第四章 幂函数、指数函数与对数函数（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第四章 幂函数、指数函数与对数函数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、幂函数的概念 定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的图象与性质 （1）三个幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；； （2）性质 ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 3、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 4、指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 5、对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 6、对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 03 题型归纳 题型一 根据函数是幂函数求参数 例题1．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 例题2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数 . 2．（23-24高二下·上海宝山·期末）幂函数的图象与轴没有交点，则 . 题型二 求与幂函数有关的值域问题　 例题1．（23-24高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有 个. 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）写出函数与的定义域和值域. 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设幂函数的图像过点，则的值域是 题型三 幂函数的图象及应用　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 例题2．（2024高一上·上海·专题练习）数在第一象限的图象如图所示，若，则 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式：． 题型四 判断与幂函数相关的复合函数单调性　 例题1．（23-24高一上·天津·期末）函数的单调减区间为 ． 例题2．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海闵行·开学考试）设，若是偶函数，则的单调递减区间是 . 2．（23-24高三上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 ． 题型五 幂函数的奇偶性　 例题1．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 巩固训练 1．（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 题型六 幂函数单调性的应用　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 例题2．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知且，解关于x的不等式：； （2）若，试求实数m的取值范围． 2．（24-25高一上·上海·假期作业）已知，求实数的取值范围. 题型七 根据函数是指数函数求参数　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数是指数函数，则 2．（2024·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 题型八 判断指数函数图象　 例题1．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）函数的大致图像是（    ） A．B．C． D． 例题2．（23-24高三上·上海长宁·阶段练习）函数的图象为 A．B．C． D． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   题型九 根据指数型函数图象判断参数范围　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 例题2．（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24高一上·上海静安·期末）若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 题型十 指数型复合函数值域问题 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的值域为 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3). 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）函数的定义域和值域分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数， (1)若，求的值域； (2)问为何值，该函数具有奇偶性，并证明其奇偶性． 题型十一 判断指数型复合函数的单调性 例题1．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的严格增区间为 . 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ． 题型十二 由指数函数的单调性解不等式 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式的解集为 . 例题2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则函数的值域为 ． 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数x的取值范围. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式：（且）． 题型十三 根据函数是对数函数求参数　 例题1．（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 例题2．（23-24高一上·上海·阶段练习）若对数函数在上严格单调递减，则 . 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 题型十四 对数函数图象　 例题1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海普陀·期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 题型十五 对数型复合函数值域问题 例题1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是 . 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）求函数的定义域和值域． 题型十六 判断对数型复合函数的单调性 例题1．（2024高一上·上海·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 例题2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 巩固训练 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格增区间为 . 2．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）若函数在区间上为严格减函数，则的取值范围是 . 题型十七 对数函数最值与不等式的综合问题 例题1．（23-24高一·上海·假期作业）设函数，，若当时，都有意义，则的取值范围是 ． 例题2．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，函数，其中，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为 ． 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）（1）若不等式在内恒成立，求实数的取值范围； （2）已知函数且．当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围． 2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数. （1）当时，求的定义域； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 题型十八 由对数函数的单调性解不等式 例题1．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数的取值范围． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 幂函数、指数函数与对数函数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、幂函数的概念 定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的图象与性质 （1）三个幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；； （2）性质 ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 3、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 4、指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 5、对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 6、对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 03 题型归纳 题型一 根据函数是幂函数求参数 例题1．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义及性质直接列式计算并判断作答. 【详解】因为函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数， 所以，解得， 故选：A 例题2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示： 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值. 【详解】由已知函数为幂函数， 得，解得或， 当时，，定义域为，函数图像不经过原点， 当时，，定义域为，且，函数图像经过原点， 综上所述：， 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海宝山·期末）幂函数的图象与轴没有交点，则 . 【答案】0 【分析】根据幂函数的定义求出，在验证，求解即可 【详解】根据幂函数的定义得， 解得或； 当时，，图象与轴有交点，不满足题意； 当时，，图象与轴没有交点，满足题意； 综上，， 故答案为： 题型二 求与幂函数有关的值域问题　 例题1．（23-24高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有 个. 【答案】3 【分析】根据幂函数的函数性质，写出各个幂函数的定义域和值域，即可求解. 【详解】①的定义域为，值域为. ②的定义域为，值域为. ③的定义域为，值域为. ④的定义域为，值域为. ⑤的定义域为，值域为. ⑥的定义域为，值域为. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤ 故答案为：3 【点睛】本题考查幂函数的函数性质，属于基础题. 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）写出函数与的定义域和值域. 【答案】见解析 【分析】由奇偶性以及幂函数的性质得出定义域以及值域. 【详解】令，定义域为，因为，所以函数为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，故值域为. 令，定义域为，因为，所以函数为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，故值域为. 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 2．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设幂函数的图像过点，则的值域是 【答案】 【解析】由图像过点，可得，进而可得值域. 【详解】幂函数的图像过点，所以，解得， 所以，因为， 所以的值域是. 故答案为：. 题型三 幂函数的图象及应用　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 【答案】 （答案不唯一） 4 【分析】作出五个函数图象，根据图象即可得解. 【详解】作出五个函数图象，如图： 由图可知： 图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点； 图像与、、的图像有1个、1个，1个交点； 图像与、的图像有2个、2个交点； 图像与的图像有3个交点. 综上可得，函数与的图象若有1个交点， 则，，，，； 满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个： ，，，． 故答案为：（答案不唯一）；4. 例题2．（2024高一上·上海·专题练习）数在第一象限的图象如图所示，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据幂函数的图象与性质，结合题意，即可求解. 【详解】由幂函数的图象可得，函数在单调递增，且增长趋势越来越缓慢， 又由，则只有满足条件． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式：． 【答案】 【分析】由已知可得，根据幂函数的图象即可求解. 【详解】因为，所以， 画出，的图象如图， 由图知解集为. 题型四 判断与幂函数相关的复合函数单调性　 例题1．（23-24高一上·天津·期末）函数的单调减区间为 ． 【答案】/ 【分析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解. 【详解】解：函数的定义域为， 令，，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·上海闵行·开学考试）设，若是偶函数，则的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】由函数是偶函数, 可得, 从而得出的解析式, 再根据幂函数的性质可得答案. 【详解】由于函数是偶函数, 所以， 即，又， 所以,得, 所以, 根据幂函数的性质可知:在是单调递增，所以函数在是单调递增，由于是偶函数, 所以 函数在上单调递减.. 故答案为: . 【点睛】本题考查幂函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 2．（23-24高三上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 ． 【详解】由，解得，令，则外函数为为减函数，求函数的单调递增区间，即求的减区间，函数在上为减函数，则原函数的增区间为，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查二次函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）. 题型五 幂函数的奇偶性　 例题1．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】时，不满足单调性，或时，不满足奇偶性，当或时，满足要求，得到答案. 【详解】当时，在上单调递减，不合要求， 当时，，故为偶函数，不合要求， 当时，的定义域为，不是奇函数，不合要求， 当时，，为奇函数， 且在上单调递增，满足要求， 当时，，故为奇函数， 且在上单调递增，满足要求. 故选：B 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可． 【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 【答案】y轴成轴对称 【分析】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 设为函数图像上任意一点，易知其关于y轴的对称点也在的图象上， 所以其图像关于y轴成轴对称． 故答案为：y轴成轴对称 题型六 幂函数单调性的应用　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合幂函数、指数函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及单调性，求出参数，再借助单调性解不等式即得. 【详解】幂函数在上单调递减，则，解得， 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知且，解关于x的不等式：； （2）若，试求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【分析】（1）就幂的底数分两种情况，根据指数函数的单调性即可求得； （2）利用幂函数的单调性将其化简，即可求得参数范围. 【详解】（1）当时，因是增函数，由可得，，解得； 当时，因是减函数，由可得，，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）因函数在上是严格增函数， 故由可得，，解得， 即实数m的取值范围为． 2．（24-25高一上·上海·假期作业）已知，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性与定义域求解即可. 【详解】由题意即， 故，即，解得. 题型七 根据函数是指数函数求参数　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 【答案】 4 【分析】对于（1），运用指数函数限制条件列不等式求解； 对于（2），待定系数法求出解析式后将代入求解. 【详解】（1）已知指数函数，则，且， 解得或，且， 实数的取值范围是. （2）代入指数函数，得，解得（负值舍去）， 所以解析式，当时，. 故答案为：；4． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数是指数函数，则 【答案】3 【分析】根据指数函数的定义得到方程和不等式，求出答案. 【详解】由指数函数定义知，解得． 故答案为：3 2．（2024·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，且. 又时，， 即 ， 所以有，即， 解得或. 故答案为：或. 题型八 判断指数函数图象　 例题1．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）函数的大致图像是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数在上的单调性即可得出答案. 【详解】解：由函数， 得，所以函数为偶函数，故排除AB， 当时，， 所以函数在上是减函数，故排除D. 故选：C. 例题2．（23-24高三上·上海长宁·阶段练习）函数的图象为 A．B．C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移-b（0＜-b＜1）个单位得到的，即可得到的图象特征．∵0＜a＜1，的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过（0，1），的图象可看成把 y=ax的图象在y 轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴的图象得到的，的图象可看成把的图象向右平移-b（0＜-b＜1）个单位得到的，故选C． 考点：指数函数图像性质 巩固训练 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可． 【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数； 又，所以在区间和区间上单调递减， 且当时，，故A和B均错误； 对于C，当时，函数在R上为单调递增函数， 又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确． 故选：D． 2．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】∵， ∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且， 当时，函数为上的单调递减函数，且， 故选：B 题型九 根据指数型函数图象判断参数范围　 例题1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 例题2．（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解. 【详解】若，为增函数， 且，与图象不符， 若，为减函数， 且，与图象相符，所以， 当时，， 结合图象可知，此时，所，则，所以， 故选:C. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 2．（23-24高一上·上海静安·期末）若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】关于x的方程有负根可转化为指数函数与在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a的取值范围． 【详解】关于x的方程有负根等价于指数函数与在第二象限有交点， 则当时，与在第二象限有交点， 所以实数a的取值范围． 故答案为：． 题型十 指数型复合函数值域问题 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，画出函数图像，根据图像得到值域. 【详解】当时，，则， 故，画出函数图像，如图所示： 根据图像知，函数值域为. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的值域. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3). 【分析】利用二次型函数和钩型函数的性质，结合指数函数的性质求值域即可. 【详解】（1）由知函数的定义域为 所以， 所以，即函数的值域是. （2）函数的定义域为.而， 所以当时，，当且仅当时等号成立； 当时，， 当且仅当时等号成立. 综上，函数的值域为. （3），函数的定义域为，令，则， 所以，即. 故函数的值域为. 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）函数的定义域和值域分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，结合指数函数性质可得定义域与值域． 【详解】，解得，即，定义域为， 因为，所以，，即值域为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查指数型复合函数的定义域与值域，解题关键是掌握指数函数的单调性，特别是指数函数（且）的值域是，这里也容易出错． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数， (1)若，求的值域； (2)问为何值，该函数具有奇偶性，并证明其奇偶性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据指数函数的性质，结合不等式性质求出函数的值域； （2）讨论，结合奇函数和偶函数的定义求的值. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为指数函数在上的值域为，故， 所以，因为，所以， 故，所以函数的值域为； （2）当时，此时函数，，，， 所以函数为偶函数， 当时，， 则． 令可得，解得，与矛盾， 即不可能是偶函数． 令，可得，解得． 故时，是奇函数，当且时，为非奇非偶函数． 所以当时，是奇函数，当时，函数为偶函数， 当且时，为非奇非偶函数． 题型十一 判断指数型复合函数的单调性 例题1．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性进行求解. 【详解】因为在R上单调递减， 由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间， 其中单调递减区间为， 故的单调递增区间是. 故选：D 例题2．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的严格增区间为 . 【答案】 【分析】将复合函数分成与两层函数，利用内外层函数单调性同增异减的原则求解. 【详解】令，则函数为，为减函数，所以要求函数的严格增区间，只需求的减区间， 又， 所以的减区间为， 所以函数的严格增区间为， 故答案为： 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】本题等价于在上单调递增，对称轴， 所以，得．即实数的取值范围是． 点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题就等价于在上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案． 题型十二 由指数函数的单调性解不等式 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，根据其单调性解不等式即可. 【详解】函数，单调递增， 解之： 故答案为： 例题2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先根据单调性解指数不等式，再根据函数的单调性，求函数的值域. 【详解】化为， ，解得： 为单调减函数，，则值域为. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数x的取值范围. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为指数函数在上单调递增， 又，所以， 整理得，解得或， 可得实数的范围为. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式：（且）． 【答案】答案见解析. 【分析】分和两种情况根据指数函数的单调性化简求解即可. 【详解】解：当时，，得，； 当时，，得，或． 综上，当时，解集为， 当时，解集为． 题型十三 根据函数是对数函数求参数　 例题1．（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 例题2．（23-24高一上·上海·阶段练习）若对数函数在上严格单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据对数函数的概念与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为函数为对数函数，则， 解得或， 又因为对数函数在上严格单调递减， 则，故. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【分析】由题意可得，且，且，从而可求出的值. 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 题型十四 对数函数图象　 例题1．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （2）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （3）应用对数函数图像将轴下方的图像翻折到轴上方； （4）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； 【详解】（1）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（1）． （2）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（2）． （3）作出，将轴下方的图像翻折到轴上方，可得的图像，如图（3）． （4）作出的图像，再作出关于轴对称的图像，即得到另外一半图像，可得的图像，如图（4）． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海普陀·期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别讨论和时函数与在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解. 【详解】由对数和指数函数的性质可得且， 当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C， 当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD， 故选：B. 2．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据对数函数的图象，通过平移和翻折变化画出图象即可. 【详解】（1）的图象可由的图象向左平移个单位得到， （2）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （3）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （4）的图象由组成，其中的图象可由的图象根据轴对称得到， 题型十五 对数型复合函数值域问题 例题1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求出函数，的值域，然后由集合的包含关系得参数范围． 【详解】时，，， 时，，， 于任意的都能找到，使得，则， 所以，解得． 故答案为：． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可. 【详解】令，， 则由与复合而成， 首先令，解得， 则定义域为， 而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减， 由对数函数性质得在上单调递减， 由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·课后作业）求函数的定义域和值域． 【答案】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质知，即可求定义域和值域． 【详解】由题设，，则，故函数定义域为， 令，故， ∴函数的定义域、值域分别为、. 题型十六 判断对数型复合函数的单调性 例题1．（2024高一上·上海·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数单调性求解单调递减区间即可． 【详解】函数的定义域满足，解得或， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增， 由复合函数单调性可得：函数的单调递减区间为． 故答案为：． 例题2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复合函数单调性以及对数函数的定义域即可得解. 【详解】因为函数关于单调递增，函数在上是严格减函数， 所以关于在上是严格减函数，且， 所以当且仅当，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格增区间为 . 【答案】（或） 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数在其定义域上为增函数， 所以，函数函数的严格增区间为. 故答案为：（或）. 2．（23-24高三上·上海松江·阶段练习）若函数在区间上为严格减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复合函数单调性列出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围. 【详解】由复合函数单调性可得， 函数在区间上为严格减函数，且， 则，解之得. 故答案为： 题型十七 对数函数最值与不等式的综合问题 例题1．（23-24高一·上海·假期作业）设函数，，若当时，都有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】，则原题等价于在上恒成立，分离，计算的最大值可求出的范围. 【详解】解：， 则原题等价于在上恒成立， 变形为，对任意成立， 即， 令，，则有，在上单调递减； 所以. 故答案为：． 【点睛】本题考查与二次函数相关的复合函数问题以及恒成立问题的解法，属于中档题. 方法点睛：（1）恒成立有解问题，首选变量分离； （2）求最值时要检验端点值是否成立. 例题2．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，函数，其中，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由函数单调性可得在区间上的最大值，最小值，则可得对任意恒成立，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】因为在区间内单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 则， 得，整理得对任意恒成立． 令，则的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上是增函数，等价于， 即，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为对任意恒成立，根据二次函数性质求解. 巩固训练 1．（2024高一·上海·专题练习）（1）若不等式在内恒成立，求实数的取值范围； （2）已知函数且．当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意得，进而数形结合求解即可； （2）设，进而的最小值为，再结合且即可得答案. 【详解】（1）由，得， 在同一坐标系中作和的图象，如图所示． 要使在内恒成立， 只要在内的图象在图象的上方，于是. ∵时，， ∴只要时，， ∴，即. 又， ∴ 即实数m的取值范围是. （2）∵且，设， 则单调递减， 当时，的最小值为. ∵当时，恒有意义， 即时，恒成立． ∴，∴ 又且，∴或， ∴实数a的取值范围为. 2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知函数. （1）当时，求的定义域； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）；（2） 【分析】（1）把代入解析式并化简，从而可得，从而求出定义域． （2）由得，从而可得， 令从而化为最值问题． 【详解】（1）当时，，则，故或， 所以函数的定义域为或． （2），， 由得，即，令， 则，当时，恒成立， 故实数的取值范围为 【点睛】本题考查了函数的定义域的求法以及恒成立问题，注意“分离参数法”求参数的取值范围． 题型十八 由对数函数的单调性解不等式 例题1．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式可得，求解即可. 【详解】由， 可得， 又在上单调递增， 所以，解不等式组可得， 所以不等式的解集为. 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性，把含对数的不等式转化为多项式不等式求解，过程中注意函数的定义域即可. 【详解】因为，所以对数函数在上单调递减； 又， 所以 . 故实数的取值范围为： 2．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性求解． 【详解】∵在上是严格增函数， ∴解得，解集为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$