湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷

试卷第 1 页，共 4 页 湖南省长沙市六校 2025 届高三九月大联考数学试卷 一、单选题 1．设集合  1,3A = ，  2 3 0B x x x m= − + = ，若  1A B = ，则集合B =（ ） A． 1, 2− B． 1,2 C． 1,0 D． 1,5 2．若复数 z 满足 1 i 1 i z = − − + ，则 z =（ ） A． 2 2i+ B． 2 2i− − C． 2i− D．2i 3．等差数列 ( )*na nN 中， 2 7 4 110, 2a a a a= − = ，则 7a =（ ） A．40 B．30 C．20 D．10 4．已知 ( ) 3 1 1 sin , 2 5 tan tan     + = − + = ，则sin sin  =（ ） A． 3 10 − B． 1 5 C． 1 5 − D． 3 10 5．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正 八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为12 3 ，则 正八面体外接球的体积为（ ） A．4 2π B．4 3π C．12π D．36π 6．已知函数 ( ) cos exf x x= + ，且 ( ) ( ) 1 2 ln2 2 a f b f c f   = = =    、 、 ，则a b c、 、 大小关系（ ） A．a b c  B．a c b  C．c b a  D．b c a  7．当  0,2πx 时，曲线 cosy x= 与 π 2cos 3 6 y x   = −    交点的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知 ( )f x 的定义域为 ( ) ( ) ( ) ( ), 3f x y f x y f x f y+ + − =R ，且 ( ) 1 1 3 f = ，则 2025 1 ( ) k f k = = （ ） A． 1 3 − B． 2 3 − C． 1 3 D． 2 3 二、多选题 试卷第 2 页，共 4 页 9．某校高三年级选考地理科的学生有 100 名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分， 已知等级分 X的分数转换区间为 30,100 ，若等级分 ( )~ 80,25X N ，则（ ） 参考数据： ( ) 0.6827P X   −   + = ； ( )2 2 0.9545P X   −   + = ； ( )3 3 0.9973P X   −   + = A．这次考试等级分的标准差为 5 B．这次考试等级分超过 80 分的约有 45 人 C．这次考试等级分在 70,80 内的人数约为 48 人 D． ( )65 75 0.1573P X  = 10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合 中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智 慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却 可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线 2 2 2 2 2: ( ) 9( )C x y x y+ = − 是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A．曲线C 的图象关于 y x= 对称 B．曲线C 上任意一点到坐标原点O的距离都不超过 3 C．曲线C 经过 7 个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．若直线 y kx= 与曲线C 只有一个交点，则实数 k 的取值范围为 ( , 1] [1, ) − −  + 11．已知函数 ( ) 2 2lnf x x x= − ，则下列选项中正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的极小值点为 1x = B． ( ) 3e e f f        C．若函数 ( ) ( )g x f x t= − 有 4 个零点，则 ( )1,t + D．若 ( ) ( )( )1 2 1 2f x f x x x=  ，则 1 2 2x x+  三、填空题 12．已知向量 ,a b满足 ( )2, 3,0a b= = ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量的坐标为 1 ,0 2       ， 则 a b− = ． 试卷第 3 页，共 4 页 13．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y E a b a b − =   的左､右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 2，过点 1F 的 直线 l 交 E 的左支于 ,A B两点. 1OB OF= （O为坐标原点），记点O到直线 l 的距离为d ，则 d a = . 14．十四届全国人大一次会议于 2023 年 3 月 5 日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包 含甲、乙在内的 5 名工作人员分配到 3 个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少 1 人．每 人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用 数字作答） 四、解答题 15．记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 ( ) ( )( )3 sin sin sinb a A b c B C− = + − ． (1)求角C ； (2)若 ABC 外接圆的半径为 2，求 ABC 面积的最大值． 16．如图，四边形 ABCD与四边形 ADEF 均为等腰梯形， / /BC AD ， / /EF AD， 4=AD ， 2AB = ， 2BC EF= = ， 11AF = ，FB ⊥平面 ABCD，M 为 AD 上一点，且 FM AD⊥ ， 连接BD、 BE 、 BM . (1)证明： ⊥BC 平面BFM ； (2)求平面 ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值. 试卷第 4 页，共 4 页 17．如图在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 1 : 1 2 x C y+ = ，椭圆 2 2 2 : 1 4 2 x y C + = ，直线 l 与 椭圆 1C 只有一个公共点，且与椭圆 2C 交于 ,A B两点. (1)当直线 l 倾斜角为135 时，求直线 l 的方程； (2)求证： AOB的面积为定值. 18．已知函数 ( ) ( ) 21 exf x x x= − − . (1)求函数的单调区间； (2)求 ( )f x 的零点个数. (3) ( ) ( )g x f x m= − 在区间 1 1, 2   −    上有两个零点，求m的范围? 19．对于 *Nn  ，若数列 nx 满足 1 1n nx x+ −  ，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列 1，2m， 2 1m + 是“K数列”，求实数 m的取值范围． (2)是否存在首项为−2的等差数列 na 为“K数列”，且其前 n项和 nS 使得 21 2 nS n n − 恒成立? 若存在，求出数列 na 的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列 na 是“K数列”，数列 1 2 na       不是“K数列”，若 1 1 n n a b n += + ， 试判断数列{𝑏𝑛}是否为“K数列”，并说明理由． 答案第 1 页，共 14 页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B A B D D B ACD BD AC 1．B 【分析】将 1x = 代入方程求出m，再求集合 B 即可. 【详解】由  1A B = 可知 21 3 0 2m m− + =  = ， 当 2m = 时， 2 3 2 0x x− + = ，解得： 1x = 或 2x = ，即  1,2B = . 故选：B 2．C 【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可. 【详解】因为 1 i 1 i z = − − + ，所以 2(1 i) 2iz = − + = − . 故选：C. 3．B 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【详解】设等差数列 *{ }( N )na n 的公差为d ， 7 4 12a a a− = ，则 13 2d a= ， 2 10a = ，则 1 1 1 2 10 3 a d a a+ = + = ，解得 1 6a = ， 4d = ， 7 1 6 6 24 30a a d= + = + = ． 故选：B． 4．A 【分析】切化弦，通分即可求解. 【详解】因为 ( ) 3 sin 5  + = − ，因为 ( )sin1 1 cos cos cos sin cos sin 2 tan tan sin sin sin sin sin sin                ++ + = + = = = ，所以 3 sin sin 10   = − . 故选：A. 5．B 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体 积． 答案第 2 页，共 14 页 【详解】如图正八面体，连接 AC 和 BD交于点O， 因为EA EC= ， ED EB= ， 所以EO AC⊥ ， EO BD⊥ ，又 AC 和BD为平面 ABCD内相交直线， 所以EO ⊥平面 ABCD，所以O为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为 R ，因为正八面体的表面积为8 × √3 4 𝐴𝐵2 = 12√3，所以正八 面体的棱长为 6 ， 所以𝐸𝐵 = 𝐸𝐶 = 𝐵𝐶 = √6,𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 = √3, 𝐸𝑂 = √𝐸𝐵2 − 𝑂𝐵2 = √3， 则𝑅 = √3,𝑉 = 4 3π𝑅 3 = 4 3π×3√3=4√3π． 故选：B． 6．D 【分析】首先判断函数在 ( )0, + 上的单调性，再比较大小. 【详解】 ( ) sin exf x x = − + ，当 0x  时， ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在 ( )0, + 单调递增， 因为 1 2 ln 2 ln e 2   = ，所以 ( ) ( ) 1 ln 2 2 2 f f f        ，即b c a  . 故选：D 7．D 【分析】分别画出 cosy x= 与 π 2cos 3 6 y x   = −    在 0,2π 上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】 cosy x= 与 π 2cos 3 6 y x   = −    在 0,2π 上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为 6 个. 故选：D. 答案第 3 页，共 14 页 8．B 【分析】根据题意，利用赋值法，求得 ( ) ( )6f x f x+ = ，得到 ( )f x 的一个周期是6 ，再根 据函数的周期性和奇偶性，求得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6f f f f f f 的值，进而得到答案. 【详解】由题意知，函数 ( )f x 的定义域为 ( ) ( ) ( ) ( ), 3f x y f x y f x f y+ + − =R ，且 ( ) 1 1 3 f = ， 令 1, 0x y= = ，得 ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 3 1 0f f f f+ + − = ，所以 ( ) 2 0 3 f = ； 令 0x = ，得 ( ) ( ) ( ) ( )0 0 3 0f y f y f f y+ + − = ，所以 ( ) ( )f y f y− = ，所以 ( )f x 是偶函数， 令 1y = ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 1f x f x f x f f x+ + − = = ①，所以 ( ) ( ) ( )2 1f x f x f x+ + = + ②， 由①②知 ( ) ( )2 1 0f x f x+ + − = ，所以 ( ) ( ) ( ) ( )3 0, 3f x f x f x f x+ + = + = − ， 所以 ( ) ( ) ( )6 3f x f x f x+ = − + = ，所以 ( )f x 的一个周期是6 ， 由②得 ( ) ( ) ( )2 0 1f f f+ = ，所以 ( ) 1 2 3 f = − ，同理 ( ) ( ) ( )3 1 2f f f+ = ，所以 ( ) 2 3 3 f = − ， 又由周期性和偶函数可得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 4 2 2 , 5 1 1 , 6 0 , 3 3 3 f f f f f f f f= − = = − = − = = = = 所以 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 6 0f f f f+ + + + = ， 所以 2025 6 1 1 2 ( ) 337 ( ) (1) (2) (3) 3k k f k f k f f f = = = + + + = −  . 故选：B. 9．ACD 【分析】根据 ( )~ 80,25X N 的含义易判断 A,B 两项，对于 C,D,先把范围转换成用 ,  表示， 利用3 概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可. 【详解】对于 A，因 ( )~ 80,25X N ，则 25 5 = = ，故 A 正确； 对于 B，因 80 = ，即这次考试等级分超过 80 分的学生约占一半，故 B 错误； 答案第 4 页，共 14 页 对于 C，因 1 1 (70 80) ( 2 ) ( 2 2 ) 0.9545 0.48 2 2 P X P X P X        = −   = −   + =   , 故这次考试等级分在 70,80 内的人数约为0.48 100 48 = 人，故 C 正确； 对于 D，因 ( )65 75 ( 3 )P X P X     = −   − ) 1 [ ]( 3 3 ( ) 2 P X P X       = −   + − −   + 1 (0.9973 0.6827) 0.1573 2 = − = , 故 D 正确. 故选：ACD. 10．BD 【分析】对于 A 项，运用若点 ( , )x y 关于 y x= 对称的点 ( , )y x 满足方程，则曲线的图象关于 y x= 对称，检验即可；对于 B 项，根据已知条件可得 2 2 9x y+  即可；对于 C 项，计算边 界点来界定整数点个数；对于 D 项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有 一解即可. 【详解】对于 A 项，把 ( , )y x 代入 2 2 2 2 2( ) ( )9x y x y+ = − 得 2 2 2 2 2( ) 9( )x y y x+ = − ， 显然点 ( , )y x 不满足双纽线方程， 所以曲线C 的图象不关于 y x= 对称，故 A 项错误； 对于 B 项，由 2 2 2 2 2( ) ( )9x y x y+ = − 可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9( ) 18 9 9 x y y x y x y x y − + = = −  + + ， 所以曲线C 上任意一点到坐标原点O的距离 2 2 3= + d x y ，即都不超过 3，故 B 项正确： 对于 C 项，令 0y = 解得 0x = 或 3x =  ，即曲线经过 (0,0)， (3,0)， ( 3,0)− ， 由题意可知， 3 3x− ≤ ≤ ， 令 1x =  ，得 2 11 153 1 2 y − + =  ， 令 2x =  ，得 2 17 369 1 2 2 − +  = y ， 因此曲线C 只能经过 3 个整点 (0,0)， (3,0)， ( 3,0)− ，故 C 项错误； 对于 D 项，直线 y kx= 与曲线 2 2 2 2 2( ) ( )9x y x y+ = − 一定有公共点 (0,0)， 若直线 y kx= 与曲线C 只有一个交点， 所以 ( ) ( ) 2 2 2 2 29                   x y x y y kx  + = −  = ，整理得 4 2 2 2 2(1 ) 9 (1 )x k x k+ = − ，只有一个解 0x = ， 即 21 0k−  ，解得 ( , 1] [1, )k − −  + ，故 D 项正确． 答案第 5 页，共 14 页 故选：BD. 11．AC 【分析】求导，利用导数判断 ( )f x 的单调性和最值，可得 ( )f x 的图象，进而可以判断 A； 对于 B：根据 ( )f x 的单调性分析判断；对于 C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于 当 0x  时， ( )y f x= 与 y t= 有 2 个交点，结合 ( )f x 的图象分析求解；对于 D：构建 ( ) ( ) ( ) ( )2 , 0,1g x f x f x x= − −  ，结合导数可得 ( ) ( ) ( )2 , 0,1f x f x x−   ，结合极值点偏移 分析证明. 【详解】由题意可知： ( )f x 的定义域为 ( )0, + ，且 ( ) ( )22 12 2 x f x x x x −  = − = ， 令 ( ) 0f x  ，解得 1x  ；令 ( ) 0f x  ，解得0 1x  ； 可知 ( )f x 在 ( )0,1 内单调递减，在 ( )1, + 内单调递增， 则 ( ) ( )1 1f x f = ，且当 x趋近于 0 或+时， ( )f x 趋近于+， 可得函数 ( )f x 的图象，如图所示： 对于选项 A：可知函数 ( )f x 的极小值点为 1x = ，故 A 正确； 对于选项 B：因为 3 1 e e   ，且 ( )f x 在 ( )1, + 内单调递增， 所以 ( ) 3e e f f        ，故 B 错误； 对于选项 C：令 ( ) ( ) 0g x f x t= − = ，可得 ( )f x t= ， 可知函数 ( ) ( )g x f x t= − 有 4 个零点，即 ( )y f x= 与 y t= 有 4 个交点， 答案第 6 页，共 14 页 且 ( )y f x= 的定义域为 ( ) ( ),0 0,− + ，且 ( ) ( )f x f x− = ， 可知 ( )y f x= 为偶函数，且当 0x  时， ( ) ( )y f x f x= = 原题意等价于当 0x  时， ( )y f x= 与 y t= 有 2 个交点， 由题意可知： 2t  ，故 C 正确； 对于选项 D：设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2ln 2ln 2 4 4 , 0,1g x f x f x x x x x= − − = − − + −  ， 则 ( ) ( ) ( ) 2 4 12 2 4 0 2 2 x g x x x x x −  = + − =  − − ， 可知 ( )y g x= 在 ( )0,1 内单调递增，则 ( ) ( )1 0g x g = ， 即 ( ) ( ) ( )2 , 0,1f x f x x−   ， 若 ( ) ( )( )1 2 1 2f x f x x x=  ，不妨设 1 20 1x x   ， 则 ( ) ( ) ( )1 1 22f x f x f x−  = ， 且 1 22 1, 1x x−   ，且 ( )f x 在 ( )1, + 内单调递增， 则 1 22 x x−  ，所以 1 2 2x x+  ，故 D 错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数 ( )h x ； （3）利用导数研究 ( )h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两 个函数的最值问题． 12． 10 【分析】由已知分别求出cos ,a b 和 b ，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由 ( )3,0b = 得， 3b = ， 答案第 7 页，共 14 页 因为向量a 在向量b 方向上的投影向量的坐标为 1 ,0 2       ， 所以 1 1 cos , ,0 2 6 b a a b b b       = =    ，即 1 cos , 4 a b = ， 所以 2 2 2 1 2 cos , 4 9 2 2 3 10 4 a b a b a b a b− = + −   = + −    = ， 所以 10a b− = ， 故答案为： 10 ． 13． 1 7 2 + 【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得 2 1BF BF⊥ ，再利用双曲线 定义及勾股定理求解即得. 【详解】令双曲线E 的半焦距为c，由离心率为 2，得 2c a= ， 取 1F B的中点D，连接OD ，由 1OB OF= ，得 1OD F B⊥ ，则 | |OD d= ， 连接 2F B，由O为 1 2F F 的中点，得 2 2/ / ,| | 2BF OD BF d= ， 2 1BF BF⊥ ， 1| | 2 2F B d a= − ， 因此 2 2 2 2 1 1 2| | | | | |BF BF F F+ = ，即 2 2 2(2 ) (2 2 ) (4 )d d a a+ − = ，整理得 2 3( ) 0 2 d d a a − − = ， 而 0 d a  ，所以 1 7 2 d a + = . 故答案为： 1 7 2 + 14．114 【分析】将 5 名工作人员分配到 3 个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2，先求出 5 名工 作人员分配到 3 个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案. 【详解】将 5 名工作人员分配到 3 个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2， 人数组合是1,1,3时，共有 1 1 3 35 4 3 32 2 C C C A 60 A  = 种情况， 答案第 8 页，共 14 页 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为 1 1 1 33 2 1 32 2 C C C A 18 A  = 种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60 18 42− = 种； 人数组合是1,2,2时，共有 2 2 1 35 3 1 32 2 C C C A 90 A  = 种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为 2 1 3 3 1 3C C A 18 = 种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有90 18 72− = 种， 所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42 72 114+ = 种. 故答案为：114 . 15．(1) π 6 C = (2) 2 3+ 【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出 2c = ，根据三角形面积公式、利用重要不 等式进行求解即可. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得 ( ) ( )( )3b a a b c b c− = + − ， 整理得 2 2 2 3a b c ab+ − = ， 2 2 2 3 cos 2 2 a b c C ab + −  = = ， ( ) π 0,π , 6 C C  = ． （2） ABC 外接圆的半径为 2， 4 sin c C  = ，得 2 22, 4 3c a b ab=  + = + ， 又 ( )2 2 2 , 4 2 3a b ab ab+    + ， 当且仅当 6 2a b= = + 时，等号成立， ( )1 1 1sin 4 2 3 2 3 2 2 2 ABCS ab C =   +  = + ， 即 ABC 面积的最大值为 2 3+ ． 16．(1)证明见详解 答案第 9 页，共 14 页 (2) 3 47 47 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可； （2）作EN AD⊥ ，垂足为 N ，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利 用勾股定理，因此可以以 BM ， BC ， BF 所在的直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为FB ⊥平面 ABCD，又 AD 平面 ABCD， 所以FB AD⊥ .又FM AD⊥ ，且FB FM F= ， 所以 AD ⊥平面BFM .因为 //BC AD ，所以 ⊥BC 平面BFM . （2）作EN AD⊥ ，垂足为 N .则 //FM EN .又 //EF AD， 所以四边形FMNE是平行四边形，又EN AD⊥ ， 所以四边形FMNE是矩形，又四边形 ADEF 为等腰梯形，且 4=AD ， 2EF = ， 所以 1AM = . 由（1）知 AD ⊥平面BFM ，所以BM AD⊥ .又 2AB = ， 所以 1BM = .在Rt AFM△ 中， 2 2 10FM AF AM= − = . 在Rt FMB 中， 2 2 3FB FM BM = − = . 由上可知，能以 BM ，BC ， BF 所在的直线分别为 x轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角 坐标系. 则 ( 1, 1,0)A − − ， (0,0,0)B ， (0,0,3)F ， ( 1,3,0)D − ， (0,2,3)E ，所以， (1,1,0)AB = ， (0,0,3)BF = ， ( 1,3,0)BD = − ， (0,2,3)BE = ，设平面 ABF 的法向量为 ( )1 1 1, ,m x y z= ， 由 0 0 m AB m BF   =   = ，得 1 1 1 0, 0, x y z + =  = 可取 (1, 1,0)m = − . 答案第 10 页，共 14 页 设平面BDE 的法向量为 ( )2 2 2, ,n x y z= ， 由 0 0 n BD n BE   =   = ，得 2 2 2 2 3 0, 2 3 0, x y y z − + =  − + = ，可取 (9,3,2)n = . 因此，cos m ， 9 3 3 47 | | | | 471 1 81 9 4 m n n m n  − = = =  +  + + . 依题意可知，平面 ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值为 3 47 47 . 17．(1) 3 0x y+ + = 或 3 0x y+ − = (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交 点联立方程组解得答案； （2）设直线 l 为 y kx b= + ，直线 l 与椭圆 1C 只有一个公共点联立方程组消元得 2 22 1 0k b− + = ， 直线与椭圆 2C 交于 ,A B两点，连立方程组结合韦达定理得 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 4 2 1 kb x x k b x x k − + = +  − =  + ，结合三角形面 积公式得答案； 【详解】（1）因为直线 l 倾斜角为135 ，直线 l 为 y x b= − + ，因为椭圆 2 2 1 : 1 2 x C y+ = ， 直线 l 与椭圆 1C 只有一个公共点，联立方程 2 2 1 2 y x b x y = − +   + =  ，得 2 23 2 2 0y by b− + − = ， ( )2 2Δ 4 12 2 0, 3b b b = − − =  =  ，所以直线 l 为 3 0x y+ + = 或 3 0x y+ − = （2）因为直线 l 与椭圆 1C 只有一个公共点，设直线 l 为 y kx b= + 由 2 2 1 2 y kx b x y = +   + =  ，得 ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 4 2 2 0, Δ 16 4 2 1 2 2 0, 2 1 0k x kbx b k b k b k b+ + + − =  = − + − =  − + = , 又因为直线与椭圆 2C 交于 ,A B两点 2 2 1 4 2 y kx b x y = +   + =  ，得 ( )2 2 22 1 4 2 4 0k x kbx b+ + + − = 所以 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 4 2 1 kb x x k b x x k − + = +  − =  + ，因为直线 l 与 y 轴交于点 ( )0,b ，所以 1 2 1 2 AOBS b x x=  − 答案第 11 页，共 14 页 所以 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 4 2 4 4 4 2 2 2 1 2 1 AOB kb b S b x x x x b k k − −  = + − = −   + +  ( )2 2 2 22 2 2 2 4 8 2 161 4 2 4 1 4 2 2 2 b k b bkb b b b b b b − +− −  = −  = =    . 18．(1) ( )f x 的单调减区间为： (0,ln 2) ；单调增区间为： ( ,0)− ， (ln 2, )+ (2)1 个 (3) e 1 , 1 2 4   − − −     【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数 ( )f x 的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出 ( )f x 在区间 1 1, 2   −    上的值域即可求解. 【详解】（1）由题可得： ( )= e 2 (e 2)x xf x x x x= − − ， 令 ( ) 0f x = ，解得： 0x = 或 ln 2x = ， 令𝑓′(𝑥) < 0，解得：0 ln 2x  ； 令 ( ) 0f x  ，解得： 0x  或 ln 2x  ； 所以 ( )f x 的单调减区间为： (0,ln 2) ；单调增区间为： ( ,0)− ， (ln 2, )+ （2）因为 ( )f x 的单调减区间为： (0,ln 2) ；单调增区间为： ( ,0)− ， (ln 2, )+ ， 由于 (0) 1 0f = −  ，则 ( )f x 在 ( ,0)− 上无零点； 由于 ( ) 2 (ln 2) 2(ln 2 1) ln 2 0f = − −  ，则 ( )f x 在 (0,ln 2) 上无零点； 由于 2(2) e 4 0f = −  ，则 ( )f x 在 ( )ln 2,2 上存在唯一零点； 综上，函数 ( )f x 在R 上存在唯一零点. 答案第 12 页，共 14 页 （3）若 ( ) ( )g x f x m= − 在区间 1 1, 2   −    上有两个零点，则函数 ( )y f x= 与 y m= 在区间 1 1, 2   −    上有两个交点； 由(1)知， ( )f x 在 ( )1,0− 上单调递增， 1 (0, ) 2 上单调递减； 2 ( 1) 1 e f − = − − ， (0) 1 0f = −  ， 1 e 1 ( ) ( 1) 2 2 4 f f= − −  − ， 所以函数 ( )y f x= 与 y m= 在区间 1 1, 2   −    上有两个交点，则 1 1 2 4 e m− −   − ， 即 ( ) ( )g x f x m= − 在区间 1 1, 2   −    上有两个零点，则m的范围为 e 1 , 1 2 4   − − −     19．(1) (2, )+ (2)不存在，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意得到 2 1 1m −  ，且 ( )2 1 2 1m m+ −  ，，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列{𝑎𝑛}符合要求，从而得到 ( 1) 2n d n−  + 成立，再分类讨论 1n = 和 1n  的情况，即可得到答案. （3）首先设数列{𝑎𝑛}的公比为 q，则 1 1 n na a q −= ，根据题意得到 ( )1 1 1 0n n n n na a a q a a q+ − = − = −   ，从而得到 2 1 1 1 2 2 a a− 为最小项，同理得到 2 1 1 1 2 2 a a− 为最 小项，再利用“ K 数列”的定义得到 1 1a = ， 3q = 或 1 2a = ， 2q ，再分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）由题意得2 1 1m −  ，且 ( )2 1 2 1m m+ −  ，解得 2m  ，所以实数 m的取值范围 是 (2, )+ ． （2）不存在．理由：假设存在等差数列{𝑎𝑛}符合要求，设公差为 d，则 1d  ， 由 1 2a = − 得 ( 1) 2 2 n n n S n d − = − + ． 答案第 13 页，共 14 页 由题意，得 2( 1) 12 2 2 n n n d n n − − +  − 对 *n N 均成立，即 ( 1) 2n d n−  + ． 当 1n = 时，d R ； 当 1n  时， 2 1 n d n +  − 恒成立， 因为 2 1 3 3 1 1 1 1 1 n n n n n + − + = = +  − − − ，所以 1d  ，与 1d  矛盾， 所以这样的等差数列{𝑎𝑛}不存在． （3）设数列{𝑎𝑛}的公比为 q，则 1 1 n na a q −= ． 因为{𝑎𝑛}的每一项均为正整数，且 1 ( 1) 1 0n n n n na a a q a a q+ − = − = −   ， 所以在 1n na a −− 中， 2 1a a− 为最小项. 同理， 1 1 1 2 2 n na a −   −    中， 2 1 1 1 2 2 a a− 为最小项. 由{𝑎𝑛}为“K数列”，只需 2 1 1a a−  ，即 1( 1) 1qa −  ． 又因为 1 2 na       不是“ K 数列”，且 2 1 1 1 2 2 a a− 为最小项， 所以 2 1 1 1 1 2 2 a a−  ，即 1( 1) 2a q −  ． 由数列{𝑎𝑛}的每一项均为正整数，可得 1( 1) 2qa − = ， 所以 1 1, 3a q= = 或 1 2, 2a q= = ． 当 1 1, 3a q= = 时， 13nna −= ，则 3 1 n nb n = + ． 令 ( )*1n n nc b b n+= − N ，则 13 3 2 1 3 2 1 ( 1)( 2) n n n n n c n n n n + + = − =  + + + + ， 又 2 1 2 3 2 1 3 4 8 63 3 0 ( 2)( 3) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 3) n n nn n n n n n n n n n n + + + + + −  =   + + + + + + + ， 所以 nc 为递增数列，即 1 2 1n n nc c c c− −    ， 因为 2 1 3 3 3 1 2 2 b b− = − =  ， 所以对于任意的 *nN ，都有 1 1n nb b+ −  ，即数列{𝑏𝑛}为“K数列”． 当 1 2, 2a q= = 时， 2 n na = ，则 12 1 n nb n + = + ． 因为 2 1 2 1 3 b b− =  ，所以数列{𝑏𝑛}不是“K数列”． 答案第 14 页，共 14 页 综上所述，当 1 1, 3a q= = 时， 13nna −= ，数列{𝑏𝑛}为“K数列”； 当 1 2, 2a q= = 时， 2 n na = ，数列{𝑏𝑛}不是“K数列”． 【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进 行列式分析,属于难题.