专题02 二次函数（5大经典基础题+3大优先提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题02 二次函数 二次函数的图像与性质 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图．抛物线经过点，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点的坐标是 ． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是 ． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式为 ． 6．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … 求m的值； (3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 根据二次函数判断式子符号 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）二次函数的图象如图所示．那么以下四个结论：①，②，③，④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图为二次函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）二次函数，若，自变量x的取值范围是，以下四个结论正确的有（）个 ①； ②； ③； ④和在该二次函数的图象上，则当实数时，． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，⑥．其中正确结论的序号为 ． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤（m≠1的实数），其中结论正确的有 ． 待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，二次函数的图象经过、、．求二次函数的表达式，并画出二次函数的图象．    2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式，并画出该二次函数的图象； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线交x轴于两点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点记为，求出的面积． 根据二次函数图像解不等式 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是(　　) A．－1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＜－1或x＞2 2．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则下列命题为假命题的是（    ）． A．， B．方程的实数根为， C． D．不等式的解集为 5．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、，当时，x的取值范围是 ．    6．（20-21九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图是抛物线的一部分，由图象可知，不等式＞0的解集是 ． 二次函数实际应用 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．下列说法错误的是（    ） A．S与x的关系式为 B．当时， C．当时， D．不论a为何值，S的最大值均为1250 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若观光船在水面宽不小于时才能顺利通过，则当水面下降后，观光船能否顺利通过？    4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为元，经市场预测，每周可售出个，包邮单价每增加元销售将减少个，店主要承付元的快递费用，设该店主包邮单价定为（元）（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该店主想每周获得利润元，能否实现，并说明理由． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图1，排球场长为，宽为，网高为．队员站在底线点处发球，球从点的正上方的点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为．即．这时水平距离，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系；如图2．    (1)若球向正前方运动（即轴垂直于底线），求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出取值范围）； (2)在（1）的条件下，判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由； (3)在（2）的条件下，球过网后的落点是对方场地①号位内的点（如图1，点距底线，边线），问发球点与的距离是多少？（参考数据：取） 二次函数中的动点问题 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形的面积最大时． ①求证：四边形是平行四边形： ②连接，在抛物线上是否存在，使，若存在求点的坐标；若不存在说明理由． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 二次函数与几何图形 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）矩形中，把点D沿对折，使点D落在上的F点，已知，． (1)求点的坐标； (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； (3)直线与（2）中的抛物线交于两点，点的坐标为．求证： 为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，，，则M，N两点之间的距离为）． 2．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下：当的面积取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线（，，为常数，）．抛物线顶点为，与轴分别交于点A，（点A在点左边），为等腰直角三角形． (1)当，，抛物线经过点和，求抛物线的解析式； (2)求的值； (3)若经过点的直线与抛物线只有一个公共点，抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，求证：点是线段的中点． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F． ①求C点坐标； ②求证：四边形是矩形； ③连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 利用二次函数求最值 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为 ． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）设 ，且，则的最小值是 ． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，已知抛物线与直线交于点、两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 二次函数的图像与性质 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图．抛物线经过点，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及函数性质，是基础题型，熟记二次函数的各种性质是解题的关键． 由条件抛物线经过点，对称轴为直线，可求出抛物线和x轴的另一个交点，结合函数的图象即可求出当时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴时，x的取值范围是或， 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C选项错误，D选项正确． 故选：D． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是先把二次函数配方成顶点式，然后利用“左加右减，上加下减”平移规律得到解析式． 【详解】解：抛物线，． 将其向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，新抛物线的解析式是：． 故答案是：． 6．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … 求m的值； (3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）通过配方法求解； （2）将代入解析式求解； （3）根据（2）的表格描点、连线作图． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， ∴； （3）解：描点、连线，作图如下： 根据二次函数判断式子符号 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）二次函数的图象如图所示．那么以下四个结论：①，②，③，④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的开口向下可得，与轴的交点位于正半轴可得，根据对称轴为直线可得，由此可判断①和③正确；根据当时，可判断②错误；根据当时，可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于正半轴， ， ∵对称轴为直线， ， ，，结论①和③正确； ∵当时，， ，结论②错误； ∵当时，， ， 又， ，结论④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图为二次函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】根据开口方向判断A选项，根据对称轴判断B选项，根据时的函数值判断C选项，根据图示可直接判断D选项． 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向上， ，故A选项错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， ，故B选项错误； 由图可知，当时，， ， ，故C选项正确； 由图可知，当时，或，故D选项错误； 故选C． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）二次函数，若，自变量x的取值范围是，以下四个结论正确的有（）个 ①； ②； ③； ④和在该二次函数的图象上，则当实数时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，理解是“若，自变量x的取值范围是”解题的关键． 根据若，自变量x的取值范围是判断出的正负，即可判断①②③；根据点到对称轴的距离即可判断④． 【详解】解：由题可知，若，自变量x的取值范围是， 故当时，，即，故①正确； 由题可知，抛物线开口向下，所以， 又因为抛物线的对称轴为，所以，故②正确； 由题可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以，故③正确； 故当时，随的增大而减小， 因为，所以，且和在该二次函数的图象上，故，故④正确， 故选：D． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，⑥．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由二次函数的图象可得：，，，对称轴，则再结合图象判断各结论． 【详解】解：①由图象可得：，，， ，故正确； ②时，， ，故正确； ③时，， ，故正确； ④对称轴为直线，当时，， 时，， ；故错误 ⑤∵， ∴， ∴，故错误； ⑥抛物线对称轴为直线， ∴ ∴， 又， ∵， ∴ 即，又∵ ∴，故⑥正确 故答案为：①②③⑥． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤（m≠1的实数），其中结论正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：根据图象的特点可知， ∵a<0，b>0，c>0 ∴abc<0 ∴①错误，不符合题意 当 时， 由题可知，当时， ∴ ∴ ∴②正确，符合题意 当 时， 由题可知，当时， ∴ ∴③正确，符合题意 ∵a<0，c>0 ∴3a<c, ∴④错误，不符合题意 当 时， 当 时， ∵由题可知当x=1时，y最大， ∴ ∴ ∴⑤正确，符合题意 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，掌握开口方向、对称轴、与y轴交点坐标位置、特殊值与系数关系是解题关键．总结：a，b看轴，a，b，c看特殊值，a，c或b，c对称轴加特殊值． 待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，二次函数的图象经过、、．求二次函数的表达式，并画出二次函数的图象．    【答案】，图形见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象性质：运用待定系数法解出二次函数的解析式；运用五点法画出图象即可；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵函数经过、、 把A，B，C三点代入函数解析式中得： ， 解得， ∴二次函数解析式为：， 因为二次函数的对称轴， 故记与点B关于对称轴对称的点为点D， 则点D的坐标为 记与点A关于对称轴对称的点为点E， 则点E的坐标为 则先把、、，，标出来，再依次连接即可 二次函数的图象如图： 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式，并画出该二次函数的图象； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)，见详解 (2)不在这个二次函数图象上，见详解 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解，当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，也考查了次函数的性质； （1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的性质得到函数图象； （2）通过计算自变量为时的函数值为，则可根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不在这个二次函数图象上． 【详解】（1）二次函数的图象经过点和点， 根据题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为； 函数图象如图所示： （2）当时，，所以点不在这个二次函数图象上． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线交x轴于两点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小． 【答案】(1) (2)当，y随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）把两点代入，运用待定系数法即可解答； （2）先确定抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把两点代入可得： ，解得：， 所以抛物线的函数表达式． （2）解：∵抛物线的函数表达式， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为：， ∴当，y随x的增大而减小． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点记为，求出的面积． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）结合题意，设抛物线解析式为，然后将点代入求解即可； （2）过点作交于，连接，首先计算点坐标，再求得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， ∵图像经过， ∴可有， 解得 ∴抛物线解析式为； （2）如下图，过点作交于，连接， 令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 根据二次函数图像解不等式 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是(　　) A．－1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＜－1或x＞2 【答案】D 【分析】根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），又y＞0时，图象在x轴的上方，由此可以求出x的取值范围． 【详解】依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0）， 当y＞0时，图象在x轴的上方， 此时x＜－1或x＞2， ∴x的取值范围是x＜－1或x＞2， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用. 2．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴以及当y=5时，x的另一个取值；然后根据表格以及二次函数的性质即可求出当时，x的取值范围． 【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 当x=0时，y=5；当x=4时，y=5， ∴当时，x的取值范围为x<0或x>4 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握二次函数图象的对称性根据表格得出函数的对称轴是关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，由A、B两点的横坐标可知在到1之间直线在抛物线上方可得答案，利用两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键． 【详解】解：抛物线与直线交于两点， 当时，， 故选：C． 4．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，则下列命题为假命题的是（    ）． A．， B．方程的实数根为， C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】观察图象，得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，可得，；设抛物线轴的另一个交点为 ，再由抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，可得抛物线与x轴的另一个交点为，可得到方程的实数根为，；根据抛物线的对称轴为直线，可得 ；根据图象可得当或 时，抛物线的图象位于x轴的下方，从而得到不等式的解集为或，即可判断． 【详解】解：A、观察图象，得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，，故A正确，不符合题意； B、设抛物线与x轴的另一个交点为 ， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的实数根为，，故C正确，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ，即 ，故B正确，不符合题意； D、观察图象得：当或时，抛物线的图象位于x轴的下方， ∴不等式的解集为或，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与x轴、y轴的交点，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、，当时，x的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】根据两函数的图象和、的坐标得出即可． 【详解】解：因为二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、， 所以当时，x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、二次函数与一次函数的图象和性质等知识点，能根据图象得出正确的信息是解题关键． 6．（20-21九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图是抛物线的一部分，由图象可知，不等式＞0的解集是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线与轴的一个交点（3，0）和对称轴可以确定另一交点坐标为（-1，0），又时，图象在轴上方，由此可以求出x的取值范围． 【详解】∵抛物线与x轴的一个交点（3，0） 而对称轴， ∴抛物线与x轴的另一交点（-1，0）， 当时，图象在轴上方， 此时或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 二次函数实际应用 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．下列说法错误的是（    ） A．S与x的关系式为 B．当时， C．当时， D．不论a为何值，S的最大值均为1250 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，根据“矩形的面积=长×宽”即可得出S与x的关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设，则，故选项A正确，不符合题意； （2）设，则， 根据题意得， 解得， 当时，符合题意； 当时，不符合题意；， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴S有最大值，即当时，S的最大值为1250，故C正确，不符合题意； 当时，则，S随x的增大而增大， 当时，S的最大值为； 当时，S的最大值为1250． 综上所述，当a在0和50之间的时候，矩形菜园面积的最大值为1250平方米，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若观光船在水面宽不小于时才能顺利通过，则当水面下降后，观光船能否顺利通过？    【答案】不能顺利通过 【分析】本题主要考查抛物线的应用．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，    设抛物线的解析式为，由题意知，抛物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水面下降1m时，水面的纵坐标为， 把代入，得， 解得， 此时水面的宽度为， ∵ ， ∴观光船不能顺利通过． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为元，经市场预测，每周可售出个，包邮单价每增加元销售将减少个，店主要承付元的快递费用，设该店主包邮单价定为（元）（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该店主想每周获得利润元，能否实现，并说明理由． 【答案】(1)； (2)能实现，理由见解答过程． 【分析】（）根据利润单个利润数量，求解与的关系式即可； （）令解关于的方程，即可作出结论； 本题考查了二次函数的应用、有理数的混合运算、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出函数关系式是解答的关键． 【详解】（1）由题意得：； 即与之间的函数关系式为：； （2）能实现，理由如下： 由， 则当时，， 解得：， 即包邮单价定为元时，每周获得利润元， ∴能实现． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图1，排球场长为，宽为，网高为．队员站在底线点处发球，球从点的正上方的点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为．即．这时水平距离，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系；如图2．    (1)若球向正前方运动（即轴垂直于底线），求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式（不必写出取值范围）； (2)在（1）的条件下，判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由； (3)在（2）的条件下，球过网后的落点是对方场地①号位内的点（如图1，点距底线，边线），问发球点与的距离是多少？（参考数据：取） 【答案】(1) (2)这次发球过网，但是出界了；理由见解析 (3)发球点与的距离是 【分析】（1）根据题意设出顶点式，然后利用待定系数法求解即可； （2）分别求出和时对应函数的值，再进行判断即可； （3）如图，分别作底线、边线的平行线、交于点M，先根据二次函数关系式求出，再利用勾股定理求出，然后根据点距边线以及排球场宽为进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的表达式为：， 将，代入得：， 解得：， 所以球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为：； （2）这次发球过网，但是出界了； 理由：∵当时，， 当时，， ∴这次发球过网，但是出界了； （3）如图，分别作底线、边线的平行线、交于点M，    由题意得：在中，， 当时，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 又∵点距边线， ∴， 答：发球点与的距离是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键． 二次函数中的动点问题 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合． （1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）如图，连接，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，，交轴于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接，作轴交于点，    设直线的解析式为，将点和点的坐标代入， ∴，解得， ∴， ∴设点的坐标为，的坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积取得最大值，此时， ∴， ∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形的面积最大时． ①求证：四边形是平行四边形： ②连接，在抛物线上是否存在，使，若存在求点的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②存在，或 【分析】（1）运用待定系数法进行作答即可； （2）①当时，，得，通过、，解得直线的解析式为：，那么设，则，所以，当时，得，，即，，故四边形是平行四边形； ②通过待定系数法求的解析式为：，然后进行分类讨论，i）当时，；ii）点与点关于直线的对称，此时点与点重合，则，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，将、代入得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①在抛物线上，当时， 解得：， ∴， 设直线的解析式为 把、代入 得 解得 ∴直线的解析式为： ∵点在线段上， 设，则 ∴ 故 当时，则， 那么四边形的面积最大，此时， ∵轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②由①得：，，， 设直线的解析式为 把、代入 得 解得 ∴直线的解析式为：； i）当时， 所以直线的解析式的值与直线的解析式的值是相等的， 故设直线的解析式为 把代入， 得， 所以直线的解析式为， 依题意得： 则 解得：，（舍去） 所以 ii）∵点与点关于直线的对称， ∴ 此时点与点重合， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了二次函数与几何问题，面积最值，二次函数的图象性质以及待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；涉及平行四边形的判定性质，难度较大，综合性较强，灵活运用分类讨论是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析 【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可； （2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得 ，解得：， ∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4， （2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4， ∴C（0，-4）， 抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为 ∵点D与点C关于直线l对称， ∴D（3，-4）， ∵A（-1，0）， 设直线AD的解析式为y=kx+b； ∴，解得：， ∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1， 设P（m，m2-3m-4）， 作PE∥y轴交直线AD于E， ∴E（m，-m-1）， ∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3， ∴， ∴， ∴当m=1时，的面积最大，最大值为：8 （3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1， ∴直线AD与x轴正方向夹角为45°， ∴抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位， ∵，，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4）， 设平移后的抛物线的解析式为 则，解得：， ∴平移后y1=x2-11x+20， ∴抛物线y1的对称轴为：， ∵P（1，-6）， ∴E（5，-10）， ∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 设G（n，n2-11n+20），F（，y）， ①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ∴或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想． 二次函数与几何图形 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）矩形中，把点D沿对折，使点D落在上的F点，已知，． (1)求点的坐标； (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； (3)直线与（2）中的抛物线交于两点，点的坐标为．求证： 为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，，，则M，N两点之间的距离为）． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．解题时， 要学生掌握数形结合的数学思想方法． （1）根据折叠的性质得到所以在直角中，利用勾股定理来求的长度， 然后由点在轴上易求点的坐标； （2）已知抛物线与轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程即，根据抛物线的切线的定义知，直线 与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于的一元二次方程则该方程的根的判别式； （3）设 假设 根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到： 根据根与系数的关系求得 利用两点间的距离公式推知， 易求 为定值． 【详解】（1）解：由折叠的性质得到：则 又 ∴． （2）解：依题意可设过点的抛物线解析式为 即， 依题意知，抛物线与直线相切， 有两个相等的实数根， 解得 ∴抛物线的解析式为． （3）证明： 设 假设 依题意得 得 ， 即 为定值． 2．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下：当的面积取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）由抛物线经过、两点得二次函数解析式； （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示点、点的坐标及线段的长，再根据二次函数的性质求出线段的最大值及点的坐标； （3）在轴上存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得，，由勾股定理求出，由等腰的腰长为或求出的长即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：当时，由，得，， ； 设直线的解析式为， 则，解得， ； 设，，则， ， 当时，， 面积的最大值 ∵点M在直线上， ∴当时，， ∴． 故面积的最大值，点 （3）解：存在．如图， 由（2）得，当最大时，当的面积取得最大值时，则，， ； ， ． 点、、、在轴上， 当点与原点重合时，则， ； 当时，则， ； 当点与点重合时，则， ∴； 当时，则， ． 综上所述，存在以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点的坐标． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线（，，为常数，）．抛物线顶点为，与轴分别交于点A，（点A在点左边），为等腰直角三角形． (1)当，，抛物线经过点和，求抛物线的解析式； (2)求的值； (3)若经过点的直线与抛物线只有一个公共点，抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，求证：点是线段的中点． 【答案】(1) (2)4 (3)见解析 【分析】（1）为等腰直角三角形，则直角，求出，根据抛物线经过点M、N得出对称轴，从而得出,据此即可解答； （2）抛物线与x轴分别交于点A、B，由根与系数的关系、判别式以及为等腰直角三角形求出点C坐标，根据即可解答； （3）由经过点B的直线l与抛物线只有一个公共点，先设出直线l解析式，再得出关于x的一元二次方程有且只有一个实数根，由得出，由（2）得：，即，再分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：为等腰直角三角形，即， 如图过点C作于点E， ∴， 抛物线经过点和， 则抛物线对称轴为，即, ∴, 当时，即，解得：或， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴， 把点代入得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与x轴分别为交于点A、B （点A在点B左边）， 设，即是关于x的一元二次方程的两个不相等的根， ∴， ∴， ∴， ， ∴|， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）证明：∵直线l与抛物线的对称轴交于点F， 直线l经过点，设直线l：， 则关于x的一元二次方程有且只有一个实数根， 即有且只有一个实数根，，即， 由（2）得：，即， ①当时，，，即, ∴，解得：， ∴直线l：， 当时，， ∴， ∴； ②当时，，，即, ∴，解得：， ∴直线l：， 当时，， ∴， ∴； 综上所述：时，；时，． ∴点C是线段的中点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的解析式的求法、二次函数与一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系以及判别式的应用是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F． ①求C点坐标； ②求证：四边形是矩形； ③连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点C坐标为②见解析③存在，的最小值是2 【分析】（1）把点A的坐标和对称轴代入解析式求解即可； （2）①把点的坐标代入抛物线解析式求解即可；②先求点B的坐标，再证为直角三角形，最后再证四边形是矩形；③利用矩形的对角线相等，求出的最小值即可； 【详解】（1）解：（1）∵的对称轴为直线， ∴ ， 把点代入， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）①解：∵把代入抛物线得：， 解得：， ∵位于第一象限， ∴， ∴， ∴点C坐标为；    ②证明：令y=0，则， 解得： ∴ ， 又∵ ∴；；； ∴， ∴为直角三角形，， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； ③存在； 连接，过C点作，垂足为H，    ∵四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小， ∵， ∴的最小值等于， ∴的最小值是2． 【点睛】本题考查了二次函数与矩形的综合，矩形的判定和性质，勾股定理及逆定理，垂线段的性质，熟练运用这些性质是解题的关键． 利用二次函数求最值 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作交于点，连接，过作于，根据四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：过点作交于点，连接，过作于，如图： 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 将线段绕点顺时针旋转至线段， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ， 当时，最小为， 最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期中）设 ，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，由题意得：，，从而得出，将变形为，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵ ， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，最小为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，已知抛物线与直线交于点、两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． 【答案】(1) (2)，最大为 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）∵抛物线与直线交于点、两点． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解： 如图，过点作轴的平行线，交于， 过点作轴的平行线，交于，设，则，则， ∴ ，由此可得， 当，最大为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$