专题05 乘法公式（八大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

专题05 乘法公式（八大题型，50题） 目录 题型一：运用平方差公式进行运算 1 题型二：平方差公式与几何图形 6 题型三：运用完全平方公式进行运算 11 题型四：通过对完全平方公式变形求值 17 题型五：求完全平方式中的字母系数 21 题型六：完全平方式在几何图形中的应用 25 题型七：完全平方公式在几何图形中的应用 32 题型八：整式的混合运算 39 一、题型一：运用平方差公式进行运算 1．的个位数字为（    ） A．5 B．1 C．2 D．4 2．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 3．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 4．计算： 5．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数能够写成（，均为正整数，且），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记．例如，所以或．若一个小于的三位数（其中，，且，，均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的的最大值为 ． 6．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 7．计算： 二、题型二：平方差公式与几何图形 8．两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A． B． C． D． 9．如图，点，，，分别在长方形的边上，点，在上，若正方形的面和等于10，图中阴影部分的面积总和为4，则正方形的面积等于（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 10．如图，在边长为的正方形中央剪去一个边长为的小正方形（），将剩余部分剪开恰好组成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 ． 11．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 12．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 13．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 三、题型三：运用完全平方公式进行运算 14．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 15．已知，满足，则 ． 16．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 17．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是 ；第36个领先数是 ． 18．给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ． (1)当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． (2)当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． 19．已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 20．已知：a、b、c为互不相等的数，且满足，求证：． 四、题型四：通过对完全平方公式变形求值 21．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 22．若，则的值是 ． 23．若n满足，求的值． 24．阅读理解并解答： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考： 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以的最大值是． 尝试应用： （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； 拓展提高： （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 25．已知 ，，求下列代数式的值： (1) (2) 26．计算 (1)已知，求 的值； (2)若，，求的值． 五、题型五：求完全平方式中的字母系数 27．已知是完全平方式，则 ． 28．若是一个完全平方式，则常数m＝ ． 29．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 30．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)　　； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k＝　　； (3)对于有理数x、y，若，求的值． 31．当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； (2)已知：，请求出b的值． 六、题型六：完全平方式在几何图形中的应用 32．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    33．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 34．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 35．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 36．如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为的正方形．    (1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积． (2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？ 七、题型七：完全平方公式在几何图形中的应用 37．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 38．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)． (1)观察图2，写出，，之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若，，则 (3)拓展应用：若，求的值． 39．如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法表示该图形阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）： ①方法一： ； ②方法二： ； (2)若图中a、b满足，，求阴影部分正方形的面积； (3)若，求的值． 40．【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 41．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 八、题型八：整式的混合运算 42．计算： (1) (2) 43．先化简，再求值：，其中，． 44．计算： (1) (2) (3) (4) 45．计算： (1) (2) 46．已知多项式． (1)化简多项式； (2)若，求的值． 47．先化简，再求值． ，其中，． 48．先化简，再求值：，其中． 49．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中． 50．先化简，再求值：，其中，． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 乘法公式（八大题型，50题） 目录 题型一：运用平方差公式进行运算 1 题型二：平方差公式与几何图形 6 题型三：运用完全平方公式进行运算 11 题型四：通过对完全平方公式变形求值 17 题型五：求完全平方式中的字母系数 21 题型六：完全平方式在几何图形中的应用 25 题型七：完全平方公式在几何图形中的应用 32 题型八：整式的混合运算 39 一、题型一：运用平方差公式进行运算 1．的个位数字为（    ） A．5 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】将变形为，利用平方差公式求解． 【详解】解： ， ∵ ，，，，…… 可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环， ∴的个位数为1， ∴的个位数为0， ∴的个位数可能是0或5， ∴的个位数可能是1或6， 观察选项可知，只有B选项为1， 故选B． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键． 2．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】解：A．∵ ， ∴选项A能运用平方差公式，不合题意； B．，不能运用平方差公式，符合题意； C．∵ ， ∴选项C能运用平方差公式，不合题意； D．∵ ， ∴选项D能运用平方差公式，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 3．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 5．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数能够写成（，均为正整数，且），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记．例如，所以或．若一个小于的三位数（其中，，且，，均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义，可得百位数最小为1，再根据新定义确定十位数与个位数，即可得出最小的倍差数；由三位数小于，，得到的值，根据情况讨论，可得答案． 【详解】解：依题意，最小的“倍差数”百位数最小为1，当十位为0时，则个位为1， ∴最小的“倍差数”是 ∵三位数小于，，， ， 又∵是“倍差数”， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ， ， ∴或， ∴或； 而不是“不完全平方差数”， ∴的最大值． 故答案为：，． 【点睛】本题考查再新定义的情境下的整式的乘法运算，掌握平方差公式的应用，弄懂新定义的含义是解题的关键． 6．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 【答案】2697 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 【详解】解：设是正整数， 由于， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ， 是第675组的第一个数， 即：． 故答案为：2697． 7．计算： 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将分子，分母变形计算后，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 二、题型二：平方差公式与几何图形 8．两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故选：． 9．如图，点，，，分别在长方形的边上，点，在上，若正方形的面和等于10，图中阴影部分的面积总和为4，则正方形的面积等于（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与图形的面积， 解决本题的关键是找准图形间的面积关系. 设大、小正方形边长为，则然后利用图中阴影部分的面积总和为，进而可得正方形EFGH的面积. 【详解】解：设大、小正方形边长为，则有阴影部分面积为： 即 可得 即所求面积是. 故选： C. 10．如图，在边长为的正方形中央剪去一个边长为的小正方形（），将剩余部分剪开恰好组成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解． 【详解】解： 拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 该平行四边形的面积为： ， 故答案为：． 11．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即， ． 故答案为：12 12．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 13．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)C (2)①② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）①利用（1）中结论，整体代入法，求出，联立两个二元一次方程，求出的值即可；②利用（1）中结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知，阴影部分的面积； 故选C． （2）解：①∵，， ∴， ，得：，解得：； ② ． 三、题型三：运用完全平方公式进行运算 14．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ． 【答案】 12 22 【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算，由每个圆圈上的四个数字的和都等于23，可得出三个大圆圈上的数字之和为63，结合9个小圆圈的数字之和为45，可求出，由，结合9个小圆圈上的数字的平方和为285，可得出，再代入，即可求出的值． 【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于23，， ∴三个大圆圈上的数字之和为， ∵各小圆圈上的数字之和为 ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 故答案为∶12，22． 15．已知，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 16．已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 17．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是 ；第36个领先数是 ． 【答案】 39 439 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，令，，，…，，…，是领先数，且，根据定义得，，，，是解题的关键． 【详解】解：令，，，…，，…，是领先数，且， 由题意可知，最小的领先数是11，即， 由定义可知，一个领先数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 则， ∵， 要保证是领先数，则的十位数字比个位数字大1， 则只需保证，为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ∴， 即是领先数，同理，，，…，是领先数， 现计算50以内的正整数的平方，根据定义可得： ，，，， ∴，，，， ∴，，，， 则， 故答案为：39，439． 18．给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ． (1)当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． (2)当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小． 【答案】(1)方案见解析 (2)方案见解析 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，有理数的混合运算等知识．熟练掌握完全平方公式，平方差公式的应用，有理数的混合运算是解题的关键． （1）由，，可知8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，则当时，或当时，最小，且最小值为0； （2）当时，①由题意知，给定的个数中有个奇数，不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，则所求的最终代数和大于等于1．设计最终代数和等于1的可行方案．②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由，对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．④在对进行设计的过程中，，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．进而可得可行方案为：首先对 ，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对 ，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小． 【详解】（1）解：∵，， ∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0， ∴当时，或当时，最小，且最小值为0； （2）解：当时， ①由题意知，给定的个数中有个奇数， ∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数， ∴所求的最终代数和大于等于1． ∴设计最终代数和等于1的可行方案． ②， ∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0； ③∵， 对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0， 然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1． ④在对进行设计的过程中，， 又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4， ∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为． 综上，可行方案为：首先对 ，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对 ，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小． 19．已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方差公式，去括号，合并同类项，再化简即可，根据通分，分式的除法，完全平方公式、提公因式再化简即可． （2）由（1），可化为，化简得，由于，代入上式即可求得的值． 【详解】（1）化简： ． 化简： ． 故化简可得， ． （2）由（1），可化为， 化简可得， 又∵， 故， 即的值为． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式、提公因式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．已知：a、b、c为互不相等的数，且满足，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用；根据完全平方公式计算，将，代入，即可求解． 【详解】证明：∵， ∴ ∴，即：． 四、题型四：通过对完全平方公式变形求值 21．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出则的值． 【详解】， 即， 解得， ， 故选：B． 22．若，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式以及多项式乘多项式的运算法则． 运用完全平方公式把等式展开得到，进而得到，代数式，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2024． 23．若n满足，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ， ∴； 故答案为：0． 24．阅读理解并解答： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考： 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以的最大值是． 尝试应用： （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； 拓展提高： （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，有最小值．此时，两段铁丝的长度分别为， 【分析】本题主要考查了完全平方公式、求代数式的值和配方法的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和配方法的应用． （1）利用配方法把代数式写成一个非正数或非负数与一个正数的和，然后判断有无最大值或最小值即可； （2）通过求与的差，利用配方法判断它们的差的正负，从而判断，的大小； （3）设截的两段铁丝的长，求出它们做成的正方形的面积和，利用配方法判断面积和有无最大值或最小值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， 即． 则的最大值为， 此时； （2）． 理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即 则 （3）有最小值． 设面积之和为，其中一段铁丝长，则另一段铁丝长． 由题意，得， ∴ ； ∵， ∴， 即当时，有最小值． 此时，两段铁丝的长度分别为，. 25．已知 ，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 26．计算 (1)已知，求 的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)11 (2)2025 【分析】本题主要考查完全平方公式和同底数幂乘法，熟练掌握完全平方公式和同底数幂乘法运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2），， ． 五、题型五：求完全平方式中的字母系数 27．已知是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算即可确定k的值，熟记完全平方公式对解题的关键． 【详解】∵是完全平方式， ∴，解得， 故答案为：． 28．若是一个完全平方式，则常数m＝ ． 【答案】9或/或9 【分析】本题主要考查了完全平方式定义的应用能力，掌握完全平方公式的特点“首平方、尾平方、中间为二倍积”成为解题的关键． 根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】解：∵都是完全平方式， ∴， ∴，解得或． 故答案为：9或． 29．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)　　； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k＝　　； (3)对于有理数x、y，若，求的值． 【答案】(1) (2)8或 (3)628 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则，可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简求值即可． 【详解】（1）解：根据新运算法则，可得： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴或， ∴或 故答案为：8或； （3）解：∵， ∴， ∴ ， 当，时，原式． 31．当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)若是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； (2)已知：，请求出b的值． 【答案】(1)8或，9 (2)或16 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（完全平方式有和两个）是解此题的关键． （1）根据完全平方式得出和，再求出和即可； （2）先根据完全平方公式展开得出，根据得出，，求出的值，再求出即可． 【详解】（1）解：是完全平方式， ， ， 或； ， 为常数）是完全平方式， ． 故答案为：8或，9； （2）， ， ，， ， 或16． 六、题型六：完全平方式在几何图形中的应用 32．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 33．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 34．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 35．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)小， (2)①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式有最小值，最小值为； 故答案为小，； （2）解：①由图可得花圃的面积：平方米； ②由①可知：， 当时，，且， 当时，花圃的最大面积为1250平方米． 36．如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为的正方形．    (1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积． (2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？ 【答案】(1)都为 (2) 【分析】（1）求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的边长，利用面积公式计算即可； （2）求出两个班级的面积，求差即可． 【详解】（1）解：因为， 所以七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为． （2）解：因为， 所以七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练掌握乘法公式进行计算． 七、题型七：完全平方公式在几何图形中的应用 37．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． 由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 38．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图 2)． (1)观察图2，写出，，之间的等量关系是 ； (2)根据(1)中的结论，若，，则 (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据已知条件利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 提示：由图可知，图1的面积为，图2中白色部分的面积为： 因为图1的面积和图2中白色部分的面积相等， 所以 ． （2）解：根据(1)中的结论，可知 ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 39．如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法表示该图形阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）： ①方法一： ； ②方法二： ； (2)若图中a、b满足，，求阴影部分正方形的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)25 (3)2024 【分析】（1）依据正方形和长方形的面积公式，即可得到该图形阴影部分的面积； （2）由（1）可得：，即可得出阴影面积； （3）设，，则，．再根据，即可求出的值． 本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 【详解】（1）解：①该图形阴影部分的面积为； 故答案为：； ②该图形阴影部分的面积为； 故答案为：； （2） ， ∴阴影部分正方形的面积25； （3）设，， 则，， ． 40．【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 【答案】(1) (2)； (3)阴影部分的面积为． 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． （1）根据举例进行对已知式子计算解答即可； （2）设，，则可得，，所以，可得，即可解答； （3）根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，， ， ， ， ， 即； （3）解：∵正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 答：阴影部分的面积为． 41．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 八、题型八：整式的混合运算 42．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式的乘以多项式、整式的混合运算等知识． （1）利用单项式乘以多项式的每一项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1） （2） ． 43．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，54 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式．先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可化简，最后代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 44．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式混合运算，涉及到幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法运算、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，积的乘方，然后计算同底数幂的乘法，再合并同类项； （2）先根据单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项； （3）先根据多项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项； （4）先根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 45．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式； （2）先计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 46．已知多项式． (1)化简多项式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，正确的运算是解题的关键； （1）利用完全平方公式，以及多项式乘法，合并同类项即可求得； （2）求解一元二次方程，将代入（1）中所求，即可求得. 【详解】（1） ； （2）， 47．先化简，再求值． ，其中，． 【答案】，13 【分析】本题主要考查了整式化简求值，正确完成整式化简是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再进行整式加减运算完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 48．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先计算多项式除以单项式和平方差公式进行计算，再合并同类项进行化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 当时代入 原式． 49．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）化简得，求值得 （2）化简得，求值得 【分析】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则和完全平方公式把原式化简，代入计算即可； （2）根据单项式乘多项式的法则和平方差公式把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2） ， 当时，原式． 50．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$