第四章 幂函数、指数函数与对数函数（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第四章 幂函数、指数函数与对数函数（压轴题专练） 题型一：幂函数的单调性应用 1．（22-23高二下·上海杨浦·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的最小值为 . 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由； (2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值； (3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 题型二：指数函数的值域问题 1．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高三上·上海徐汇·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”， (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型三：指数函数的单调性应用 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数. (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若函数在上为减函数，求实数a的取值范围. 2．（2024·上海浦东新）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. （1）判断，与，是否是非 减函数? （2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； （3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值. 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 题型四：对数函数的值域问题 1．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是 ． 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)设函数的定义域为I，若存在区间，满足:对任意，都存在(其中表示A在I上的补集)使得，则称区间A为的“Γ区间”.已知，若为函数的“Γ区间”，求a的最大值. 3．（2024·上海宝山·模拟预测）已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型五：对数函数的单调性应用 1．（23-24高一上·上海黄浦·期末）若且，则实数m、n满足的关系式为（    ） A．0<m<n<1 B．0<n<m<1 C．0<m<1<n D．1<m<n 2．（23-24高三下·上海奉贤·阶段练习），则不等式的解集为 . 3．（23-24高三上·上海奉贤·期中）已知 （1）若函数在的最大值为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 幂函数、指数函数与对数函数（压轴题专练） 题型一：幂函数的单调性应用 1．（22-23高二下·上海杨浦·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值 【详解】设，则为幂函数，定义域为，且为偶函数，在单调递增， ，则为单调递增的一次函数， 则不等式变为， 若，则， 若，则， 即,，,， 作出，的图象，实线部分即为,， 要使,，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，故的最小值为， 故答案为： 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）根据函数 是幂函数，由得到或 再根据图象关于点中心对称求解； （2）由（1）得到作图求解； （3）根据（2）中图象求解. 【详解】（1）解：因为函数 是幂函数， 所以 解得 或 ①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称， ②当 时，函数的图象关于y轴对称， 则 所以幂函数f（x）的解析式是； （2）由（1）知，其的定义域是 在定义域上的图象，如图所示.      （3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是： 不等式的解集是. 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由； (2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值； (3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1），由，得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可解决；（3）由题得，不妨设，得，又，即可解决. 【详解】（1）由题知，函数，定义域为， 所以， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 所以是利普希兹条件函数 （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个， 均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为， 所以， 所以的最小值为． （3）由题意得在上恒成立， 即， 不妨设， 所以， 因为， 所以， 所以. 题型二：指数函数的值域问题 1．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围,跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】因为，值域为,所以对于时的函数值范围应包含，若函数值含有正数则正数部分不超过，根据图像可知 故答案为： 2．（23-24高三上·上海徐汇·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”， (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是区间上的“2阶自伴函数”； (2)； (3) 【分析】（1）时，，此时不存在，使得成立，根据定义判断即可； （2）由题意得任意，总存在唯一的使得，进而得对任意，总存在唯一的使得，即，进而求得b的值； （3）函数在上的值域为，故函数在上的值域必定包含区间，进而结合二次函数性质求解. 【详解】（1）时，， 此时不存在，使得， 故根据“2阶自伴函数”的定义可知， 不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）由函数为区间上的“1阶自伴函数”， 所以，且对任意， 总存在唯一的，使得成立，即成立， 则，所以， 所以，解得； （3）由函数在上的值域为， 因为是在区间上的“2阶伴随函数”，则对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 所以，即在区间上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的. 又因为函数开口向上，对称轴为， ①当时，在上单调递增，所以， 解得； ②当时，在上单调递减，所以， 解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 综上，a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不是；（2）；（3）． 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明； （2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围. 【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足， 有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； （2）为幂函数，，， ， 为定义在的“伪奇函数”， 在上有解， 在上有解， 令，在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，， ，的值域为， ，； （3）设存在满足，即在上有解， 在上有解， 在上有解， 令，取等号时， 在上有解， 在上有解（*）， ，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 题型三：指数函数的单调性应用 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数. (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若函数在上为减函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析，理由见解析； (2). 【分析】（1）.根据，可得当时，为奇函数；根据，可得当时，为偶函数； （2），且.由已知可得，进而可推出，根据的范围可得. 【详解】（1）解：由已知可得，函数的定义域为R， 对于，有， 因为， 当时，有，即，此时函数为R上的奇函数； 当时，，即，此时函数不是奇函数， 因为， 当时，有，即，此时函数为R上的偶函数； 当时，，即，此时函数不是偶函数. 综上所述，当时，为R上的奇函数；当时，为R上的偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数； （2）解：，且. 因为函数在上为减函数，所以，即， 因为， 因为，所以，所以， 则由可得，即， 因为，，且，所以，则， 所以， 所以实数a的取值范围为. 2．（2024·上海浦东新）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. （1）判断，与，是否是非 减函数? （2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； （3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值. 【答案】（1）在上不是非减函数，在上是非减函数；（2）；（3）. 【解析】（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论； （2）任取、且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解. 【详解】（1）， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 则函数在区间上不是非减函数， 当时，， 所以，函数在区间上为非减函数； （2）任取、且，即， 因为函数在上为非减函数， 有， ，， ，， ，则，则，，即， 因此，实数的取值范围是； （3）由已知得，，得， 从而，，所以，， 因为函数为上的非减函数， 对任意的，，即，所以，， ，所以，， 所以，， ，则，因此，. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出，进而可求得参数的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出对任意的恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解. 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由因式分解得，进而得；再根据指数函数的单调性即可得出答案. （2）先利用换元法将函数转化为，；再利用函数的单调性求解即可. （3）先分离参数，得当时，不等式恒成立；再构造函数，根据对勾函数的单调性求最小值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，即. 因为， 则. 因为函数在上单调递增，且， 所以. 故不等式的解集为 （2）由，得：函数定义域为. 令 则，. 因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，，当时，. 故的值域为. （3）由题意得：当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立. 令，. 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以当时，. 所以，解得： 故当时，不等式恒成立， 的取值范围为. 题型四：对数函数的值域问题 1．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据第一段函数的单调性求出函数值的取值范围，再根据第二段函数的单调性结合函数的值域进而确定m的取值范围． 【详解】当时，函数为增函数，此时 因为，当时， 当时，关于对称，且在单调递增，在单调递减， 当时， 当时， 由得，则或， 由得，则（舍）或， 因为的值域为，所以m的取值范围是 故答案为： 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)设函数的定义域为I，若存在区间，满足:对任意，都存在(其中表示A在I上的补集)使得，则称区间A为的“Γ区间”.已知，若为函数的“Γ区间”，求a的最大值. 【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【分析】（1）作出函数的图象，分， ，利用数形结合法求解. (2)根据对任意，都存在使得，分，，分别求得在和上的值域，利用集合法求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示：    当时，的最大值为， 当时，的最大值为. (2) 当时，在上的值域为，在上的值域为， 因为满足:对任意，都存在使得， 所以，成立； 此时为函数的“Γ区间”， 当时，在上的值域为，在上的值域为， 当时， ，所以， ， 即存在，对任意使得， 所以不为函数的“Γ区间”， 所以a的最大值是1. 【点睛】方法点睛：双变量存在与恒成立问题： 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 的值域是的子集； 3．（2024·上海宝山·模拟预测）已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，. 【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得； （2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）因为，， 令， ∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为. （2）由得， 令，∵，∴， ∴对一切的恒成立， ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时， 于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，； ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时， 题型五：对数函数的单调性应用 1．（23-24高一上·上海黄浦·期末）若且，则实数m、n满足的关系式为（    ） A．0<m<n<1 B．0<n<m<1 C．0<m<1<n D．1<m<n 【答案】C 【解析】由得，由得或，结合可得答案. 【详解】由得， 由得，即，， ，因为，所以，， 所以，得或， 即或，而， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了由对数运算的性质比较大小，关键点是由得或，考查了对数的基本运算，属于基础题. 2．（23-24高三下·上海奉贤·阶段练习），则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式可得函数为偶函数，可得，再判断在上的单调性，根据单调性去掉即可求解. 【详解】， 当时，， 当或时， 所以是上的偶函数， 由可得 当时，，开口向下的抛物线，在单调递减， 此时， 当时，在单调递减， 此时， 所以在单调递减， 所以，即，可得，所以， 不等式的解集为， 故答案为：. 3．（23-24高三上·上海奉贤·期中）已知 （1）若函数在的最大值为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由函数在上是增函数且，故根据题意得函数的最大值为，再根据函数单调性即可得，解得. （2）根据题意得，进而分或两种情况求解即可得答案. 【详解】解：（1）因为函数在上是增函数， 所以， 因为函数在的最大值为， 所以函数的最大值为， 由于函数是增函数， 所以，解得：. （2）当时，， 所以或，解得或. 故若，求不等式的解集为 【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于注意到函数在上是增函数且，进而将问题转化为函数的最大值为求解，第二问的解题核心是分类讨论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$