第四章 指数与对数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第四章 指数与对数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第四章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 2．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 3．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用重要不等式能得出，故可以判断A；由，可得，整体代换即可判断B；先通过变形得出的取值范围，进而可以得出判断，即可判断C；由基本不等式可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，故，故选项A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故选项B错误； 对于C，因为，即，故， 所以，故选项C错误； 对于D，因为，当且仅当时取等号， 即，故选项D正确. 故选：D. 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B 5．若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 6．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 7．化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B 8．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当，即时取等号， 故选：C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】运用根式性质，指数幂性质和对数性质化简计算即可. 【详解】，故A错误. 指数幂性质，知道，B正确； 对数运算性质，知道，C错误； 换底公式逆用，知道,D正确. 故选：BD. 11.若a＞0,且a≠1,x＞y＞0,n∈N＋,给出下列等式,其中恒成立的为(　　) A.(logax)n＝logaxn B.logax＝-loga C.＝loga D.loga＝-loga 解析:BCD　对于A,取x＝4,a＝2,n＝3,则(log24)3＝8≠log243＝6,∴A不恒成立; 对于B,-loga＝-logax-1＝loga(x-1)-1＝logax; 对于C,loga＝loga＝logax; 对于D,loga＝loga＝-loga. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.使对数loga(-2a＋1)有意义的a的取值范围为　　　　.  解析:使对数loga(-2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜. 答案: 13.已知a＞0,b＞0,ab＝8,则当a的值为　　　　时,log2a·log2(2b)取得最大值.  解析:因为a＞0,b＞0,ab＝8,所以a＝, 所以log2a·log2(2b)＝log2·log2(2b)＝(3-log2b)(1＋log2b)＝-(log2b)2＋2log2b＋3＝-(log2b-1)2＋4, 故当b＝2时,log2a·log2(2b)有最大值4,此时a＝＝4. 答案:4 14．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 【答案】1000 【分析】首先根据题意得到，再作差即可得到答案. 【详解】由题知：. 故答案为：1000 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 16．(本小题满分15分)已知函数，且. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，结合，可得； （2）由（1）可得在上单调递增，结合，可解不等式. 【详解】（1）因为，所以， 则. 又，所以， 所以， 从而. （2）由（1）可知， 显然在上单调递增. 因为，所以由，可得， 则，解得或， 故不等式的解集为. 17．(本小题满分15分)化简下列各式: (1)＋; (2)＋(x≥1). 解:(1)＋＝｜-3｜＋｜-2｜＝3-＋-2＝1. (2)当1≤x＜3时,＋＝｜1-x｜＋｜3-x｜＝x-1＋3-x＝2; 当x≥3时,＋＝｜1-x｜＋｜3-x｜＝x-1＋x-3＝2x-4. 综上,＋＝ 18．(本小题满分17分)已知集合A＝{x,xy,lg(xy)},集合B＝{0,｜x｜,y},若A＝B,求log8(x2＋y2)的值. 解:根据集合中元素的互异性,x≠0且y≠0,则xy≠0, 又因为A＝B,所以lg(xy)＝0,即xy＝1. ① 所以xy＝y ② 或xy＝｜x｜, ③ ①②联立得x＝y＝1,与集合元素的互异性矛盾,舍去; ①③联立得x＝y＝1(舍去),或x＝y＝-1,符合题意. 此时log8(x2＋y2)＝log82＝. 19．(本小题满分17分)已知x,y,z为正数,3x＝4y＝6z,且2x＝py. (1)求p的值; (2)求证:-＝. 解:(1)设3x＝4y＝6z＝k(k＞1),则x＝log3k,y＝log4k,z＝log6k.由2x＝py,得2log3k＝plog4k＝p·. ∵log3k≠0,∴p＝2log34. (2)证明:-＝-＝logk6-logk3＝logk2, 又∵＝logk4＝logk2,∴-＝. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数与对数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第四章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 3．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 6．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 7．化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 8．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11.若a＞0,且a≠1,x＞y＞0,n∈N＋,给出下列等式,其中恒成立的为(　　) A.(logax)n＝logaxn B.logax＝-loga C.＝loga D.loga＝-loga 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.使对数loga(-2a＋1)有意义的a的取值范围为　　　　.  13.已知a＞0,b＞0,ab＝8,则当a的值为　　　　时,log2a·log2(2b)取得最大值.  14．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 16．(本小题满分15分)已知函数，且. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 17．(本小题满分15分)化简下列各式: (1)＋; (2)＋(x≥1). 18．(本小题满分17分)已知集合A＝{x,xy,lg(xy)},集合B＝{0,｜x｜,y},若A＝B,求log8(x2＋y2)的值. 19．(本小题满分17分)已知x,y,z为正数,3x＝4y＝6z,且2x＝py. (1)求p的值; (2)求证:-＝. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$