专题04 圆（5大经典基础题+3大优先提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题04 圆 垂径定理 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）体育课上，在练习掷铅球项目时，某女同学掷出的铅球在平整的沙地上砸出一个小坑，截面如图所示，于点D，交于点C，，小坑深为，求该铅球的直径． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，，求弦的长． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）福州是一座蕴存着绚丽风光，并拥有深厚人文底蕴的城市．她散落分布着很多历史悠久的古村落．现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆抰形木门（示意图），已知木门半径，测得门槛，门的高于点，且过点，求的长．    圆心角、圆周角定理 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的直径，C，D，E是上的三个点，相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，点A、B、C是上的三点，若，则的度数（    ） A．100° B．50° C．40° D．25° 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，是直径，弦与相交于点E，．求的度数．    4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，点C，D是上的点，，分别与，相交于点E，F． (1)求证：点D为的中点； (2)若，，求的直径． 5.（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，以为直径的经过的顶点，， 分别平分和， 的延长线交于点D，连接．判断 的形状，并证明你的结论． 6．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，过A，B，D三点的圆交边于点E．若，，求证：． 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，是北京故宫博物院内的太和殿上方的八角浑金蟠龙藻井，它展示出精美的装饰空间和造型艺术从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为正方井，中层为正八角井，内层为圆井，图2是图1抽象出的平面图形，若最外层正方井的边长是2，则内层圆井的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，点为半径为的正六边形的中心，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连结，则的长是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，正五边形内接于，点F在弧上，，则的大小为 ． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，点，，，，，分别是正六边形各边的中点，则六边形与六边形的周长比为 ．    弧长和扇形面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥侧面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕原点逆时针方向旋转到的位置，则在旋转过程中，线段扫过的部分的面积为(    ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为 ． 4．（23-24九年级上·福建南平·期中）一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为 ．（结果保留） 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）底面半径为6的圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的母线为 ． 切线的证明 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，延长与过点的直线相交于点，已知．求证：与相切． 7．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，为的直径，平分，交弦于点G，连接半径交于点E，过点C的一条直线交的延长线于点F，．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长； 3．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长. 求不规则图形的面积 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 与圆有关的最值问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．13 B．14 C．12 D．28 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（　　）    A． B． C．3 D． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知如图，中直径，，点是射线上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 圆综合 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，四边形是⊙O的内接四边形，且对角线经过⊙O的圆心O，过点A作，与的延长线交于点E，且平分．    (1)求证：； (2)若⊙O的半径为5，，求的长． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接AD，过点B作直线交AC于E，交于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD． （1）求证：； （2）若，试探究与之间的数量关系，并证明． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求证：． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的外接圆，连接交于点D．    (1)求证：； (2)若，，，求的半径； (3)若，，的面积为6，求的长 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆 垂径定理 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)的直径是 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）体育课上，在练习掷铅球项目时，某女同学掷出的铅球在平整的沙地上砸出一个小坑，截面如图所示，于点D，交于点C，，小坑深为，求该铅球的直径． 【答案】该铅球的直径为 【分析】本题考查垂径定理：“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题； 连接．设，利用勾股定理求出r即可； 【详解】解：连接． 设半径为，则． ∵，， ∴，． 在中，由勾股定理，得． ∴ 解得， ∴该铅球的直径为． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，，求弦的长． 【答案】8 【分析】连接，根据垂径定理得到，根据，求出、的长，根据，求出的长，利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）福州是一座蕴存着绚丽风光，并拥有深厚人文底蕴的城市．她散落分布着很多历史悠久的古村落．现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆抰形木门（示意图），已知木门半径，测得门槛，门的高于点，且过点，求的长．    【答案】的长是． 【分析】本题考查了垂径定理的应用．利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：依题意得：， ，， ， 在中，，根据勾股定理得： ， ， 答：门的高度的长是． 圆心角、圆周角定理 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的直径，C，D，E是上的三个点，相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理的知识，根据直径所对的圆周角为直角求解即可．解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角． 【详解】解：∵是的直径， ∴，故A正确； ∵和不一定相等 ∴和不一定相等，故B错误； ∵ ∴，故C错误； ∵和不一定相等 ∴和不一定相等，故D错误． 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，点A、B、C是上的三点，若，则的度数（    ） A．100° B．50° C．40° D．25° 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵点A、B、C是上的三点，， ∴； 故选D． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，是直径，弦与相交于点E，．求的度数．    【答案】 【分析】由题意连接，根据圆周角定理进行分析计算即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理．注意掌握辅助线的作法以及注意掌握数形结合思想的应用． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，点C，D是上的点，，分别与，相交于点E，F． (1)求证：点D为的中点； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)的直径为10 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）是的直径， ， ， ， ， ， 即是的中点． （2）， ， 在中，， ， ， 则， 的直径是10． 5.（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，以为直径的经过的顶点，， 分别平分和， 的延长线交于点D，连接．判断 的形状，并证明你的结论． 【答案】为等腰直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是根据角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为即可解答． 【详解】证明：为等腰直角三角形，证明如下： 平分，平分， ，． ，， ． ． 为直径， ． 是等腰直角三角形． 6．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等； （1）根据圆内接四边形的性质得，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，即可求解； （2）连接，根据的圆周角所对的弦是直径得出为的直径，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可求解； 掌握相关的性质，能由找出连接的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ∴， ∵ ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ∴， 是的直径， ， ， ， 点C为的中点， ， 在中， ， 的半径为． 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，过A，B，D三点的圆交边于点E．若，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 连接，，先证明，即可根据等腰三角形的三线合一可得是边上的中线，即，进而可得，结合三角形内角和定理问题随之得解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵， ∴为直径， ∴，即， 又∵， ∴为等腰三角形，为底边， ∴是边上的中线， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，是北京故宫博物院内的太和殿上方的八角浑金蟠龙藻井，它展示出精美的装饰空间和造型艺术从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为正方井，中层为正八角井，内层为圆井，图2是图1抽象出的平面图形，若最外层正方井的边长是2，则内层圆井的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的面积的计算，根据正方形的性质得到，，根据题意得到，求得，于是得到圆的半径为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由题意得，如图2，四边形是正方形，    ∴，， ∴， ∴， ∴圆的直径为， ∴圆的半径为， ∴上层圆的面积是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，点为半径为的正六边形的中心，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连结，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的中心和半径，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，根据正多边形的中心和半径的定义可知，根据作图可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据勾股定理即可得出答案．掌握正多边形的中心和半径的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵点为半径为的正六边形的中心， ∴， ∵分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧的相交于点， ∴， ∵，即点是的中点， ∴， ∴， ∴的长是． 故选：D．    3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，正五边形内接于，点F在弧上，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出与的度数是解题的关键． 连接，根据正五边形的性质得出的度数，从而得出的度数即的度数，再根据正五边形内接于，得出的度数即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，点，，，，，分别是正六边形各边的中点，则六边形与六边形的周长比为 ．    【答案】 【分析】设正六边形的中心为，周长是，连接，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：设正六边形的中心为，连接，，    设正六边形的周长是， ， ， 顺次连接正六边形各边的中点、、、、、得到的六边形为正六边形， ， 六边形的周长是， 与六边形的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 弧长和扇形面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥侧面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积计算公式：即可求解，圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥侧面积， 故选：． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕原点逆时针方向旋转到的位置，则在旋转过程中，线段扫过的部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，勾股定理，扇形的面积公式，根据点坐标可以求出的长，再由题意可知，绕原点逆时针方向旋转到扫过面积为圆的面积，由扇形面积公式即可求得． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∵将绕原点逆时针方向旋转到， ∴线段扫过的部分的面积为圆， 即． 故选B． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：的圆心角所对的弧长为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建南平·期中）一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，根据弧长公式是，代入数值进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得： 此扇形的弧长为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）底面半径为6的圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的母线为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的展开图等知识．熟练掌握圆锥的母线为圆锥展开图扇形的半径，圆锥的底面周长为圆锥展开图扇形的弧长是解题的关键． 根据圆锥的母线为圆锥展开图扇形的半径，圆锥的底面周长为圆锥展开图扇形的弧长，设圆锥的母线长为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：18． 切线的证明 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，延长与过点的直线相交于点，已知．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】连接，根据已知条件得出，根据圆周角定理得出，则，进而即可得证． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 7．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，为的直径，平分，交弦于点G，连接半径交于点E，过点C的一条直线交的延长线于点F，．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长； 【答案】(1)证明见解析； (2)3 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得，即可证得结论； （2）利用勾股定理求得半径，进而求得，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】（1）证明：平分， ， C是的中点， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线； （2）解：设， ， ， ， 在中， 解得：， ， 又， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，三角形中位线定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质及全等三角形的判定及性质：熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． （1）过点O作，垂足为M，根据矩形的性质及角平分线的性质即可求证结论； （2）设，利用矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得，，再利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为M，如图： 在矩形中，， ， 平分，， ，即是的半径， 是的切线． （2）设， 在矩形中，，， ，，， 由切线长定理， ，， ， 在中，， 得， 解得：， ． 求不规则图形的面积 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，推出是等边三角形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案． 【详解】在中，， ∴， ， ， 连接，则， ∵外圆弧与斜边相切， ∴∠BEO＝90°， 在中，， ，， 根据勾股定理得，， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意， ，根据公式计算即可． （2）连接，根据题意， ，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图，∵正方形，旋转到的位置， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图所示，连接，    根据题意， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，求不规则图形的面积． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）连接，    ∵是直径， ∴，   ∵，，         ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，   在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 与圆有关的最值问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．13 B．14 C．12 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点， 则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、交于点，连接、．根据，可得、、、四点共圆，进而根据得出线段的最大值． 【详解】如图，连接、交于点，连接、． ， 、、、四点共圆， 正方形的边长为， ， 为的中点，是的中点， ， ， 当点在线段上时，， 即线段的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，得出、、、四点共圆是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（　　）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据抛物线的性质可得，从而得到，进而得到当长最大时，长最大，且当过圆心C时，长最大，再求出的长，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵抛物线关于y轴对称， ∴，    ∵Q是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当长最大时，长最大， 且当过圆心C时，长最大， 当时，， ∴B的坐标是， ∴， ∵C的坐标是， ∴， ∴， ∵的半径是2， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，圆的基本性质，三角形中位线定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值， ∵是直径， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， 又∵，且点为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知如图，中直径，，点是射线上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作交于，交于，连接、、，令交于，由可得，由圆周角定理可得，由等边三角形的判定及性质可得是的垂直平分线，从而得到，由含角直角三角形的性质可得，从而得到，当时，此时最小为，最后根据等边三角形的性质及勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，连接、、，令交于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在中，，， ， ， 当时，此时最小为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 圆综合 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，四边形是⊙O的内接四边形，且对角线经过⊙O的圆心O，过点A作，与的延长线交于点E，且平分．    (1)求证：； (2)若⊙O的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再根据角平分线的定义得到，然后利用等角的余角相等得到结论； （2）过O点作于H点，连接，如图，根据垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，接着证明四边形OAEH为矩形得到，，所以，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 平分， ， ， 即； （2）解：过O点作于H点，连接，如图，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，．    故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补及圆周角定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接AD，过点B作直线交AC于E，交于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD． （1）求证：； （2）若，试探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为2∠GOD+∠ADC=240°，证明见解析 【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论； （2）作OM⊥DC于点M，连接OC．先证明∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°，再根据AG与GE的关系推出DG=OD，然后可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）与之间的数量关系为：． 理由如下： 作于点M，连接OC、DF、CF， ， ， 为CD中点， ， ， 于G， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， ，，， ，，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30°的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°以及证明DG=OD是解答的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，三角形全等及等腰三角形的判定与性质知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质． （1）连接，由为的直径，根据圆周角定理得为的直径得，再由，则，所以为等腰直角三角形，所以，根据切线的性质得，于是可得到； （2）利用角的关系得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为的直径， ， 的平分线交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为的切线， ， ； （2）证明：于点，， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ， 在和中， ， ∴， ∵ ∴． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的外接圆，连接交于点D．    (1)求证：； (2)若，，，求的半径； (3)若，，的面积为6，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长交于点E，连接，根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得即和，利用等量代换即可解答； （2）过点O作，垂足为F，连接，先利用垂径定理可得，从而可得，然后设，则，再在和中，利用勾股定理可得，，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； （3）过点D作，垂足为P，过点O作，垂足为Q，根据垂直定义可得，再利用垂径定理可得，然后利用同角的余角相等可得，可证明，最后利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形的面积进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：延长交于点E，连接，    是的直径， ， ， ， ． （2）解：过点O作，垂足为F，连接，    ，， ， ， 设， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， 的半径为． （3）解：过点D作，垂足为P，过点O作，垂足为Q，    ， ， ，， ， 即 在和中， ， ， 的面积为6， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$