，进而得出． 【详解】证明：（1）小A同学： 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴，即是的中点； 小B同学： 如图，作，交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即是的中点； （2）证明：同理小A同学得，，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴在整个运动过程中，始终大于． 50．（25-26八年级上·山东淄博·期中）【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让学生以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现．接下来以小组为单位开展进一步的探究． (1)【初步探究】志远小组在老师的基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们说明理由； (2)【深入探究】勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； (3)【拓展应用】创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角按如图4位置摆放，，，若与关于过点的某条直线对称，与交于点，当点在的斜边上时，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，仍成立，见解析 (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的综合问题，掌握证明全等是解题的关键． （1）由得，再用证明，继而得证； （2）根据第（1）问的证明过程可知，只需保证即可，从而得解； （3）证明，得到，再分别求出，继而得到它们相等，从而得到为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当时，仍成立． 理由如下： 若，则， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形． 理由：∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∵与关于过点的某条直线对称， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 压轴题型十一、等边三角形动点问题 51．（24-25八年级下·山东聊城·期末）点为中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． (1)如图，试判断的形状，并说明理由． (2)若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)四个点在一条直线上时，的和最小，理由见解析 【分析】该题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转可得，，即可证明； （2）由（1）可知为等边三角形，则，故，即可得当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 【详解】（1）解：由题意可知由旋转得到， ， ， 又， 为等边三角形． （2）解：当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 理由：由（1）可知为等边三角形， ， ， 观察图可知，当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 52．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)过P点作，求证：是等边三角形； (2)嘉琪说：“在运动过程中，点D一直是线段的中点．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确； (3)当时，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)嘉琪的说法正确，见解析 (3)1 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了含的直角三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题． （1）根据得到，则，即可证明； （2）过P点作，交于F，证明即可； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：嘉琪的说法正确，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形， ∴， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 53．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，点在内．    (1)如图1，点关于射线的对称点分别是，连接 ①若，证明是等边三角形； ②如图2，若，请根据已知补全图形，并判断与的数量关系，请说明理由； (2)如图3，若，分别是射线上的点，于点，点分别为上的两个定点，且，，在上有一动点，连接，请求出当点在什么位置时，的值最小． 【答案】(1)①见解析；②见解析，，理由见解析 (2)过Q作的对称点，连接与交点即为点E，此时的最小值为． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）①由轴对称的性质可得，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形； ②由①知，因此时，，即G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：是等边三角形， 点关于对称的点为G， ， 同理， ， ， ， 是等边三角形， ②补全图形如下：    当时，， 由折叠的性质可知，，， ，， 、O、H在同一直线上 ； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接， 则的最小值为，   ， ， ， ， ， ， 点Q与关于对称， ， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 54．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)①见详解；②3 (2)见详解 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）①由等边三角形的性质得出，，，，证明，由全等三角形的性质得出； ②由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点A作交的延长线于点P，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵，都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 当时，的长取最小值， 此时，，， ∴； （2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，， ∴， ∵N是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 55．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点D在边上，且与不平行时，求证：； (3)如图3，若点D在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质是解题关键， （1）先得出，再根据平行得出，可证明即可得出结论； （2）作，交于点M，证明即可得出结论； （3）作，交于点N，证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，， ， ， ， 为等边三角形； （2）证明：作，交于点M， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 作，交于点N， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 压轴题型十二、一次函数图象平移问题 56．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴相交于，两点，且的面积为． (1)求一次函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度，分别交轴，轴于点，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可求解； （2）由一次函数图象的平移可知平移后的函数解析式为，则有，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 的面积为， ，即， ， ， 把点的坐标代入，得， ， 一次函数的表达式为． （2）解：由（1）可知：将直线向下平移个单位长度，得到直线， 令，则；令，则，解得， ，， ， 四边形的面积为． 58．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． (1)求直线的表达式； (2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，一次函数图象平移，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由角平分线的性质得到角度的关系． （1）先由待定系数法求解直线的表达式，再由向上平移3个单位长度即可得直线的表达式； （2）①根据角平分线的性质，可得，再由平行线的性质可得，再根据三角形内角和性质可得，由此可证； ②根据直角三角形可得，再由三角形内角和性质可得，再由角度相等转化求解度数即可． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵点向上平移3个单位得到点，且， ∴， 即直线的表达式为； （2）解：①记与y轴交点为点Q，如图， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， 有， 即， 即， ∵， ∴； ②连接，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴． 59．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． (1)如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______； (2)如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据点P的坐标为，得到其横坐标为4，利用数形结合思想，写出不等式的解集为； （2）利用平移的思想解答即可； （3）根据，四边形是平行四边形，得四边形的面积为，根据的面积是平行四边形面积的，得的面积是，根据点P在直线上，设，故， 解答即可． 本题考查了根据交点坐标求不等式的解集，平移确定解析式，面积的计算，熟练掌握平移和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P的坐标为，得到其横坐标为4， 则不等式的解集为； 故答案为：． （2）解：直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 故， 设直线的解析式为， 把代入得， 故直线的解析式为． （3）解：根据题意，直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 则，四边形是平行四边形， 故四边形的面积为， 根据的面积是平行四边形面积的， 得的面积是， 根据点P在直线上， 设， 故， 故或， 故或． 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 压轴题型十三、一次函数的实际综合应用 61．（24-25八年级上·河北保定·期中）李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为 元； (2)求 的函数表达式； (3)若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)李老师选乙商店比较合算，理由见解析 【分析】（）求出时的值即可求解； （）根据题意解答即可求解； （）求出时和的值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴甲商店一张会员卡的价格为元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴ 的函数表达式为； （3）解：选乙商店比较合算．理由如下： 当时，，， ∵， ∴李老师选乙商店比较合算． 62．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】(1) (2)第35天时，最大利润为4050元 (3)2 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【详解】（1）当时，； （2）当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； （3）解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 63．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【答案】(1)；当时，；当时， (2)12小时 (3)乙公司，能使租赁的时间更长 【分析】本题考查了一次函数的表达式，方程的应用及函数值的计算与比较． （1）根据题意分别列出与x的关系式和与x的关系式，需注意分情况讨论； （2）由于两家公司提供的方案所需租赁费用相同，列出方程，解得x的值即为播种机的租赁的时间； （3）一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时，将代入到和中，通过比较选择出租赁时间更长的公司即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，； 当时，． （2）解：∵两家公司提供的方案所需租赁费用相同， 根据题意，得，解得， ∴当播种机的租赁时间为12小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同． （3）解：由题可得，一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴选择乙公司，能使租赁的时间更长． 64．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． (2)求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 【答案】(1)；； (2) (3)货车出发小时后两车相距千米． 【分析】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究． （1）观察图象即可解决问题； （2）分别求出得、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时； 轿车的速度是：（千米/小时）； ； 故答案为；；； （2）解：，则 由题意可知， 设直线的解析式为， 则，解得， ； （3）解：当时，，即， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，即， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 解得，则， 综上，货车出发小时后两车相距70千米． 答：货车出发小时后两车相距千米． 65．（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们知道同一地区内，同一时间的气温会随海拔高度的变化而变化，一般地海拔每上升米，气温会下降． (1)某天上午8:00，某地区甲处的海拔为米，气温是．设该地区某处的海拔为米，这天上午8：00的气温为，求关于的函数关系式（不必写出定义域）； (2)如图是某山区的等高线图，一天中午12：00小杰从甲村出发，沿图中标识的线路（粗实线）去乙村，于13：00时恰好翻越山顶，并于14：00到达．已知中午12：00时甲村的气温是，下午14：00时乙村的气温是．请在下图中，画出小杰的行程中时间与当时所处位置气温间的大致图像． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了画函数图象，列函数关系式； （1）根据题意一般地海拔每上升米，气温会下降．列出关系式，即可求解； （2）根据（1）的方法求得山顶时的最低气温，再画出大致图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：12:00（甲村）：对应气温 （起点），海拔为米； 设 当时， 乙村海拔为米，当时，12:00时，乙村的温度为，2小时后为．每小时升温 12:00~13:00（前往山顶）：海拔上升，气温随海拔升高而下降，因此气温从 （逐渐降低，13:00（山顶）时气温达到最低值； 13:00~14:00（前往乙村）：海拔下降，气温随海拔降低而上升，最终 14:00（乙村）时气温升至． 如图所示， 压轴题型十四、一次函数的几何应用 66．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出一次函数的解析式是解题的关键： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）根据的面积是面积的一半，列出方程求出点的纵坐标，进而求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，当时，， ∴或． 67．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）由题意可分当点P在x轴和在y轴上，然后结合等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 68．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)3 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先根据题意得，，再根据，得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q， ∴，， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 69．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线相交于点E，且． (1)求一次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若在x轴上存在点P，使得，请直接写出所有满足条件的点P的坐标； 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出的长，进而得到点A的坐标，再求出直线的解析式，进而得到点B的坐标，再求出点E的坐标，根据列式求解即可； （3）设点P的坐标为，根据三角形面积计算公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵ ∴， 解得或， ∴此时点P的坐标为或． 70．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可； （2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （3）过作于，然后结合图形表示出，得出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：． ， 当时，， ； （2）解：的横坐标为， ， 当时，， ． ， ， ， 由得：， 解得：； （3）解：过作于， ， ， ， ， 解得：． $ 期末易错压轴题型（31易错+14压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、图形的全等 易错题型二、三角形的概念 易错题型三、确定第三边的取值范围 易错题型四、等腰三角形的定义 易错题型五、三角形角平分线的定义 易错题型六、根据三角形中线求长度、面积 易错题型七、全等三角形的性质与判定 易错题型八、斜边的中线等于斜边的一半 易错题型九、等腰三角形的性质和判定 易错题型十、等边三角形的判定和性质 易错题型十一、求一个数的算术平方根与平方根 易错题型十二、求一个数的立方根 易错题型十三、近似数 易错题型十四、无理数的概念 易错题型十五、实数的混合运算 易错题型十六、勾股定理与无理数 易错题型十七、用勾股定理解三角形 易错题型十八、勾股树（数）问题 易错题型十九、利用勾股定理的逆定理求解 易错题型二十、用有序数对表示路线与位置 易错题型二十一、已知点所在的象限求参数 易错题型二十二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 易错题型二十三、已知两点关于原点对称求参数 易错题型二十四、坐标与图形变化——轴对称 易错题型二十五、函数的概念 易错题型二十六、求自变量的值或函数值 易错题型二十七、正比例函数的定义 易错题型二十八、求一次函数解析式 易错题型二十九、一次函数的图象与性质 易错题型三十、据一次函数增减性求参数 易错题型三十一、一次函数与方程及不等式 压轴题型一、实数与数轴综合应用 压轴题型二、算术平方根和立方根的综合应用 压轴题型三、勾股定理折叠问题 压轴题型四、勾股定理及其逆定理的综合应用 压轴题型五、点坐标规律探索 压轴题型六、坐标系中的动点问题探究 压轴题型七、全等三角形最值问题 压轴题型八、垂直平分线常见辅助线添加 压轴题型九、全等三角形判定与性质综合应用 压轴题型十、等腰三角形的性质和判定综合应用 压轴题型十一 等边三角形动点问题 压轴题型十二、 一次函数图象平移问题 压轴题型十三、一次函数的实际综合应用 压轴题型十四、一次函数的几何应用 易错题型一、图形的全等 1．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·江苏常州·假期作业）观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 易错题型二、三角形的概念 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）图中直角三角形的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 易错题型三、确定第三边的取值范围 7．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如果三角形的两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）用两根长分别为6cm和10cm的木条钉成三角形，还需选用一根木条，这一根木条长为偶数，这样的三角形可围出 个，其中周长最大的三角形的周长是 9．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，的三边长分别为a、b、c． (1)若，，求的取值范围． (2)为的中线，若，求与的周长之差．（用字母表示） 易错题型四、等腰三角形的定义 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（   ） A． B． C．或 D．或 11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）若等腰三角形的两条边分别为1和2，则此三角形的周长为 ． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，请用尺规作图法，在的左侧找一点D，使得，且是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 易错题型五、三角形角平分线的定义 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分，，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，D为边上一点，连接，并过点D作于点E．已知，，则的长为 ． 15．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，在直角三角形中，，是的平分线，于点E．求证：． 易错题型六、根据三角形中线求长度、面积 16．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 17．（2025八年级上·广东揭阳·模拟预测）如图，和分别是中线，若的面积等于，则的面积是 ． 18．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）学校有一块三角形空地，要铺成面积相等的四块不同颜色的彩砖．请你设计出三种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限，只要求画出图形）． 易错题型七、全等三角形的性质与判定 19．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为 ． 21．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，，，，垂足分别为，点在上，且，过点的任一直线与，分别交于点．求证：． 易错题型八、斜边的中线等于斜边的一半 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，为斜边的中点，连接，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 23．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，D是AB边的中点，则CD的长为 ． 24．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 易错题型九、等腰三角形的性质和判定 25．（25-26八年级上·江苏常州·单元测试）如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 26．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 ． 27．（25-26八年级上·江西赣州·期中）在中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)如图1，已知点D，E分别是，的中点，作出的对称轴； (2)如图2，以的两腰为边向外作等边和，作出的对称轴． 易错题型十、等边三角形的判定和性质 28．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是 米． 30．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）已知：如图，中，，点为的中点，连接． ​ (1)请你写出两个正确结论：________ (2)当时，还可以得出正确结论：________ 易错题型十一、求一个数的算术平方根与平方根 31．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）一个数值转换器的运算流程如图所示．例如：当输入时，第一次运算不是无理数，则进行第二次运算不是无理数，再进行第三次运算是无理数，则输出．若输入，则输出的数为（　　） A．7 B． C．2 D． 32．（24-25八年级上·江苏常州·假期作业）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 33．（24-25八年级上·江苏徐州·月考）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 易错题型十二、求一个数的立方根 34．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）若，则的立方根为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）的立方根是 ，的立方根是 ． 36．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型十三、近似数 37．（25-26八年级上·江苏南京·期中）2025年江苏省城市足球联赛十分火爆，常规赛阶段累计现场观赛人数约为2118900人．“苏超”场均观赛人数2118900用四舍五入法精确到万位所得到的近似数为（　　） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把精确到得到的近似数是 ，近似数表示精确到 位． 39．（24-25八年级上·江苏常州·期中）用四舍五入对圆周率按以下要求取近似数． （1） （精确到个位）； （2） （精确到或精确到十分位）； （3） （精确到或精确到百分位）． 易错题型十四、无理数的概念 40．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 41．（2025·江苏无锡·模拟预测）在实数，，，， 中，无理数有 个． 42．（25-26八年级上·江苏常州·课前预习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 易错题型十五、实数的混合运算 43．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）计算 的结果是（　） A．0 B． C． D．8 44．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算的值 ． 45．（25-26八年级上·广东东莞·期中）计算：． 易错题型十六、勾股定理与无理数 46．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，数轴上点表示的数为，则的值是（　　） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 48．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图为方格，每个小正方形的边长都为1． (1)图1中阴影正方形的面积为________，边长为_______； (2)请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，并求出所画正方形的边长．要求所画正方形满足以下条件：①正方形的边长为无理数  ②正方形的四个顶点均在网格格点处． 易错题型十七、用勾股定理解三角形 49．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 50．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，则底边上的高 ． 51．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 易错题型十八、勾股树（数）问题 52．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．66 B．16 C．32 D．23 53．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得 ． 54．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）你探索出了哪些有关勾股数组的规律？ （2）小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．再找几组数，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？ 易错题型十九、利用勾股定理的逆定理求解 55．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中， ，且，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 57．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，，，求四边形的面积． 易错题型二十、用有序数对表示路线与位置 58．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（    ） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 59．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若用表示“物质之妙展区”所在区域，则“宇宙之奇展区”所在区域可以表示为 ． A B 3 物质之妙展区 4 宇宙之奇展区 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 易错题型二十一、已知点所在的象限求参数 61．（25-26八年级上·江苏常州·单元测试）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 62．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）点在第四象限，则的取值范围是 ． 63．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标． (2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． 易错题型二十二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 64．（24-25八年级下·陕西西安·期中）将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 65．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是 ． 66．（24-25八年级上·陕西·期末）在如图的平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上，且坐标分别是，，． (1)请在图中画出三角形； (2)画出将三角形先向左平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度后得到的三角形，并写出，，的坐标． 易错题型二十三、已知两点关于原点对称求参数 67．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）点与点关于原点对称，则（   ） A．1 B． C． D．3 68．（24-25八年级上·广西柳州·月考）已知点与点关于原点对称，则 ． 69．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）已知点与点关于原点对称，求的值． 易错题型二十四、坐标与图形变化——轴对称 70．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 71．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是 ． 72．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．请画出与关于轴对称的（点的对应点分别为点，），并写出点的坐标． 易错题型二十五、函数的概念 73．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列各图中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 74．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在关系式中，V随着t的变化而变化，其中自变量是 ，因变量是 ，当 时，． 75．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时抽水15立方米． (1)抽水两个小时后，池中还有水______立方米； (2)在这一变化过程中哪些是变量？哪些是常量？ 易错题型二十六、求自变量的值或函数值 76．（24-25八年级下·四川内江·月考）在物理实验中，测量一个物体的重力加速度g，根据公式（其中h为下落高度，t为下落时间），若米，秒，则g的值为（结果保留根号）（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 77．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    78．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离与时间之间的函数表达式为． (1)根据表达式完成下表； 时间 1 2 3 4 距离 (2)当小球滚动时，其滚动的距离是多少？ 易错题型二十七、正比例函数的定义 79．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）下列函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 80．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知是关于的正比例函数，则 ． 81．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知函数． (1)若函数为正比例函数，求的值； (2)若函数过点，求的值； 易错题型二十八、求一次函数解析式 82．（24-25八年级下·陕西延安·月考）变量x，y的一些对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 7 11 15 … 根据表格中的数据，当时，y的值是（   ） A． B． C． D． 83．（2025·辽宁锦州·三模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线的解析式为 ． 84．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的解析式． 易错题型二十九、一次函数的图象与性质 85．（25-26八年级上·江西吉安·期中）一次函数的图象如图所示，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 86．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 87．（25-26八年级上·山西太原·期中）在如图的平面直角坐标系中，直接画出一次函数的图象． 易错题型三十、据一次函数增减性求参数 88．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 89．（24-25八年级上·天津·期末）（Ⅰ）如图，过点画直线轴，过点画直线轴，直线，相交于点，则点的坐标是 ； （Ⅱ）已知非负数，满足条件，若，则的最大值与最小值的积为 ． 90．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 易错题型三十一、一次函数与方程及不等式 91．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线、的交点坐标可以看作哪一个方程组的解（   ） A． B． C． D． 92．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 93．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知直线：经过点． (1)求直线的函数表达式，并在图中画出其函数图象； (2)将直线向上平移3个单位，得到直线，画出该函数图象， ①直接写出直线的表达式为： ②直线与x轴的交点坐标为 ． 压轴题型一、实数与数轴综合应用 1．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格． (1)网格中以为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无理数”）． (2)仿照（1）中的思路，在网格中设计以为边的正方形，并求出线段的长． (3)若C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 3．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为___________；点表示的数为___________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． (3)已知是整数，，且，求的值． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）①如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，边长为______；这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ ②由此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法，则图2中A，B两点表示的数分别为______；______． ③爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出正方形．如图3，将两个长和宽分别为c和b的长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，请用②中相同的方法在数轴上找到表示的点P．（作图过程中标出必要的线段长）． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，教材有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为________； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如下图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________； (3)通过动手操作，漠子同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 压轴题型二、算术平方根和立方根的综合应用 6．（24-25八年级上·江苏连云港·月考）（1）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． （2）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 7．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号），因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最大值为______． （2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的是出猜想：（当且仅当时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是正实数，求的最小值． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 10．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小晨站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)小哲说“泰山海拔约为，泰山顶部到海边的距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”请判断其结论是否正确，并说明理由． 压轴题型三、勾股定理折叠问题 11．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)求证是等腰三角形． (2)求的长． 12．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 13．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． (1)观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． (2)迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． (3)拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 压轴题型四、勾股定理及其逆定理的综合应用 16．（25-26八年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）某校开设创意编程、3D模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 【素材一】如图所示，四边形是模型零件平面图． 【素材二】通过扫描测量，已知，，，，． 【问题解决】根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 18．（25-26八年级上·四川成都·期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 19．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 压轴题型五、点坐标规律探索 21．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 22．（25-26八年级上·福建三明·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，请直接写出点的坐标． 23．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 24．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，，则称为两点的“直角距离”，记作．如图，，则．观察图形可知，两点的“直角距离”等于某两条线段的和． (1)已知，则y的值为_______； (2)已知，且，求的值； (3)已知，且，，直接写出t的取值范围． 25．（24-25八年级上·广东潮州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 压轴题型六、坐标系中的动点问题探究 26．（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：，，； （2）顺次连接A，B，C，组成，求的面积． （3）在y轴上有一动点P，求的最小值． 27．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一动点，求的最小值． 28．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中a，b满足，连接，． (1)求点B的坐标； (2)动点P以每秒2个单位的速度从O点出发，沿着x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示的面积； (3)如图所示，在（2）的条件下，连接交于E，是否存在这样t的值，使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 29．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们把，两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫作，两点间的“折线距离”，记作．例如： 已知，则． (1)已知，则的值为________． (2)已知，且，求的值． (3)已知，动点．若，两点间的“折线距离”与，两点间的“折线距离”的差的绝对值是，求的值，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出所有符合条件的点组成的图形． 故答案为：的值为或. 30．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 压轴题型七、全等三角形最值问题 31．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，，． (1)求直线AB的解折式； (2)如图2，已知P为直线l：上一点，且，求点P的坐标； (3)若点D为第一象限内一动点，且，求BD的最小值． 32．（24-25八年级上·陕西西安·期中）问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 33．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为． (1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由； (2)如图3，延长交直线于点P． ①求证：； ②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 34．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． (3)若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有______个． (4)若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系：______． 35．（24-25八年级下·河南商丘·期末）实践与探究题 问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？ 丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验： (1)观察发现 ① 观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想． ② 根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质． (2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ ABC面积的最小值等于______． 压轴题型八、垂直平分线常见辅助线添加 36．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， 为 的角平分线，边 的垂直平分线分别交，，于点，，，连接、． (1)不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（ 除外），并用“”表示全等的等腰三角形． (2)若 求 的度数．（可直接利用（1）的结论） 37．（24-25八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形中，，．E、F两点分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长到点G，使，连接．然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程． （2）如图2，在四边形中，，．若E、Ｆ分别在、的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 38．（25-26八年级上·江苏常州·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 39．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 40．（24-25八年级上·山西运城·期末）下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日   星期日 作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线，上截取； （2）分别作，的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是，的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： (1)小亮思考过程的依据1、依据2分别是______、______． (2)请将辅助线及小亮的思考过程补充完整． (3)请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 压轴题型九、全等三角形判定与性质综合应用 41．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，三点共线，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 42．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 43．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【生活背景】村口有一条小河，小明想测量河宽，如图． 【测量操作】 ①把河两岸近似看作两平行的直线和，在河岸上取点； ②在河岸的另一侧取一点，使； ③在上取两点，使； ④作，且在同一条直线上； 【结论】测得的长就是河宽的长度． 【解决问题】按照操作获得的结论正确吗？如果正确，请给予证明，如果不正确，请说明理由． 44．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【数学建模】 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中， ，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点． （1）请直接写出，和之间的关系_____． 【变式探究】 （2）小丽认为当不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图，在中，，，，三点都在直线上，并且有，可得．你同意小丽的说法吗?请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题．如图3，和均为等边三角形，点，，是同一直线上不重合的三点，，请说明为等腰三角形． 45．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 压轴题型十、等腰三角形的性质和判定综合应用 46．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上，在给定的网格中，请只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图中，作出中边上的中线； (2)在图中，在边上作出点，使； (3)在图中，在边上作出点，使． 47．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． 48．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 49．（25-26八年级上·浙江温州·期中）【综合实践】阅读下列材料，完成胡老师的两个问题． 数学活动课上，胡老师让学生用一段无弹性绳子沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 50．（25-26八年级上·山东淄博·期中）【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让学生以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现．接下来以小组为单位开展进一步的探究． (1)【初步探究】志远小组在老师的基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们说明理由； (2)【深入探究】勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； (3)【拓展应用】创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角按如图4位置摆放，，，若与关于过点的某条直线对称，与交于点，当点在的斜边上时，连接．请判断的形状，并说明理由． 压轴题型十一、等边三角形动点问题 51．（24-25八年级下·山东聊城·期末）点为中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． (1)如图，试判断的形状，并说明理由． (2)若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 52．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)过P点作，求证：是等边三角形； (2)嘉琪说：“在运动过程中，点D一直是线段的中点．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确； (3)当时，直接写出的长度． 53．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，点在内．    (1)如图1，点关于射线的对称点分别是，连接 ①若，证明是等边三角形； ②如图2，若，请根据已知补全图形，并判断与的数量关系，请说明理由； (2)如图3，若，分别是射线上的点，于点，点分别为上的两个定点，且，，在上有一动点，连接，请求出当点在什么位置时，的值最小． 54．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 55．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点D在边上，且与不平行时，求证：； (3)如图3，若点D在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 压轴题型十二、一次函数图象平移问题 56．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 57．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴相交于，两点，且的面积为． (1)求一次函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度，分别交轴，轴于点，，求四边形的面积． 58．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． (1)求直线的表达式； (2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 59．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． (1)如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______； (2)如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 压轴题型十三、一次函数的实际综合应用 61．（24-25八年级上·河北保定·期中）李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为 元； (2)求 的函数表达式； (3)若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 62．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 63．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 64．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． (2)求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 65．（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们知道同一地区内，同一时间的气温会随海拔高度的变化而变化，一般地海拔每上升米，气温会下降． (1)某天上午8:00，某地区甲处的海拔为米，气温是．设该地区某处的海拔为米，这天上午8：00的气温为，求关于的函数关系式（不必写出定义域）； (2)如图是某山区的等高线图，一天中午12：00小杰从甲村出发，沿图中标识的线路（粗实线）去乙村，于13：00时恰好翻越山顶，并于14：00到达．已知中午12：00时甲村的气温是，下午14：00时乙村的气温是．请在下图中，画出小杰的行程中时间与当时所处位置气温间的大致图像． 压轴题型十四、一次函数的几何应用 66．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标． 67．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 68．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 69．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线相交于点E，且． (1)求一次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若在x轴上存在点P，使得，请直接写出所有满足条件的点P的坐标； 70．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $