第四章 指数与对数 知识归纳与题型突破（11类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第四章 指数与对数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、n次方根 1.n次方根 定义 一般地,如果xn＝a(n＞1,n∈N*),那么称x为a的　n次方根　 性质 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值,记为　　 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值,且互为相反数,记为　±　 a＜0 x在实数范围内不存在 0的n次方根等于0 要点诠释： 　(1)根据n次方根的定义和性质可知:①任意给定的实数a,都有奇次方根(n为奇数),并且正数的奇次方根是正数,负数的奇次方根是负数,零的奇次方根是零;②任意给定的实数a,当a＜0时,a没有偶次方根,当a＝0时,a的偶次方根是零,当a＞0时,a的偶次方根有两个,分别是和-(n为偶数),其中叫作正数a的n次算术根. (2)求一个数的n次方根的过程叫作数的开方运算,简称开方,它是乘方运算的逆运算. 2.根式 (1)定义:式子　　叫作根式,其中n叫作　根指数　,a叫作　被开方数　; (2)性质:(n＞1,且n∈N*) ①()n＝　a　; ②＝ 要点诠释： 注意与()n的区别:①是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方,再开方(都是n次),结果不一定等于a,当n为奇数时,＝a;当n为偶数时,＝｜a｜＝②()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方,后乘方(都是n次),结果恒等于a. 二、指数幂及其运算性质 1.分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定:＝　　(a＞0,m,n∈N*,n＞1) 负分数指数幂 规定:＝　　＝(a＞0,m,n∈N*,n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂为　0　,0的负分数指数幂　没有意义　 提醒　牢记在由正整数指数幂(乘方)拓展到有理指数幂的过程中的四个规定:①a0＝1(a≠0);②a-n＝(a≠0);③＝(a＞0);④＝ (a＞0).它们可作为公式与有理指数幂的运算性质在一起进行运算. 2.指数幂的运算性质 (1)asat＝　as＋t　(a＞0,s,t∈Q); (2)(as)t＝　ast　(a＞0,s,t∈Q); (3)(ab)t＝　atbt　(a＞0,b＞0,t∈Q). 3.无理数指数幂 一般地,当a＞0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 要点诠释：实数指数幂中底数的取值范围及指数概念 幂指数 定义 底数的取值范围 正整数 指数 an＝(n∈N*) a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数 指数 a-n＝(n∈N*) a≠0且a∈R 幂指数 定义 底数的取值范围 正分数指数 ＝(m,n∈N*, 且m,n互质) n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数指数 ＝(m,n∈N*, 且m,n互质) n为奇数 a≠0且a∈R n为偶数 a＞0 无理数指数 当a＞0且x是无理数时,ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 指数 当a＞0且n∈R时,an称为实数指数幂,简称指数 a＞0且a≠1 三、对数的概念 1.对数的概念 一般地,如果ab＝N(a＞0,a≠1),那么就称b是　以a为底N的对数　,记作　logaN＝b　,其中,a叫作　对数的底数　,N叫作　真数　. 2.常用对数与自然对数 3.对数的基本性质 (1)负数和0没有对数; (2)loga1＝　0　(a＞0,且a≠1); (3)logaa＝　1　(a＞0,且a≠1); (4)logaab＝　b　(a＞0,且a≠1,b∈R); (5)＝　N　(a＞0,且a≠1,N＞0). 要点诠释：对数与指数的关系:指数式与对数式的互化(其中a＞0,且a≠1): ①开方运算是乘方运算的逆运算;对数运算是指数运算的逆运算;②弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键;③对于a,b,N,已知a(a＞0且a≠1),b求N的过程是指数运算,此时N＝ab;已知a(a＞0且a≠1),N(N＞0)求b的过程是对数运算,此时b＝logaN;已知b,N求a的过程是解方程,当a＞0且a≠1时,a＝. 四、对数的运算性质 　若a＞0,且a≠1,M＞0,N＞0,n∈R那么: (1)loga(MN)＝　logaM＋logaN　; (2)loga＝　logaM-logaN　; (3)logaMn＝　nlogaM　. 要点诠释：对数运算中的常见公式及推广: ①loga＝logaM(M＞0,n∈N*,n＞1,a＞0,且a≠1); ②loga＝-logaM(M＞0,a＞0,且a≠1); ③loga＝logaM(M＞0,n,p∈N*,p,n＞1,a＞0,且a≠1); ④loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0,且a≠1,M＞0,N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*,N1,N2,…,Nk均大于0,a＞0,且a≠1). 五、换底公式 　logaN＝　　(a＞0,a≠1,N＞0,c＞0,c≠1). 要点诠释：换底公式的推论:lobn＝logab,logab＝. 03 题型归纳 题型一　根式的概念 例题：　(1)16的平方根为　　　　,-27的5次方根为　　　　;  (2)已知x7＝6,则x＝　　　　.  【点睛】判断关于n次方根的结论应关注三点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数; (2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号; (3)n为偶数时,是a的n次方根,但a的n次方根是±. 巩固训练 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.16的4次方根是2 B.的运算结果是±2 C.当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义 D.当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义 2.已知m10＝2,则m＝(　　) A.　 　　　B.-　 　　　C.　 　　　D.± 题型二　利用根式的性质化简与求值 例题：化简与求值: (1); (2) (3); (4)＋. 【点睛】根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式恰当地变形,达到化繁为简的目的; (2)化简根式时需注意:在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数. 巩固训练 计算＋4＝　　　　.  题型三　带条件的根式的化简 例题：化简-(-3＜x＜3). 【点睛】带条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简; (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. 巩固训练 若n＜m＜0,则 -＝(　　) A.2m　　B.2n C.-2m　　D.-2n 题型四　根式与分数指数幂的互化 例题：用根式或分数指数幂表示下列各式:,(a＞0),,(a＞0),(a＞0). 【点睛】根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子; (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 巩固训练 1.(多选)下列结论中正确的有(　　) A.(-2＝(-2 B.[(-2)×(-3)＝(-2(-3 C.当a＞0时,(ar)s＝(as)r D.＝( 2.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数): (1);(2)a3·;(3). 题型五　指数幂的运算 例题：计算下列各式: (1)＋2-2×-0.010.5; (2)0.06-＋[(-2)3＋16-0.75. 【点睛】指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算; (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数; (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数; (4)若是根式,应化为分数指数幂,并尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答; (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式力求统一. 巩固训练 求值:(1)-＋(0.2)-2×-(0.081)0; (2)π0-（）-2＋×（）-1. 题型六　条件求值问题 例题：已知＋＝,求下列各式的值: (1)a＋a-1;(2)a2＋a-2. 【点睛】解决条件求值问题的一般方法 　　对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母的取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式适当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0,b＞0): (1)a±2＋b＝(±)2; (2)a-b＝(＋)(-); (3)＋＝(＋)(a-＋b); (4)-＝(-)(a＋＋b). 巩固训练 已知a,b分别为x2-12x＋9＝0的两根,且a＜b,求的值. 题型七　指数式与对数式的互化 例题：将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)3-2＝;　　　　　　(2)＝16; (3)lo27＝-3;　　(4)lo64＝-6. 题型八　对数的计算 例题：求下列各式中的x的值: (1)log64x＝-;　　(2)logx8＝6; (3)lg 100＝x;　　(4)-ln e2＝x. 【点睛】利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数,用指数式求幂; (2)已知指数与幂,用指数式求底数; (3)已知底数与幂,利用对数式表示指数. 巩固训练 求下列各式中的x值: (1)logx27＝;(2)log2x＝-;(3)x＝log27. 题型九　对数的性质 例题：求下列各式中x的值: (1)log2(log5x)＝0;　　(2)log3(lg x)＝1; (3)log3(log4(log5x))＝0. 【点睛】利用对数性质求解的2类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值; (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解. 巩固训练 计算:＋2log31-3log77＋3ln 1＝　　　　.  题型十　对数式的运算 例题：求下列各式的值: (1)log2(47×25); (2)lg; (3)lg 14-2 lg＋lg 7-lg 18; (4)lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 【点睛】对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则:对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行; (2)两种常用的方法:①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(逆用公式) ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).(正用公式) 巩固训练 1.已知ab＞0,有下列四个等式: ①lg(ab)＝lg a＋lg b;②lg＝lg a-lg b;③lg＝lg;④lg(ab)＝,其中正确的是　　　　.  2.log354-log32＋log23·log34. 题型十一　用已知对数式求值 例题：用lg x,lg y,lg z表示下列各式: (1)lg(xyz);(2)lg ;(3)lg . 【点睛】　　用已知对数式求值的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的对数式变形. 巩固训练 　已知a＝log32,用a来表示log38-2log36为(　　) A.a-2　　　　　　　　　　B.5a-2 C.3a-(1＋a)2　　D.3a-a2-1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数与对数 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、n次方根 1.n次方根 定义 一般地,如果xn＝a(n＞1,n∈N*),那么称x为a的　n次方根　 性质 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值,记为　　 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值,且互为相反数,记为　±　 a＜0 x在实数范围内不存在 0的n次方根等于0 要点诠释： 　(1)根据n次方根的定义和性质可知:①任意给定的实数a,都有奇次方根(n为奇数),并且正数的奇次方根是正数,负数的奇次方根是负数,零的奇次方根是零;②任意给定的实数a,当a＜0时,a没有偶次方根,当a＝0时,a的偶次方根是零,当a＞0时,a的偶次方根有两个,分别是和-(n为偶数),其中叫作正数a的n次算术根. (2)求一个数的n次方根的过程叫作数的开方运算,简称开方,它是乘方运算的逆运算. 2.根式 (1)定义:式子　　叫作根式,其中n叫作　根指数　,a叫作　被开方数　; (2)性质:(n＞1,且n∈N*) ①()n＝　a　; ②＝ 要点诠释： 注意与()n的区别:①是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方,再开方(都是n次),结果不一定等于a,当n为奇数时,＝a;当n为偶数时,＝｜a｜＝②()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方,后乘方(都是n次),结果恒等于a. 二、指数幂及其运算性质 1.分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定:＝　　(a＞0,m,n∈N*,n＞1) 负分数指数幂 规定:＝　　＝(a＞0,m,n∈N*,n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂为　0　,0的负分数指数幂　没有意义　 提醒　牢记在由正整数指数幂(乘方)拓展到有理指数幂的过程中的四个规定:①a0＝1(a≠0);②a-n＝(a≠0);③＝(a＞0);④＝ (a＞0).它们可作为公式与有理指数幂的运算性质在一起进行运算. 2.指数幂的运算性质 (1)asat＝　as＋t　(a＞0,s,t∈Q); (2)(as)t＝　ast　(a＞0,s,t∈Q); (3)(ab)t＝　atbt　(a＞0,b＞0,t∈Q). 3.无理数指数幂 一般地,当a＞0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 要点诠释：实数指数幂中底数的取值范围及指数概念 幂指数 定义 底数的取值范围 正整数 指数 an＝(n∈N*) a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数 指数 a-n＝(n∈N*) a≠0且a∈R 幂指数 定义 底数的取值范围 正分数指数 ＝(m,n∈N*, 且m,n互质) n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数指数 ＝(m,n∈N*, 且m,n互质) n为奇数 a≠0且a∈R n为偶数 a＞0 无理数指数 当a＞0且x是无理数时,ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 指数 当a＞0且n∈R时,an称为实数指数幂,简称指数 a＞0且a≠1 三、对数的概念 1.对数的概念 一般地,如果ab＝N(a＞0,a≠1),那么就称b是　以a为底N的对数　,记作　logaN＝b　,其中,a叫作　对数的底数　,N叫作　真数　. 2.常用对数与自然对数 3.对数的基本性质 (1)负数和0没有对数; (2)loga1＝　0　(a＞0,且a≠1); (3)logaa＝　1　(a＞0,且a≠1); (4)logaab＝　b　(a＞0,且a≠1,b∈R); (5)＝　N　(a＞0,且a≠1,N＞0). 要点诠释：对数与指数的关系:指数式与对数式的互化(其中a＞0,且a≠1): ①开方运算是乘方运算的逆运算;对数运算是指数运算的逆运算;②弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键;③对于a,b,N,已知a(a＞0且a≠1),b求N的过程是指数运算,此时N＝ab;已知a(a＞0且a≠1),N(N＞0)求b的过程是对数运算,此时b＝logaN;已知b,N求a的过程是解方程,当a＞0且a≠1时,a＝. 四、对数的运算性质 　若a＞0,且a≠1,M＞0,N＞0,n∈R那么: (1)loga(MN)＝　logaM＋logaN　; (2)loga＝　logaM-logaN　; (3)logaMn＝　nlogaM　. 要点诠释：对数运算中的常见公式及推广: ①loga＝logaM(M＞0,n∈N*,n＞1,a＞0,且a≠1); ②loga＝-logaM(M＞0,a＞0,且a≠1); ③loga＝logaM(M＞0,n,p∈N*,p,n＞1,a＞0,且a≠1); ④loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0,且a≠1,M＞0,N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*,N1,N2,…,Nk均大于0,a＞0,且a≠1). 五、换底公式 　logaN＝　　(a＞0,a≠1,N＞0,c＞0,c≠1). 要点诠释：换底公式的推论:lobn＝logab,logab＝. 03 题型归纳 题型一　根式的概念 例题：　(1)16的平方根为　　　　,-27的5次方根为　　　　;  (2)已知x7＝6,则x＝　　　　.  解析　(1)∵(±4)2＝16, ∴16的平方根为±4.-27的5次方根为. (2)∵x7＝6,∴x＝. 答案　(1)±4　　(2) 【点睛】判断关于n次方根的结论应关注三点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数; (2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号; (3)n为偶数时,是a的n次方根,但a的n次方根是±. 巩固训练 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.16的4次方根是2 B.的运算结果是±2 C.当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义 D.当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义 解析:CD　16的4次方根应是±2;＝2,所以正确的应为C、D. 2.已知m10＝2,则m＝(　　) A.　 　　　B.-　 　　　C.　 　　　D.± 解析:D　∵m10＝2,∴m是2的10次方根.又∵10是偶数,∴2的10次方根有两个,且互为相反数.∴m＝±. 题型二　利用根式的性质化简与求值 例题：化简与求值: (1); (2) (3); (4)＋. 解　(1)＝-5. (2)＝＝＝3. (3)∵a≤,∴1-2a≥0, ∴＝＝＝. (4)原式＝＋y-x＝｜x-y｜＋y-x. 当x≥y时,原式＝x-y＋y-x＝0; 当x＜y时,原式＝y-x＋y-x＝2(y-x). ∴＋＝ 【点睛】根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式恰当地变形,达到化繁为简的目的; (2)化简根式时需注意:在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数. 巩固训练 计算＋4＝　　　　.  解析:原式＝-3＋4×｜(-2)3｜＝-3＋32＝29. 答案:29 题型三　带条件的根式的化简 例题：化简-(-3＜x＜3). 解　原式＝-＝｜x-1｜-｜x＋3｜. ∵-3＜x＜3,∴-4＜x-1＜2,0＜x＋3＜6. 当-4＜x-1＜0,即-3＜x＜1时,｜x-1｜-｜x＋3｜＝1-x-(x＋3)＝-2x-2; 当0≤x-1＜2,即1≤x＜3时,｜x-1｜-｜x＋3｜＝x-1-(x＋3)＝-4. ∴-＝ 【点睛】带条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简; (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. 巩固训练 若n＜m＜0,则 -＝(　　) A.2m　　B.2n C.-2m　　D.-2n 解析:C　原式＝-＝｜m＋n｜-｜m-n｜,∵n＜m＜0,∴m＋n＜0,m-n＞0,∴原式＝-(m＋n)-(m-n)＝-2m. 题型四　根式与分数指数幂的互化 例题：用根式或分数指数幂表示下列各式:,(a＞0),,(a＞0),(a＞0). 解　＝;(a＞0)＝;＝＝a2; (a＞0)＝＝;(a＞0)＝＝＝. 【点睛】根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子; (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 巩固训练 1.(多选)下列结论中正确的有(　　) A.(-2＝(-2 B.[(-2)×(-3)＝(-2(-3 C.当a＞0时,(ar)s＝(as)r D.＝( 解析:CD　对于A选项,(-2＞0,而(-2无意义,错误;对于B选项,左侧＝,右侧无意义,错误.C、D均正确. 2.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数): (1);(2)a3·;(3). 解:(1)＝＝. (2)a3·＝a3·＝＝. (3)＝＝·＝·(-a-2＝-. 题型五　指数幂的运算 例题：计算下列各式: (1)＋2-2×-0.010.5; (2)0.06-＋[(-2)3＋16-0.75. 解　(1)原式＝1＋×-＝1＋-＝. (2)原式＝0.4-1-1＋(-2)-4＋2-3＝-1＋＋＝. 【点睛】指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算; (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数; (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数; (4)若是根式,应化为分数指数幂,并尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答; (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式力求统一. 巩固训练 求值:(1)-＋(0.2)-2×-(0.081)0; (2)π0-（）-2＋×（）-1. 解:(1)原式＝-＋25×-1＝-＋2-1＝-. (2)原式＝1-16＋2＝-13. 题型六　条件求值问题 例题：已知＋＝,求下列各式的值: (1)a＋a-1;(2)a2＋a-2. 解　(1)将＋＝两边平方, 得a＋a-1＋2＝5,即a＋a-1＝3. (2)将a＋a-1＝3两边平方,得a2＋a-2＋2＝9, 即a2＋a-2＝7. 【点睛】解决条件求值问题的一般方法 　　对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母的取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式适当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0,b＞0): (1)a±2＋b＝(±)2; (2)a-b＝(＋)(-); (3)＋＝(＋)(a-＋b); (4)-＝(-)(a＋＋b). 巩固训练 已知a,b分别为x2-12x＋9＝0的两根,且a＜b,求的值. 解:＝＝. ① ∵a＋b＝12,ab＝9, ② ∴(a-b)2＝(a＋b)2-4ab＝122-4×9＝108. ∵a＜b,∴a-b＝-6. ③ 将②③代入①,得＝＝-. 题型七　指数式与对数式的互化 例题：将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)3-2＝;　　　　　　(2)＝16; (3)lo27＝-3;　　(4)lo64＝-6. 解　(1)∵3-2＝,∴log3＝-2. (2)∵＝16,∴lo16＝-2. (3)∵lo27＝-3,∴＝27. (4)∵lo64＝-6,∴()-6＝64. 【点睛】指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式; (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 巩固训练 将下列指数式与对数式互化: (1)log216＝4;(2)logx＝6; (3)43＝64;(4)3-3＝. 解:(1)因为log216＝4,所以24＝16. (2)因为lox＝6,所以()6＝x. (3)因为43＝64,所以log464＝3. (4)因为3-3＝,所以log3＝-3. 题型八　对数的计算 例题：求下列各式中的x的值: (1)log64x＝-;　　(2)logx8＝6; (3)lg 100＝x;　　(4)-ln e2＝x. 解　(1)x＝(64＝(43＝4-2＝. (2)x6＝8,所以x＝(x6＝＝(23＝＝. (3)10x＝100＝102,于是x＝2. (4)由-ln e2＝x,得-x＝ln e2,即e-x＝e2.所以x＝-2. 【点睛】利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数,用指数式求幂; (2)已知指数与幂,用指数式求底数; (3)已知底数与幂,利用对数式表示指数. 巩固训练 求下列各式中的x值: (1)logx27＝;(2)log2x＝-;(3)x＝log27. 解:(1)由logx27＝,可得＝27, ∴x＝2＝＝32＝9. (2)由log2x＝-,可得x＝. ∴x＝＝＝. (3)由x＝log27,可得27x＝, ∴33x＝3-2,∴x＝-. 题型九　对数的性质 例题：求下列各式中x的值: (1)log2(log5x)＝0;　　(2)log3(lg x)＝1; (3)log3(log4(log5x))＝0. 解　(1)∵log2(log5x)＝0, ∴log5x＝20＝1,∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1,∴lg x＝31＝3,∴x＝103＝1 000. (3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1,故log5x＝4,∴x＝54＝625. 【点睛】利用对数性质求解的2类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值; (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解. 巩固训练 计算:＋2log31-3log77＋3ln 1＝　　　　.  解析:原式＝3＋2×0-3×1＋3×0＝0. 答案:0 题型十　对数式的运算 例题：求下列各式的值: (1)log2(47×25); (2)lg; (3)lg 14-2 lg＋lg 7-lg 18; (4)lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解　(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19. (2)lg ＝lg 10＝lg 100＝×2＝. (3)lg 14-2lg＋lg 7-lg 18＝lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)＋lg 7-lg(32×2)＝lg 2＋lg 7-2lg 7＋2lg 3＋lg 7-2lg 3-lg 2＝0. (4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 【点睛】对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则:对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行; (2)两种常用的方法:①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(逆用公式) ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).(正用公式) 巩固训练 1.已知ab＞0,有下列四个等式: ①lg(ab)＝lg a＋lg b;②lg＝lg a-lg b;③lg＝lg;④lg(ab)＝,其中正确的是　　　　.  解析:①②式成立的前提条件是a＞0,b＞0;④式成立的前提条件是ab≠1.只有③式成立. 答案:③ 2.log354-log32＋log23·log34. 解:原式＝log3＋log24＝5. 题型十一　用已知对数式求值 例题：用lg x,lg y,lg z表示下列各式: (1)lg(xyz);(2)lg ;(3)lg . 解　(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z. (2)lg ＝lg(xy2)-lg z＝lg x＋2lg y-lg z. (3)lg ＝lg(xy3)-lg ＝lg x＋3lg y-lg z. 【点睛】　　用已知对数式求值的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的对数式变形. 巩固训练 　已知a＝log32,用a来表示log38-2log36为(　　) A.a-2　　　　　　　　　　B.5a-2 C.3a-(1＋a)2　　D.3a-a2-1 解析:A　log38-2log36＝3log32-2(log32＋log33)＝3a-2(a＋1)＝a-2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$