精品解析：山东省聊城第六中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024—2025 学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 （时间：90分钟分值：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 在 中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3. 如图，小兵同学从 处出发向正东方向走 米到达 处，再向正北方向走到 处，已知，则 ， 两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 【详解】解：小兵同学从 处出发向正东方向走 米到达 处，再向正北方向走到 处， ，米. ， 米. 故选： B . 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比. 4. 如图，在中，对角线， 相交于点O，点E为的中点，交 于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接 ，先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接 ， 由题意得：， ， ， ∴， ∴ 是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 6. 如图，在 中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故 正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定 与 相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图，为等边三角形，点 ， 分别在边 ，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 10. 如图，在 中，于点M，于点N，P为 边的中点，连接，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】可先证明在和中由斜边中点可判定①正确，由可判定②正确，证点M，N，B，C共圆，可对③进行判断，证为以 为斜边的等腰直角三角形，可判断④正确． 【详解】解：①∵于点M，于点N，P为 边的中点， ∴点P是和的斜边的中点， ∴， 故①正确； ②∵于点M，于点N， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故②正确； ③∵于点M，于点N，P为 边的中点， ∴点P是和的斜边的中点， ∴， ∴点M，N，B，C共圆， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确； ④当时，为以 为斜边的等腰直角三角形， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等，圆的知识，解题关键是能够认真审图，弄清题意，逐个对结论进行证明． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在 中，，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴， 故答案为：． ． 12. 在锐角三角形 中，已知，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的非负性，得计算，利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，实数的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图， 和是以点 为位似中心的位似图形，若，若点 坐标，则点 坐标为______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标，熟练掌握位似图形的基本性质是解题关键． 先通过位似的基本性质得到两个三角形的相似比，然后通过位似图形在坐标原点的同侧，把 点坐标乘以相似比即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴且 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴与的相似比为 又∵ ∴ 故答案为： ． 14. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 _____米． 【答案】14 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求出EM，利用矩形的性质求出EN，可得结论． 【详解】解：∵∠CAB=∠EAM，∠ACB=∠AEM=90°， ∴△ACB∽△AEM， ∴， ∴， ∴EM=12.5， ∵四边形ADNE是矩形， ∴AD=EN=1.5米， ∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14（米）． 故旗杆MN的高度为14米， 故答案为：14． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 15. 如图，在中，连接，点 是 上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．先根据平行四边形的性质得，，由得，证明得，进而得到，的面积，即可得 的面积，再根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：11． 16. 如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝_____．（用含n的式子表示） 【答案】：（）n． 【解析】 【详解】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn． 解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根据勾股定理得：AB1=， ∴S1=××（）2=（）1； ∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1， ∴B1B2=，AB1=， 根据勾股定理得：AB2=， ∴S2=××（）2=（）2； 依此类推，Sn=（）n． 故答案为（）n． “点睛”此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算：. （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、绝对值等考点的运算． （1）先代入特殊角三角函数值，再利用实数运算法则计算结果； （2）首先对特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 19. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 【答案】 （1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB， ∴△BDC∽△ABC； （2）CD＝2． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵△BDC∽△ABC， ∴， ∵BC＝4，AC＝8， ∴CD＝2． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 20. 如图，四边形 为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 21. 如图所示，在 中，， 是 边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求 的长； （2）求的正切值． 【答案】（1）7 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到 的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作 于点F，根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作 于点F，如图所示． ∵ 是 边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 22. 如图， 中， ，， ，动点 从点 出发，在边上以每秒的速度向点 匀速运动，同时动点从点 出发，在边上以每秒的速度向点 匀速运动，运动时间为 秒（），连接，若与 相似，求 的值； 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．根据勾股定理求出 ，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 【详解】解：，，， ， 动点 从点 出发，在边上以每秒的速度向点 匀速运动，同时动点从点 出发，在边上以每秒的速度向点 匀速运动，运动时间为 ， ，，， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 或时，与 相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025 学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 （时间：90分钟分值：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在 中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小兵同学从 处出发向正东方向走米到达 处，再向正北方向走到 处，已知，则 ， 两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交 于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定 与 相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为等边三角形，点 ， 分别在边 ，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 中，于点M，于点N，P为 边的中点，连接，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 在 中，，若，则_____． 12. 在锐角三角形 中，已知，满足，则______． 13. 如图， 和是以点 为位似中心的位似图形，若，若点 坐标，则点 坐标为______________. 14. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 _____米． 15. 如图，在中，连接，点 是 上一点，，连接交于点 ，若，则四边形的面积是______． 16. 如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝_____．（用含n的式子表示） 三、解答题（共72分） 17. （1）计算：. （2）. 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 19. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求 的长． 21. 如图所示，在 中，， 是 边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求 的长； （2）求的正切值． 22. 如图， 中， ，， ，动点 从点 出发，在边上以每秒的速度向点 匀速运动，同时动点从点 出发，在边上以每秒的速度向点 匀速运动，运动时间为 秒（），连接，若与 相似，求 的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $