第3章 图形的初步认识（13类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第3章 图形的初步认识（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 几何体的特征与分类 1、常见几何体的特征 常见几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球体 由一个曲面围成． 2、几何体的分类 分类标准 按柱、锥、球分类 柱体 圆柱、棱柱 锥体 圆锥、棱锥 球体 球体 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球体 按是否有顶点 是 棱柱、棱锥、圆锥 否 圆柱、球体 注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，都要做到不重、不漏. 知识点02 点、线、面、体之间的关系 （点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体） 知识点03 由立体图形到视图 1、三视图的概念 （1）视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2、三视图之间的关系 （1）位置关系 三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 注意： 物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 3、画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 知识点04 由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 注意： 由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 知识点05 立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 知识点06 直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． 知识点07 线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 知识点08 射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 知识点09 直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 知识点10 角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． 知识点11 角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 知识点12 余角、补角 1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° 2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ( 03 题型归纳 ) 题型一　几何体的特征与分类 例题：（23-24七年级·全国·假期作业）如图中柱体的个数是(　　 )    A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）对于几种图形：①三角形；②长方形；③圆；④圆锥；⑤圆柱，其中属于立体图形的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．④⑤ D．③④ 2．（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）下列几何体中，不同类的是（    ） A． B． C． D． 题型二　由立体图形到视图 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请你在方格中画出该几何体的三种视图． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．圆柱的主视图和俯视图相同 B．圆柱的主视图与侧视图相同 C．圆柱的侧视图和俯视图相同 D．圆柱的三个视图都相同 2．（21-22七年级上·湖北武汉·期末）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型三　由视图到立体图形 例题：（22-23九年级上·河北唐山·期末）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示， (1)写出这个几何体的名称：______； (2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留） 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图所示是分别从它的正面、上面看到的形状图，则搭成该几何体至少需要小立方块的个数是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图是某个立体图形的三视图，则该立体图形的名称为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 3．（22-23七年级上·山东青岛·期末）小江同学发现一个用大小相同的小立方块搭成的几何体，无论从正面，左面还是上面看到的这个几何体的形状均如图所示，则搭成该几何体的小立方块有______个． 题型四　立体图形的表面展开图 例题：（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求的值． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下面是正方体的展开图，和“建”相对的面上的字是（    ） A．会 B．谐 C．社 D．和 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·宁夏中卫·期末）下列各图形经过折叠不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 题型五　平面图形 例题：（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是边形． 巩固训练 1．（2023七年级上·全国·专题练习）在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，有（　　）个平面图形． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（20-21七年级上·湖北宜昌·期末）在下列所给的几何图形中，属于平面图形的是（    ）． A．三棱柱 B．圆 C．圆锥 D．长方体 3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）正方体表面的平面图形是__________（填名称） 题型六　点和线 例题：（23-24七年级上·吉林延边·期末）已知A，B，C，D四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 巩固训练 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 2．（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了___________． 3．（23-24七年级上·广西百色·期末）由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有______种． 题型七　线段的有关计算 例题：（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为_________． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若，求的值． 题型八　与线段有关的动点问题 例题：（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为．  A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（21-22七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 3．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 题型九　钟面角 例题：（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C． D． 2． （23-24七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为______度． 3．（22-23七年级上·广东·单元测试）同一天中，从到，分针转了几度？时针转了几度？ 题型十　方位角 例题：（22-23七年级上·吉林·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线，在的内部，且． (1)求出射线的方向； (2)直接写出的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则_______． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点表示学校，下面是三个同学对话： 甲同学：“我家（点表示）在学校的西北方向上．” 乙同学：“我家（点表示）在学校的北偏东方向上．” 丙同学：“我家（点表示）在学校的南偏西方向上．”    (1)根据上面三个同学的对话，在图中画出射线，，； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 题型十一　度分秒换算与角度计算 例题：（21-22七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)45°10′﹣21°35′20′′； (2)48°39′+67°31′﹣21°17′； (3)42°16′+18°23′×2． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（18-19七年级上·贵州·期末）把下列角化成用度表示的角. （1）15°24'36"； （2）36°59'96". 3．（22-23七年级上·四川凉山·期末）把下列角度化成度、分、秒的形式： (1)． (2) 题型十二　角平分线的概念有关运算 例题：（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知，过点引射线，若，且平分．求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知，是的角平分线，是的平分线，且，求的度数． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． (1)如果射线平分，，如图②，则 ； (2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知平分，平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，列式表示的大小． 题型十三　余角和补角概念及及性质 例题：（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东潮州·期末）如图，平分，平分．若，． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 2．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知，与互为余角，求的补角的度数． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． ( 23 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 图形的初步认识（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 几何体的特征与分类 1、常见几何体的特征 常见几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球体 由一个曲面围成． 2、几何体的分类 分类标准 按柱、锥、球分类 柱体 圆柱、棱柱 锥体 圆锥、棱锥 球体 球体 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球体 按是否有顶点 是 棱柱、棱锥、圆锥 否 圆柱、球体 注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，都要做到不重、不漏. 知识点02 点、线、面、体之间的关系 （点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体） 知识点03 由立体图形到视图 1、三视图的概念 （1）视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2、三视图之间的关系 （1）位置关系 三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 注意： 物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 3、画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 知识点04 由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 注意： 由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 知识点05 立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 知识点06 直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． 知识点07 线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 知识点08 射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 知识点09 直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 知识点10 角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． 知识点11 角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 知识点12 余角、补角 1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° 2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ( 03 题型归纳 ) 题型一　几何体的特征与分类 例题：（23-24七年级·全国·假期作业）如图中柱体的个数是(　　 )    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据柱体的定义：一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，进行判断即可． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中的柱体有①③④⑤⑥，共5个． ②为圆锥，⑦为球体， 故选：C． 【点评】本题考查柱体的识别．熟练掌握柱体的定义是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）对于几种图形：①三角形；②长方形；③圆；④圆锥；⑤圆柱，其中属于立体图形的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．④⑤ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可． 【详解】解：根据立体图形的定义可知，圆柱和圆锥是立体图形，三角形，长方形和圆不是立体图形， 故选：C． 2．（22-23七年级上·湖北随州·期末）下列几何体中，含有曲面的有（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用曲面和平面的定义区分即可． 【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形，六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选B． 【点评】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）下列几何体中，不同类的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的分类，掌握几何体分为柱体、锥体、球体是解题的关键． 根据几何体的分类，求解即可． 【详解】 解：A、是六棱柱，C、 是圆柱，D、是三棱柱，B、是球体， ∴A、C、D是柱体，属一类，B是球体不是一类， 故选：B． 题型二　由立体图形到视图 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）用7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请你在方格中画出该几何体的三种视图． 【答案】见解析 【分析】此题考查了从不同方向看几何体．几何体从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1；从右面看有3列，每行小正方形数目分别为2，1，1． 【详解】解：如图所示： 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．圆柱的主视图和俯视图相同 B．圆柱的主视图与侧视图相同 C．圆柱的侧视图和俯视图相同 D．圆柱的三个视图都相同 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握圆柱的三视图是解答本题的关键．根据圆柱的三视图解答即可． 【详解】解：正立的圆柱的主视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆． 所以圆柱的主视图与侧视图相同． 故选：B． 2．（21-22七年级上·湖北武汉·期末）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】 解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为， 故选：B． 3．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从几何体的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形主视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个． 故选：B． 题型三　由视图到立体图形 例题：（22-23九年级上·河北唐山·期末）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示， (1)写出这个几何体的名称：______； (2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；(2)圆柱的侧面积为，圆柱的体积为 【分析】本题考查从不同方向看几何体，圆柱的侧面积和体积． （1）根据从不同方向看几何体的图形，判断即可； （2）根据圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积侧面积底面积代数求解即可． 【详解】（1）解：依题意，根据三视图，这个几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：依题意，底面半径为，高为3， ∴圆柱的侧面积； ∴圆柱的表面积． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图所示是分别从它的正面、上面看到的形状图，则搭成该几何体至少需要小立方块的个数是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，应分别根据从前面、上面和左侧面的形状，综合起来考虑整体形状．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：根据俯视图可得，第一层有6个小立方体； 根据从正面看到的图可知：共有2层，第二层最少有2个小立方体， ∴搭成该几何体至少需要小立方块的个数是（个）， 故选：B． 2．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图是某个立体图形的三视图，则该立体图形的名称为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】B 【分析】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．由主视图和左视图确定是柱体、锥体、球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥． 故选：B 3．（22-23七年级上·山东青岛·期末）小江同学发现一个用大小相同的小立方块搭成的几何体，无论从正面，左面还是上面看到的这个几何体的形状均如图所示，则搭成该几何体的小立方块有______个． 【答案】4 【分析】本题考查简单组合体的三视图，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层上面一层是1个小正方体，下面有2个小正方体，从左视图上看，后面一层是2个小正方体，前面有1个小正方体，所以此几何体共有4个正方体． 故答案为：4． 题型四　立体图形的表面展开图 例题：（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，利用正方体及其表面展开图的特点，列出方程解答即可，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下面是正方体的展开图，和“建”相对的面上的字是（    ） A．会 B．谐 C．社 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知， “建”的对面是“谐”， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：观察图形可知，A选项中的圆和纸巾是邻面，且纸巾的上面是圆． 故选B． 3．（22-23七年级上·宁夏中卫·期末）下列各图形经过折叠不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方体的展开图，熟记正方体的11种展开图，即可得出结果． 【详解】解：A，B，C的图形经过折叠后可以围成一个正方体，D的图形不能围成一个正方体， 故选D． 题型五　平面图形 例题：（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是边形． 【答案】三、四、五 【分析】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 故答案为：三、四、五． 巩固训练 1．（2023七年级上·全国·专题练习）在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，有（　　）个平面图形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查平面图形的定义：构成图形的所有点都在同一平面内，这个图形叫做平面图形．找到组成图形的各点都在一个平面的图形即可． 【详解】解：平面图形有长方形，三角形，直线，圆共4个， 故选：B． 2．（20-21七年级上·湖北宜昌·期末）在下列所给的几何图形中，属于平面图形的是（    ）． A．三棱柱 B．圆 C．圆锥 D．长方体 【答案】B 【分析】根据几何图形的分类结合所给几何图形进行分析判断即可． 【详解】解：三棱柱、圆锥和长方体都属于立体图形，圆属于平面图形． 故选：B． 【点评】本题考查了几何图形的分类，熟悉常见几何图形中的平面图形和立体图形是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）正方体表面的平面图形是__________（填名称） 【答案】正方形 【分析】本题主要考查了平面图形形状的识别，根据正方体的特征即可得到答案． 【详解】解：正方体表面的平面图形是正方形 故答案是：正方形 题型六　点和线 例题：（23-24七年级上·吉林延边·期末）已知A，B，C，D四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键，属于基础题． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （2）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （3）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （4）根据直线，射线，线段的特征可作图求解． 【详解】（1）解：根据题意画出图如图所示； （2）解：根据题意画出图如图所示； （3）解：根据题意画出图如图所示； （4）解：根据题意画出图如图所示． 巩固训练 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 【答案】C 【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：C． 2．（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了___________． 【答案】面动成体 【分析】本题主要考查了面动成体．根据面动成体解答即可． 【详解】解：转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了面动成体， 故答案为：面动成体． 3．（23-24七年级上·广西百色·期末）由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有______种． 题型七　线段的有关计算 例题：（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 根据线段中点的定义可得、，再结合可得，进而得到，即，据此求解即可． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】解：在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为_________． 【答案】58 【分析】本题主要考查线段的和差计算，根据题意，分别求出以、、、，这5个点为端点线段数，再根据线段的和差计算即可求解． 【详解】解：以为端点的线段有：，，，， 以为端点的线段有：，，， 以为端点的线段有：，， 以为端点的线段有：， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)的值为． 【分析】（）由，，得，，则，再根据线段中点和线段和差即可求解； （）由∵，得，再根据线段中点，从而得出，然后求解即可； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 即线段的长为； （2）∵， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． 题型八　与线段有关的动点问题 例题：（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为．  A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段5条，所以出现报警次数最多5次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、， ∴发出警报的点P最多有5个． 故选：C． 2．（21-22七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5；(2)t为2或时，点C为线段PQ的中点；(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点评】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 3．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【答案】(1)；；；；(2)2；(3)或 【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①当点在上时，； ②当点在上时，； ③当点在上时，； ④当点在上时，； （2）解：由题意得，， 解得 （3）解：∵ ∴当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得（不合题意）； 综上：或时． 【点评】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况． 题型九　钟面角 例题：（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，掌握时针每分钟走过是解题关键．根据时钟上一大格是，一小格是，时针一分钟转，逐项进行计算即可解答． 【详解】解：A. 12：15时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； B. 3：45时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； C. 3：30时钟的时针与分针的夹角为，该选项符合题意； D. 9：30时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次方程的应用,解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动，而时针转动，即分针每分钟转动，时针每分钟转动． 【详解】解：设从点开始，经过，时针和分针第一次重合， 由题意得： 解得：， 则至少再经过时针和分针第一次重合． 故选:B． 2． （23-24七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为______度． 【答案】90 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，先求出时钟上相邻数字之间的度数，再根据时，时针指向数字3，分钟指向数字12进行求解即可． 【详解】解：， ∴此时时针与分针的夹角为90度， 故答案为：90． 3．（22-23七年级上·广东·单元测试）同一天中，从到，分针转了几度？时针转了几度？ 【答案】分针转了210度，时针转了17.5度 【分析】根据分针每分钟转，时针每分钟转，即可求解． 【详解】解：同一天中，从到，所经过的时间为35分钟， ，， 分针转了210度，时针转了17.5度． 【点评】本题考查钟面角，解题的关键是掌握“时钟上分针每分钟转，时针每分钟转”． 题型十　方位角 例题：（22-23七年级上·吉林·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线，在的内部，且． (1)求出射线的方向； (2)直接写出的度数． 【答案】(1)射线的方向是北偏东；(2) 【分析】本题考查的是与方位角相关的计算题，角的和差运算，理解方位角的含义是解本题的关键； （1）先求解，再结合角的和差运算可得答案； （2）由对顶角的性质，结合角的和差运算，再计算即可． 【详解】（1）解：的方向是北偏西，的方向是北偏东， ， ， ， 射线的方向是北偏东． （2）如图， ∵，， ∴； 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角的相关计算，解题的关键是正确理解方向角的定义．由已知条件可得出∠AOE=64°，进而得出，再根据，利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵∠AOE=64°， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 2．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了方向角，用减去两个方向角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向， ∴ 故答案为： 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点表示学校，下面是三个同学对话： 甲同学：“我家（点表示）在学校的西北方向上．” 乙同学：“我家（点表示）在学校的北偏东方向上．” 丙同学：“我家（点表示）在学校的南偏西方向上．”    (1)根据上面三个同学的对话，在图中画出射线，，； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解方向角的定义． （1）根据方向角的定义画出图形； （2）证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，射线，，即为所求；   ； （2）解：结论：． 理由：由题意，，，， ，， ， ． 题型十一　度分秒换算与角度计算 例题：（21-22七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)45°10′﹣21°35′20′′； (2)48°39′+67°31′﹣21°17′； (3)42°16′+18°23′×2． 【答案】(1)23°34′40′′；(2)94°53′；(3)79°2′ 【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答； （2）根据度分秒之间的进率即可解答； （3）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′． （2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′ =116°10′-21°17′ =94°53′． （3）解：42°16′+18°23′×2 =42°16′+36°46′ =79°2′． 【点评】本题考查度分秒的计算，，，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意，． （1）先度分秒分别相加，再根据满进的原则求出即可； （2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（18-19七年级上·贵州·期末）把下列角化成用度表示的角. （1）15°24'36"； （2）36°59'96". 【答案】（1）15.41°；（2）37. 0l°. 【分析】根据度分秒之间60进制的关系计算. 【详解】解：（1）15°24′36″＝15°24′＋（）′＝15°24.6′＝15°＋（ ）°＝15.41°； （2）36°59'96"=36°60. 6'=37. 0l°. 【点评】由度化分应乘以60，由分化度应除以60，注意度、分、秒都是60进制的. 3．（22-23七年级上·四川凉山·期末）把下列角度化成度、分、秒的形式： (1)． (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ． 题型十二　角平分线的概念有关运算 例题：（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知，过点引射线，若，且平分．求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】本题考查角平分线的定义、角的计算等知识点．分射线在的内部、射线在的外部两种情况，画出图形求解． 【详解】解：如图①，射线在的内部． 设、的度数分别为、，则， ，， 又平分， 所以， ． 如图②，射线在的外部． 设、的度数分别为、，则， ， 又平分， ， ． 故的度数为或． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知，是的角平分线，是的平分线，且，求的度数． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质设，再用表示出、、和，根据，得出关于的方程，解得，则可求得答案．本题考查几何图形的角的计算，熟练运用角平分线的定义及正确表示出相关角，是解题的关键． 【详解】解：是的角平分线 设 是的平分线，且， ， ， 解得： 的度数为． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． (1)如果射线平分，，如图②，则 ； (2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了角的运算，利用角的和差得出是解题关键． （1）根据角平分线的性质，数形结合可得答案； （2）根据角平分线的性质，角的和差，数形结合可得答案； （3）根据角的和差，可得，根据角平分线的性质，可得，根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：平分， ， ，， ； （3）解：平分，， ， 由，得， ，， 平分， ， 由角的和差可得． 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知平分，平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，列式表示的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义， （1）利用角的和表示出的度数，利用角平分线的定义分别求得和，利用角的差即可求得结论； （2）利用角平分线的定义分别表示出和的度数，再利用角的差即可求得结论； 结合图形，正确利用角的和差表示出角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是直角即，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴的大小为． 题型十三　余角和补角概念及及性质 例题：（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解：与互余， ， ， 平分， ， ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·广东潮州·期末）如图，平分，平分．若，． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1)；(2)互补，理由见详解． 【分析】本题考查了角平分线的定义，互补，解题的关键是求出的度数． （1）利用角平分线的定义得出，再根据，代入计算即可； （2）先利用角平分线的定义求出的度数，再根据，即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分．， ∴， ； （2）与互补． 理由：平分，平分， ， ， ， 与互补． 2．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知，与互为余角，求的补角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了与余角、补角有关的计算，互余的两个角和为，互补的两个角和为，据此即可求解． 【详解】解∶∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的度数为． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，；(3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． ( 29 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$