专题01 三角形复习（易错题45题8个考点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题01三角形复习（易错题45题8个考点） 一．三角形的角平分线、中线和高（共4小题） 1．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A．B． C．D． 2．下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 4．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 二．三角形的面积（共1小题） 5．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三．三角形的稳定性（共1小题） 6．下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 四．三角形三边关系（共4小题） 7．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．2，6，3 B．3，8，6 C．10，16，8 D．9，15，12 8．如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA＝18m，PB＝16m，那么A、B之间的距离不可能是（　　） A．18m B．26m C．30m D．34m 9．若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝（　　） A．2b B．2a C．2a+2b D．2b+2c 10．在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　 　． 五．三角形内角和定理（共10小题） 11．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 12．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（　　）度． A．84 B．111 C．225 D．201 13．如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A．282° B．180° C．258° D．360° 14．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　 　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　 　． 16．如图，AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，且AE与CE相交于点E．若∠D＝40°，∠B＝30°，则∠E的度数为 　 　． 17．【初步认识】 （1）如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC． 求证：∠A+∠D＝∠B+∠C． 【继续探索】 （2）如图②，∠A＝m°，∠C＝n°，∠ABC，∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P． ①若m＝40，n＝32，求∠P的度数； ②用m、n表示∠P的度数为 　 　． （3）如图③，∠ABC，∠ADC的角平分线BP，DP相交于点P，∠DAB，∠DCB的角平分线AQ，CQ相交于点Q．若∠P＝∠Q，判断AD与BC的位置关系并说明理由． 18．上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°，请设计一个方案把△ABC分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为26°的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　 　； 【问题3】 如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝50°，在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝85°，∠F＝35°，分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC分割成的两个小三角形三个内角的度数与△DEF分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 19．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　 　°，∠Q 　 　°； （2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 　 　． 20．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝　 　，∠XBC+∠XCB＝　 　． （2） 如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小． 六．三角形的外角性质（共6小题） 21．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 22．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 23．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 24．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°． 25．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点． （1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，则∠BDC＝　 　°，∠BEC＝　 　°； （2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数． 26．探究发现 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系　 　． 探究二：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β； （1）如图①，α+β＞180°，则∠F＝　 　；（用α，β表示） （2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F＝　 　；（用α，β表示） （3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F． 七．直角三角形的性质（共1小题） 27．如图为脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次体检中，若测得某人cobb角∠O＝45°，则图中与∠O相等的角的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 八．多边形内角与外角（共18小题） 28．一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 29．若一个多边形的内角和比它的外角和大540°，则该多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 30．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　） A．240° B．360° C．540° D．720° 31．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（　　） A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 32．如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1+∠2等于（　　） A．126° B．130° C．136° D．140° 33．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 34．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（　　）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 35．如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A．72米 B．108米 C．144米 D．120米 36．如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 37．如图，足球图片正中的黑色正五边形的外角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 38．如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°．将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝（　　） A．75° B．85° C．95° D．100° 39．足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 　 　． 40．用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD＝　 　°． 41．如图，正方形AMNP的边AM在正六边形ABCDEF的边AB上，则∠PAF＝　 　度． 42．如图，A，B，C，D，E，F，是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． 43．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝　 　． 44．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　度． 45．已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°． （1）求这个正多边形一个内角的度数； （2）求这个正多边形的内角和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形复习（易错题45题8个考点） 一．三角形的角平分线、中线和高（共4小题） 1．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 2．下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意； B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意； C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意； D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意； 故选：D． 3．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 4．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 二．三角形的面积（共1小题） 5．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：C点所有的情况如图所示： 故选：D． 三．三角形的稳定性（共1小题） 6．下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 【答案】A 【解答】解：A．三角形的三条中线交于一点，正确； B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误； C．三角形一定具有稳定性，错误； D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误； 故选：A． 四．三角形三边关系（共4小题） 7．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．2，6，3 B．3，8，6 C．10，16，8 D．9，15，12 【答案】A 【解答】解：A．∵3+2＜6，∴不能构成三角形； B．∵3+6＞8，∴能构成三角形； C．∵8+10＞16，∴能构成三角形； D．∵12+9＞15，∴能构成三角形． 故选：A． 8．如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA＝18m，PB＝16m，那么A、B之间的距离不可能是（　　） A．18m B．26m C．30m D．34m 【答案】D 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：18﹣16＜AB＜16+18， 即2＜AB＜34， ∴A、B之间的距离不可能是34， 故选：D． 9．若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝（　　） A．2b B．2a C．2a+2b D．2b+2c 【答案】A 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝a+b﹣c+（b+c﹣a）＝2b． 故选：A． 10．在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　＜x＜　． 【答案】＜x＜． 【解答】解：由题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6， ∴AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x． 若能组成三角形， ∴． ∴． ∴＜x＜． 当D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解． 综上所述，＜x＜． 故答案为：＜x＜． 五．三角形内角和定理（共10小题） 11．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解答】解：设三个角的度数分别为x，2x，3x，则根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度， 因而是直角三角形．故选B． 12．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（　　）度． A．84 B．111 C．225 D．201 【答案】D 【解答】解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°； ②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°； ③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222° 故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69° ∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201° 故选：D． 13．如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A．282° B．180° C．258° D．360° 【答案】C 【解答】解：如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角， ∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C， 即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝78°+180°＝258°． 故选：C． 14．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°； 同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝． 故答案为：17.5°，． 15．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　92°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝46°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D， 则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+92°， 则∠1﹣∠2＝92°． 故答案为：92°． 16．如图，AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，且AE与CE相交于点E．若∠D＝40°，∠B＝30°，则∠E的度数为 　35°　． 【答案】35°． 【解答】解：∵AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线， ∴∠DAE＝∠DAB，∠DAE＝∠DAB， ∵∠D+∠DCB＝∠B+∠BAD①，∠D＝40°，∠B＝30°， ∴∠BAD﹣∠DCB＝10°， ∴∠DAE﹣∠DCE＝5°， ∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE②， ①+②，得80°+3∠DCE＝30°+∠E+3∠DAE， ∴50°﹣3（∠DAE﹣∠DCE）＝∠E， ∴∠E＝35°， 故答案为：35°． 17．【初步认识】 （1）如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC． 求证：∠A+∠D＝∠B+∠C． 【继续探索】 （2）如图②，∠A＝m°，∠C＝n°，∠ABC，∠ADC的角平分线BP、DP相交于点P． ①若m＝40，n＝32，求∠P的度数； ②用m、n表示∠P的度数为 　（）°　． （3）如图③，∠ABC，∠ADC的角平分线BP，DP相交于点P，∠DAB，∠DCB的角平分线AQ，CQ相交于点Q．若∠P＝∠Q，判断AD与BC的位置关系并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①36°；②（）°；（3）AD∥BC，理由见解析． 【解答】（1）证明：由题意，在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD＝180°， ∴∠A+∠D＝180°﹣∠AOD． 又 在△BOC中，∠B+∠C+∠BOC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BOC． 又∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C． （2）解：①由题意，结合（1）可得， ∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C， ∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP． ∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠ADC，∠ABP＝∠ABC． ∴∠A+∠ADC＝∠P+∠ABC． ∴2∠A+∠ADC＝2∠P+∠ABC． 又∠A+∠ADC＝∠ABC+∠C， ∴∠A＝2∠P﹣∠C． ∴∠P＝． 又∠A＝m°＝40°，∠C＝n°＝32°， ∴∠P＝＝36°． ②由题意，根据①∠P＝， 又∠A＝m°，∠C＝n°， ∴∠P＝（）°． 故答案为：（）°． （3）解：AD∥BC．理由如下： 由题意，根据（2）①可得∠P＝， 同理可得，∠Q＝． 又∠P＝∠Q， ∴＝． ∴∠DAB+∠DCB＝∠ABC+∠ADC． 又∠DAB+∠ADC＝∠DCB+∠ABC， ∴2∠DAB+∠DCB+∠ADC＝2∠ABC+∠DCB+∠ADC． ∴∠DAB＝∠ABC． ∴AD∥BC． 18．上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°，请设计一个方案把△ABC分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为26°的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　141°　； 【问题3】 如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝50°，在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝85°，∠F＝35°，分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC分割成的两个小三角形三个内角的度数与△DEF分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 【答案】（1）答案见解析；（2）141°；（3）答案见解析． 【解答】解：（1）如图，作∠ABC的平分线，交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C＝20°，∠ADB＝40°． ∴DB＝DC． ∴△DBC是等腰三角形． ∴∠BDC＝140°． （2）由题意，根据（1）作较大内角的平分线，交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C． ∴DB＝DC． ∴△DBC是等腰三角形． ∴当，最大180﹣（26°+13°）＝141°． 故答案为：141°． （3）由题意，设计如下： 方案1：作∠ABC 的平分线，交AC于点M， 根据题意，得∠A＝60°，，∠C＝50°，∠AMB＝85°，∠BMC＝95°； 作∠DEN＝35°，交DF于点N， 根据题意，得∠D＝60°．∠DNE＝85°，∠NEF＝50°，∠F＝35°，∠ENF＝95°． 方案2：作∠ACQ＝15° 交AB于点Q， 根据题意，得∠A＝60°，∠AQC＝105°，∠BCQ＝35°，∠BQC＝75°，∠B＝70°； 作∠DEO＝15°，交DF于点O， 根据题意，得∠D＝60°，∠DOE＝105°，∠EOF＝75°，∠F＝35°，∠OEF＝70°． 19．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　115　°，∠Q 　25　°； （2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 　45°或60°或120°或135°　． 【答案】（1）115，25； （2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化，理由见解答部分； （3）45°或60°或120°或135°． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝70°， ∴∠BCP＝∠ACB＝35°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°， ∵∠PDE＝∠ADE＝30°， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°； 又∵∠ACQ＝∠ACF， ∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°， ∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°； 故答案为：115，25； （2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化． 理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°； ∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°； （3）设∠A＝x，则， ∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF， ∴，， ∴，， 因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ∴①当∠Q＝3∠QPC时，， ∴x＝135°， ②当∠QPC＝3∠Q时，， ∴x＝45°， ③当∠PCQ＝3∠Q时，， ∴x＝60°， ④当∠PCQ＝3∠QPC时，， ∴x＝120°， 综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°． 故答案为：45°或60°或120°或135°． 20．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝　150°　，∠XBC+∠XCB＝　90°　． （2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小． 【答案】（1）150°；90°． （2）不变化，∠ABX+∠ACX＝60°． 【解答】解：（1）∵∠A＝30°， ∴∠ABC+∠ACB＝150°， ∵∠X＝90°， ∴∠XBC+∠XCB＝90°， 故答案为：150°；90°． （2）不变化． ∵∠A＝30°， ∴∠ABC+∠ACB＝150°， ∵∠X＝90°， ∴∠XBC+∠XCB＝90°， ∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB） ＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB） ＝150°﹣90° ＝60°． 六．三角形的外角性质（共6小题） 21．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠1） ＝90°+∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 22．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°， ∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°， ∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°， 整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD， 即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°． 故选：B． 23．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　） A．60° B．10° C．45° D．10°或60° 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°； ②如图2，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°， 综上，∠BCD的度数为60°或10°， 故选：D． 24．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 25．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点． （1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，则∠BDC＝　120　°，∠BEC＝　100　°； （2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， 又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣60°＝120°； ∵∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB， ∴∠EBC+∠ECB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（360°﹣120°）＝80°， ∴△BCE中，∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣80°＝100°； 故答案为：120，100； （2）由（1）可得，∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∴∠FDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A， ∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角， ∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC，∠A＝∠ACG﹣∠ABC， 又∵BF平分∠ABC，FC平分∠ACG， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCG＝∠ACG， ∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC＝∠ACG﹣∠ABC＝（∠ACG﹣∠ABC）＝∠A， ∵DC平分∠ACB，FC平分∠ACG， ∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠BCG＝90°， 在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则 ①当∠FDC＝4∠F时，90°﹣∠A＝4×∠A， 解得∠A＝36°； ②当∠F＝4∠FDC时，∠A＝4×（90°﹣∠A）， 解得∠A＝144°（不合题意）； ③当∠DCF＝4∠FDC时，90°＝4×（90°﹣∠A）， 解得∠A＝135°（不合题意）； ④当∠DCF＝4∠F时，90°＝4×∠A， 解得∠A＝45°； 综上所述，锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°． 26．探究发现 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系　∠FDC+∠ECD＝180°+∠A　． 探究二：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β； （1）如图①，α+β＞180°，则∠F＝　∠F＝（α+β）﹣90°　；（用α，β表示） （2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F＝　∠F＝90°﹣（α+β）　；（用α，β表示） （3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC， ∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A； 探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC， ∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°， 由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠A+∠D+∠ABC，∠FCE＝∠F+∠FBC， ∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE， ∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°， ∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°， ∵∠A＝α，∠D＝β， ∴∠F＝（α+β）﹣90°； ②如图②， 同①可求，∠F＝90°﹣（α+β）； ③∠F不一定存在，当α+β＝180°时，∠F＝0，不存在． 故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；探究二：①∠F＝（α+β）﹣90°，②∠F＝90°﹣（α+β）． 七．直角三角形的性质（共1小题） 27．如图为脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次体检中，若测得某人cobb角∠O＝45°，则图中与∠O相等的角的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵BD⊥OA，AC⊥OB， ∴∠ACO＝∠ACB＝∠BDO＝∠BDA＝90°， ∵∠O＝45°， ∴∠CAO＝90°﹣∠O＝45°，∠DBO＝90°﹣∠O＝45°， ∴∠APD＝90°﹣∠CAO＝45°， ∴∠APD＝∠BPC＝45°， ∴图中与∠O相等的角有：∠CAO，∠DBO，∠APD，∠BPC，共有4个， 故选：D． 八．多边形内角与外角（共18小题） 28．一个多边形的内角和与它的外角和的和为1800°，则这个多边形的边数为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【解答】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和与外角和的性质，有： 内角和＝（n﹣2）×180°外角和＝360°，由题可知，内角和与外角和的和为1800°， 即：（n﹣2）×180°+360°＝1800°， 解得：n＝10， 因此，这个多边形的边数为10． 答案：10 应选：B． 29．若一个多边形的内角和比它的外角和大540°，则该多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得： （n﹣2）•180°＝360°+540°， 解得：n＝7， 故选：D． 30．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　） A．240° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【解答】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N， 在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°， ∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故选：B． 31．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（　　） A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2， n﹣2＝4， n＝6， 故选：D． 32．如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1+∠2等于（　　） A．126° B．130° C．136° D．140° 【答案】A 【解答】解：如图： ∵（5﹣2）×180°÷5×2 ＝3×180°÷5×2 ＝216°， ∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°， ∴∠1+∠2＝216°﹣90°＝126°． 故选：A． 33．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝150°． 又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°． 故选：B． 34．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（　　）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 【答案】B 【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠DGF＝∠DCE+∠E， ∴∠DGF＝70°+30°＝100°． ∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D， ∴∠D＝10°． 而图中∠D＝20°， ∴∠D应减少10°． 故选：B． 35．如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A．72米 B．108米 C．144米 D．120米 【答案】B 【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n， 则20n＝360，解得n＝18， ∴他第一次回到出发点O时一共走了：6×18＝108（米）， 故选：B． 36．如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【解答】解：由题意得： ∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∵∠1+2+∠3+∠4＝280°， ∴∠5＝360°﹣280°＝80°， 故选：B． 37．如图，足球图片正中的黑色正五边形的外角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【解答】解：任意多边形的外角和都是360°， 故正五边形的外角和是360°． 故选：B． 38．如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°．将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝（　　） A．75° B．85° C．95° D．100° 【答案】B 【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝80°， ∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°， ∵将△BMN沿MN翻折得△FMN， ∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°， ∴∠B＝∠F＝180°﹣55°﹣40°＝85°． 故选：B． 39．足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 　12°　． 【答案】12°． 【解答】解：因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5﹣2）•180°＝108°， 正六边形的每个内角的度数为（6﹣2）•180°＝120°． ∴∠AOB的度数为：360°﹣108°﹣120°×2＝12°． 故答案为：12°． 40．用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD＝　144　°． 【答案】144． 【解答】解：如图，5个筝形组成一个正10边形， 所以，∠BCD＝（10﹣2）×180°÷10＝8×18°＝144°． 故答案为：144． 41．如图，正方形AMNP的边AM在正六边形ABCDEF的边AB上，则∠PAF＝　30　度． 【答案】30． 【解答】解：由题意可知，∠BAF＝（n﹣2）×180°÷6＝120°，∠PAM＝90°， ∴∠PAF＝∠BAF﹣∠PAM＝30°． 故答案为：30． 42．如图，A，B，C，D，E，F，是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　360°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AF， 由题可得，∠C+∠D＝∠DAF+∠CFA， 又∵四边形ABEF中，∠BAF+∠B+∠E+∠AFE＝360°， ∴∠BAD+∠DAF+∠B+∠E+∠AFC+∠CFE＝360°， ∴∠BAD+∠D+∠B+∠E+∠C+∠CFE＝360°， 故答案为：360°． 43．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝　12°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°， ∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°． 故答案为：12°． 44．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　540　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图： ∵∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠F+∠C， ∴∠1＝∠B+∠F+∠C， ∴∠A+∠1+∠D+∠E+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°． 故答案为：540． 45．已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°． （1）求这个正多边形一个内角的度数； （2）求这个正多边形的内角和． 【答案】（1）140°； （2）1260°． 【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°， 根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40， 180°﹣x°＝140°， 所以这个正多边形一个内角的度数140°； （2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°， 所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9， 所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/29 4:14:14；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$