专题08 因式分解的方法（八大题型，65题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

专题08 因式分解的方法（八大题型，65题） 目录 一、题型一：提公因式法分解因式 1 二、题型二：平方差公式分解因式 5 三、题型三：完全平方公式分解因式 9 四、题型四：综合提公因式法和公式法分解因式 15 五、题型五：因式分解在有理数简算中的应用 20 六、题型六：十字相乘法 26 七、题型七：分组分解法 31 八、题型八：因式分解的应用 36 一、题型一：提公因式法分解因式 1．将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．已知，则代数式的值等于 ． 4．先因式分解，再计算求值：，其中； 5．分解因式： (1)； (2)； (3)． 6．分解因式 (1)． (2)． 7．已知，，求的值． 8．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 二、题型二：平方差公式分解因式 9．已知a，b满足方程组，则的值为 ． 10．若，则 ． 11．使得是完全平方数的整数的和为 ． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 13．请同学们观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题： (1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______；______． (2)观察上述算式，我们发现，如果两个连续奇数分别为和（其中为正整数），则它们的平方差是8的倍数，请你含的式子说明上述规律的正确性． 14．阅读下面的材料并填空： ①，反过来，得； ②，反过来，得______×______； ③，反过来，得____． 利用上面材料中的方法计算：． 15．已知，求： (1)； (2)． 16．因式分解：． 三、题型三：完全平方公式分解因式 17．如果能分解为，那么 ． 18．因式分解： ． 19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 20．阅读理解： 例：因式分解． 解：设． 原式． 解决问题：请你模仿以上例题分解因式：． 21．因式分解： (1)； (2)． 22．阅读材料：把形如的二次三项式或其中一部分配成完全平方式的方法叫作配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据上述材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的三种不同形式的配方； (2)已知，求的值． 23．规律探索题：有一系列等式 ； ； ； ； (1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：______； (2)试猜想：______； (3)试说明（2）中猜想的正确性． 四、题型四：综合提公因式法和公式法分解因式 24．已知，，则的值是 ． 25．分解因式： ． 26．分解因式： (1)； (2) 27．分解因式： (1)； (2)． 28．因式分解： (1) (2) (3)． 29．将下列各式分解因式： (1) (2) 30．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 31．因式分解 (1) (2) 32．把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 五、题型五：因式分解在有理数简算中的应用 33．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 34．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 35．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 36．计算： ． 37．计算： ． 38．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则 ． 39．用简便方法计算：． 40．利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 41．利用因式分解计算： (1) (2) 42．利用因式分解简便计算 (1) (2) 六、题型六：十字相乘法 43．下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 44．多项式可因式分解成，其中均为整数，则值为 ． 45．已知，则 ． 46．请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 47．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 48．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 49．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 七、题型七：分组分解法 50．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 51．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 52．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：        例2：“三一分组”： ；         解：原式    解：原式          ．        ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 ＝____________ ②因式分解：； (2)已知，且，求的值． 53．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 54．分解因式： ． 55．分解因式：． 八、题型八：因式分解的应用 56．已知，若，，则M与N的大小关系是（　 　） A． B． C． D． 57．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 58．规定：一个三位数，如果它的各个数位上的数字都不为0，并且同时满足个位上的数字为百位和十位数字之和，则称这个三位数为“龙凤数”．是一个“龙凤数”，从各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个的两位数，我们把这6个数之和与22的商记为，如：若，则为“龙凤数”，．则的值是 ；若为两个“龙凤数”，且，则的最小值是 ． 59．先化简，再求值：，其中． 60．若两个正整数，满足为自然数，则称为的“级”数．例如，，则2为3的“11级”数． (1)4是5的“______”级数；正整数为1的“______”级数（用关于的代数式表示）； (2)是否存在的值，使得为的“级”数？若存在，请举出一组的值；若不存在，请说明理由； (3)已知均为小于100的正整数，且为的“100”级数，直接写出所有满足条件的的值． 61．已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 62．对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为 ． 63．将三张边长分别为的正方形纸片按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为，面积为，图2中的阴影部分周长为，面积为．若，则 ．    64．阅读材料，回答问题． 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式（注：把代入多项式能使多项式的值为，则多项式含有因式，于是我们可以把多项式写成：这种因式分解的方法叫试根法．） (1)式子中 ； ； (2)请你用“试根法”因式分解．（写过程） 65．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 因式分解的方法（八大题型，65题） 目录 一、题型一：提公因式法分解因式 1 二、题型二：平方差公式分解因式 5 三、题型三：完全平方公式分解因式 9 四、题型四：综合提公因式法和公式法分解因式 15 五、题型五：因式分解在有理数简算中的应用 20 六、题型六：十字相乘法 26 七、题型七：分组分解法 31 八、题型八：因式分解的应用 36 一、题型一：提公因式法分解因式 1．将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式． 【详解】解： ， ∴公因式是，另一个因式为． 故选：B 2．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法因式分解成为解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 3．已知，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．由可得，再利用提公因式法将所求式子变形后代入值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．先因式分解，再计算求值：，其中； 【答案】； 【分析】本题主要考查了因式分解，先将原式运用提公因式法分解后，再代入求值即可 【详解】解： ； 把代入得，原式． 5．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了提公因式法因式分解． （1）先确定公因式，再进行因式分解即可求解； （2）先将原式变形为，即可提公因式法分解因式； （3）先确定公因式，即可提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 6．分解因式 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法成为解题的关键． （1）先提取公因式即可解答； （2）直接提取公因数即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 7．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解的应用．首先将原式变形，再将，，代入可得结果．能够正确运用整体代入法是解答此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 8．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）提取公因式即可； （）提取公因式即可； （）提取公因式即可； 本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 二、题型二：平方差公式分解因式 9．已知a，b满足方程组，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、因式分解的应用等知识点，掌握运用特殊法求二元一次方程组的解成为解题的关键． 分别计算和可得、，然后再对因式分解，最后将、整体代入计算即可． 【详解】解：， 可得：，即； 可得：； 所以． 故答案为4． 10．若，则 ． 【答案】10000 【分析】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确变形是解题关键．首先利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可． 【详解】解：， ． 故答案为：10000． 11．使得是完全平方数的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方数的知识．将表示为的形式，然后转化可得出，从而讨论可得出的值，从而得到所有整数的和． 【详解】解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，且与都为整数， 所以，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，． ，，解得：，． 所以所有的和为． 故答案为：． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，平方差公式，因式分解在有理数运算中的运用等； （1）先根据单项式乘以多项式的计数法按照去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可； （3）先利用平方差公式把原式变形为，再计算出每个括号内的结果，然后化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．请同学们观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题： (1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______；______． (2)观察上述算式，我们发现，如果两个连续奇数分别为和（其中为正整数），则它们的平方差是8的倍数，请你含的式子说明上述规律的正确性． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握该知识点并发现数字变化规律是解题关键． （1）根据题意写出符合规律的算式即可； （2）利用平方差公式因式分解进行计算即可得出答案； 【详解】（1）解：根据题意符合上述规律的算式有：； 故答案为：；（答案不唯一） （2）解： 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 14．阅读下面的材料并填空： ①，反过来，得； ②，反过来，得______×______； ③，反过来，得____． 利用上面材料中的方法计算：． 【答案】②、；③； 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，约分，是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，约分即得出答案． 【详解】解：①，反过来，得； ②，反过来，得； 故答案为：，； ③，反过来，得． 故答案为：； 利用上面材料中的方法计算： 15．已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1)53 (2)2385或 【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式和平方差公式． （1）根据，即可解答； （2）根据，即可解答． 【详解】（1） （2）， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，． 16．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用平方差公式进行因式分解成为解题的关键． 先将原式写成平方差公式的形式，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 三、题型三：完全平方公式分解因式 17．如果能分解为，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，完全平方公式，由完全平方公式计算，由因式分解定义得到k的值，正确理解因式分解定义是解题的关键 【详解】解： ∵能分解为， ∴ ∴ 故答案为： 18．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】此题考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式进行分解即可，关键是掌握完全平方公式：． 【详解】解：原式， 故答案为：． 19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底，； (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【详解】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． （2）解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． （3）解：设， ． 20．阅读理解： 例：因式分解． 解：设． 原式． 解决问题：请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，仿照所求的求解方式进行解答即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：设， ． 21．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式，进行分解即可解答； （2）利用完全平方公式和平方差公式，进行分解即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 22．阅读材料：把形如的二次三项式或其中一部分配成完全平方式的方法叫作配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据上述材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的三种不同形式的配方； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，配方法的应用和非负数的性质，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意几个非负数的和为，则每一个非负数都为． （1）运用配方法、结合阅读材料解答； （2）运用配方法把原式和平方和的形式，根据非负数的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2） ， ∴， ∴． ∴． 23．规律探索题：有一系列等式 ； ； ； ； (1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：______； (2)试猜想：______； (3)试说明（2）中猜想的正确性． 【答案】(1) (2)猜想： (3)证明见解析 【分析】本题主要考查的就是代数式的化简与完全平方公式的应用，解决这个问题的关键要能够将所求的代数式进行分组，然后利用整体思想和完全平方公式进行因式分解得出答案．因式分解的时候，我们一定要学会整体思想，这个是我们解决高次因式分解常用的方法． （1）根据题目中给出的几个算式，将所求的式子转化成，从而求出答案； （2）根据（1）的具体运算，再猜想即可； （3）将原式重新分组转化成，然后进行多项式乘法转化为，将看作一个整体，利用完全平方公式得出答案． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴ ． 故答案为：11881； （2）猜想：． 故答案为：； （3）证明： ． 四、题型四：综合提公因式法和公式法分解因式 24．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式计算出的值，然后将多项式分解因式为，最后利用整体代入法求解即可． 本题主要考查了完全平方公式，以及分解因式，利用整体代入法求值是解题的关键． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：． 25．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 本题考查了分解因式．在分解因式时，首先观察各项是否有公因式，如果有公因式的要先提公因式，然后再看能否用平方差公式或者完全平方公式分解因式．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：. 26．分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）； ； （2） ． 27．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键． （1）先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，然后再运用平方差分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 28．因式分解： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键． （1）运用平方差公式即可求解； （2）运用提公因式法，公式法因式分解即可； （3）运用提公因式法，平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 29．将下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）将看作整体，直接利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用进行因式分解是解决本题的关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）用完全平方公式分解． 【详解】（1） ． （2） ． 32．把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）把看作一个整体，利用完全平方公式即可； （4）利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 五、题型五：因式分解在有理数简算中的应用 33．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解， 本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 34．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 35．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 36．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 37．计算： ． 【答案】/ 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 38．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则 ． 【答案】24 【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab，然后即可得到ab的值，再将ab的积分解为两个质数的积，即可得到a、b的值，然后作和即可． 【详解】解：由题意可得， 567567÷7÷567=ab， 解得ab=143， ∵143=11×13， ∴a=11，b=13或a=13，b=11， ∴a+b=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值． 39．用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 40．利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取后计算即可； （2）提取后计算即可； （3）原式变形为，然后提取后计算即可； （4）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 41．利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 42．利用因式分解简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，然后利用平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． 六、题型六：十字相乘法 43．下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故选：A． 44．多项式可因式分解成，其中均为整数，则值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先将多项式进行因式分解，进而确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵多项式可因式分解成， ∴，，， ∴． 故答案为：7． 45．已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，十字相乘法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用因式分解化简式子运算即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴或 故答案为：或 46．请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关键． （1）通过观察分析总结出规律即可； （2）利用（1）总结的规律求解即可． 【详解】（1）解： 答案为：． （2）解：① ； ② ． 47．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． （1）把拆成即可；把拆成即可；把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解： （2）解： 48．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 49．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法 （1）把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 七、题型七：分组分解法 50．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 51．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解； （2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴ 52．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：        例2：“三一分组”： ；         解：原式    解：原式          ．        ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 ＝____________ ②因式分解：； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)①，，，②； (2) 【分析】（1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； （2）将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴； 【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． 53．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 54．分解因式： ． 【答案】 【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可. 【详解】 ． 【点睛】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. 55．分解因式：． 【答案】 【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可. 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. 八、题型八：因式分解的应用 56．已知，若，，则M与N的大小关系是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、因式分解的应用，先作差，再利用因式分解计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 57．若，则M的值一定是（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将转化为完全平方的和的形式，进行判断即可． 【详解】解： ， ∵， 当且仅当：时，， ∴不能同时为0， ∴，即：M的值一定是正数； 故选：C． 58．规定：一个三位数，如果它的各个数位上的数字都不为0，并且同时满足个位上的数字为百位和十位数字之和，则称这个三位数为“龙凤数”．是一个“龙凤数”，从各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个的两位数，我们把这6个数之和与22的商记为，如：若，则为“龙凤数”，．则的值是 ；若为两个“龙凤数”，且，则的最小值是 ． 【答案】 10 【分析】本题考查了因式分解的应用，按照“龙凤数”的方法计算是解题关键. 根据“龙凤数”的方法直接计算即可.设, 把表示出来为.同理由然后分四种情况讨论计算即可. 【详解】根据例子得， 设 ， ∴， 同理 ， ∵都不为, ， ， ， 或或,或, ∴,或,或,或, ∴,或,或,或, 要使 最小，则的值要越大， ∴, ∴, ∴. ∴, ． 故答案为：, ． 59．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而合并同类项，再结合整式的除法运算法则计算，利用非负数的性质得出，的值，代入即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵ ∴ ∴， 解得：，， ∴原式 ． 60．若两个正整数，满足为自然数，则称为的“级”数．例如，，则2为3的“11级”数． (1)4是5的“______”级数；正整数为1的“______”级数（用关于的代数式表示）； (2)是否存在的值，使得为的“级”数？若存在，请举出一组的值；若不存在，请说明理由； (3)已知均为小于100的正整数，且为的“100”级数，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)19， (2)不存在，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解的应用： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，分别求出，以及，进行判断即可； （3）根据题意，得到，进而得到，即两个连续的正整数的积是99的倍数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵为自然数， 当时，，解得：， ∴4是5的19级数； 当时，， ∴， ∴正整数为1的级数； 故答案为：18，； （2）不存在， ∵， ， ∵，为正整数， ∴， ∴， 故不存在的值，使得为的“级”数； （3）由题意，得： ∴， ∴，即两个连续的正整数的积是99的倍数， ∵均为小于100的正整数， ∴①当时，，此时； ②当时，，此时； ③当时，，此时； 综上：或或． 61．已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形．根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 62．对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为 ． 【答案】307 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，根据题目给的新定义去求解，而找到字母之间的关系是解题的关键．根据“月圆数”的定义可得，，根据题意可得，再根据能被11整除的特征可得，依此可求，进一步得到，，从而可求，，再代入即可求出值． 【详解】解：，都是“月圆数”， ，，，均为的整数）， ，， ，， 是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数， ，， ， 与的和能被11整除， ， 解得， ， ， ， ， ． 故答案为：307． 63．将三张边长分别为的正方形纸片按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为，面积为，图2中的阴影部分周长为，面积为．若，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用和因式分解的应用，先根据图1和图2可得：，，，，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据图1可知：， ， 根据图2可知：， ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 64．阅读材料，回答问题． 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式（注：把代入多项式能使多项式的值为，则多项式含有因式，于是我们可以把多项式写成：这种因式分解的方法叫试根法．） (1)式子中 ； ； (2)请你用“试根法”因式分解．（写过程） 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据 ，得出有关，的方程组求出即可； （）把代入得其值为，则多项式含有因式，则分解为的形式，然后求出，即可． 【详解】（1）由， 得， ∴， 解得：， 故答案为：，； （2）把代入得其值为，则多项式含有因式， ∴多项式可分解为的形式， ∴用上述方法可求得：，， ∴． 65．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法． （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： ． （3）解：根据题意得： ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$