串讲 04 第三章 指数运算与指数函数（考点串讲）高一数学上学期北师大版必修第一册

北师大版(2019)必修(第一册) 数学 期中考点大串讲 串讲04 第三章 指数运算与指数函数 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.正分数指数幂的定义 b a 正分数指数幂 考点2.负分数指数幂 考点3.无理数指数幂 考点4.指数幂的运算性质 aα＋β aαβ aαbα 考点5.指数函数的概念 　 根据指数幂的定义，当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有_______确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为_______函数． 唯一 指数 考点6.指数函数的图象和性质 　 　(1)对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)： ①当x<0时，0<_____<_____<1； ②当x＝0时，ax＝bx＝1； ③当x>0时，_____>_____>1. ax bx ax bx 考点6.指数函数的图象和性质 对于函数y＝ax和y＝bx(0<a<b<1)： ①当x<0时，_____>_____>1； ②当x＝0时，ax＝bx＝1； ③当x>0时，0<_____<_____<1. (2) 图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 ______ 值域 (0，＋∞) ax bx ax bx R 考点7.指数函数y＝ax和 的关系 y轴 相反 02 典例透析 考点1.分数指数幂定义的直接应用 答案 考点1.分数指数幂定义的直接应用 解析 考点2.简单根式的化简 解 考点3.利用指数幂的运算性质化简与求值 解 解 考点4.条件求值问题 解 考点5.指数函数的概念及应用 解析　因为函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，所以m2－m＋1＝1，解得m＝0或1. 【例题5】函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________． 答案 解析 0或1 考点6.指数函数的图象 解析　解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 【例题6】 (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝ dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 答案 解析 考点6.指数函数的图象 解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴． 根据以上分析可得到b<a<1<d<c. 解析 考点7.与指数函数有关的定义域和值域问题 解 考点7.与指数函数有关的定义域和值域问题 解 考点8.指数函数的单调性的简单应用 解 考点8.指数函数的单调性的简单应用 解 考点9.两个指数函数图象的对称性 证明 考点10.指数函数单调性的应用 解　(1)由指数函数的性质知，2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1， 所以2.3－0.28<0.67－3.1. (2)函数y＝6x与函数y＝7x均为增函数， 又－0.8<0<0.7， 则6－0.8<60＝1＝70<70.7，即6－0.8<70.7. (3)∵1.70.3>1.70＝1，0.83.1<0.80＝1， ∴1.70.3>0.83.1. 【例题10】 比较下列各题中两个值的大小： (1)2.3－0.28，0.67－3.1；(2)6－0.8，70.7；(3)1.70.3，0.83.1. 解 考点11.指数函数性质的综合应用 解 考点11.指数函数性质的综合应用 解 03 考场练兵 答案 解析 答案 解析 3．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 解析：由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C. 答案 解析 4．下列函数中一定是指数函数的是(　　) A．y＝5x＋1 B．y＝x4 C．y＝3－x D．y＝2·3x 答案 解析 答案 解析 6．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(　　) A．a>1，且b<1 B．0<a<1，且b≤1 C．0<a<1，且b>0 D．a>1，且b≤0 解析：由指数函数图象的特征可知，当0<a<1时，函数y＝ax＋b－1的图象必经过第二象限，故排除B，C.又函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋b－1≤0，解得b≤0，故选D. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 13．(多选)若f(x)＝3x＋1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在[－1，1]上单调递增 B．f(2)＝10 C．f(x)的图象过点(0，1) D．f(x)的值域为[1，＋∞) 解析：f(x)＝3x＋1在R上单调递增，故A正确；f(2)＝32＋1＝9＋1＝10，故B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象恒过点(0，2)，故C错误；由3x>0，可得f(x)>1，故D错误． 答案 解析 答案 解析 (－3，1) 解 15．某工厂2023年12月份的产值是这年1月份产值的k倍，求该厂在2023年度产值的月平均增长率． 解 解 解 解 知识点　 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称______为______的eq \f(m,n)次幂，记作_________．这就是_______________． b＝aeq \s\up7(\f(m,n)) 知识点 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a-eq \s\up6(\f(m,n))＝_____＝_____． [注意]　(1)类比负整数指数幂的定义eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－n＝\f(1,an)))，相对照而记忆；可以看出，负分数指数幂也是“化负为正”． (2)定义了负分数指数幂之后，幂的指数就由原来的整数范围拓展到有理数范围． f(m,n))eq \f(1,a) eq \f(1,\r(n,am)) 知识点　 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． [注意]　(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)a－α＝eq \f(1,aα)(a>0，α是正无理数)． (3)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围拓展到实数范围． 知识点　 对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质： (1)同底数幂相乘：aα·aβ＝____________； (2)幂的乘方：(aα)β＝___________； (3)积的乘方：(ab)α＝__________． 　一般地，指数函数y＝ax和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)(a>0，且a≠1)的图象关于______对称，且它们在R上的单调性________． 2eq \s\up7(\f(m,n)) 8 eq \f(27,64) 【例题1】根据条件填空： (1)若a3＝10(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (2)若a4＝35(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (3)若an＝2m(a>0，m，n∈N＋且m，n互素)，则可用分数指数幂把a表示为________； (4)16eq \s\up6(\f(3,4))＝________； (5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9))) eq \s\up12(－\f(3,2))＝________． 10eq \s\up7(\f(1,3)) 3eq \s\up7(\f(5,4)) 解析　(1)a＝10eq \s\up7(\f(1,3)). (2)a＝3eq \s\up7(\f(5,4)). (3)a＝2eq \s\up7(\f(m,n)). (4)解法一：设b＝16eq \s\up7(\f(3,4))，则b4＝163＝4096.∵b>0，∴b＝8，即16eq \s\up7(\f(3,4))＝8. 解法二：16eq \s\up7(\f(3,4))＝eq \r(4,163)＝8. (5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9))) eq \s\up12(－\f(3,2))＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))\s\up12(\f(3,2)))＝eq \f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))\s\up12(3)))＝eq \f(1,\a\vs4\al(\f(64,27)))＝eq \f(27,64).　 (3x－1)【例题2】若代数式＋eq \r(3－x)有意义，化简eq \r(9x2－6x＋1)＋eq \r(2024,（x－3）2024). 解　由代数式eq \r(3x－1)＋eq \r(3－x)有意义，知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0，,3－x≥0，))即eq \f(1,3)≤x≤3. 原式＝eq \r(（3x－1）2)＋eq \r(2024,（x－3）2024)＝|3x－1|＋(3－x)＝3x－1＋3－x＝2＋2x. 解　原式＝[aeq \s\up7(\f(1,3))×eq \s\up7(\f(9,2))×aeq \s\up7(\f(1,3))×(－eq \s\up7(\f(3,2)))]÷[aeq \s\up7(\f(1,2))×(－eq \s\up7(\f(7,3)))×aeq \s\up7(\f(1,2))×eq \s\up7(\f(13,3))]＝aeq \s\up7(\f(9,6))－eq \s\up7(\f(3,6))＋eq \s\up7(\f(7,6))－eq \s\up7(\f(13,6))＝a0＝1. f(1,3))【例题3】(1)计算：(0.064)－－(0.875)0＋(23)－eq \s\up7(\f(4,3))＋16－0.75＋(0.01)eq \s\up6(\f(1,2)). 解　原式＝[(0.4)3] －eq \s\up7(\f(1,3))－1＋2－4＋2－3＋[(0.1)2]eq \s\up7(\f(1,2))＝0.4－1－1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＋0.1＝eq \f(143,80). (2)化简：eq \r(3,a\s\up6(\f(9,2))\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－7)·\r(3,a13))(a>0)． \up6(\f(1,2))【例题4】已知a＋a－eq \s\up7(\f(1,2))＝3(a>0)，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) 3,2))eq \f(a－a－eq \s\up7(\f(3,2)),aeq \s\up7(\f(1,2))－a－eq \s\up7(\f(1,2))) . 解　(1)将aeq \s\up7(\f(1,2))＋a－eq \s\up7(\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7. (2)对(1)中的式子两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47. (3)3,2))eq \f(a－a－eq \s\up7(\f(3,2)),aeq \s\up7(\f(1,2))－a－eq \s\up7(\f(1,2))) ＝1,2))eq \f(（a－a－eq \s\up7(\f(1,2))）·（a＋a－1＋aeq \s\up7(\f(1,2))·a－eq \s\up7(\f(1,2))）,aeq \s\up7(\f(1,2))－a－eq \s\up7(\f(1,2))) ＝a＋a－1＋1＝8. 【例题7】求下列函数的定义域和值域： (1)y＝eq \r(1－3x)；(2)y＝2eq \s\up20(\f(1,x－4))；(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(\r(\a\vs4\al(－|x|)))． 解　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30， 因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0. 故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]． 因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1. 所以eq \r(1－3x)∈[0，1)，即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0，1)． (2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4. 所以函数y＝2eq \s\up7(\f(1,x-4))的定义域为{x|x≠4}． 因为eq \f(1,x－4)≠0，所以2eq \s\up7(\f(1,x-4))≠1，即函数y＝2eq \s\up7(\f(1,x-4))的值域为{y|y>0，且y≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0. 所以函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(\r(\a\vs4\al(－|x|)))的定义域为{x|x＝0}． 因为x＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(\r(\a\vs4\al(－|x|)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(0)＝1， 即函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(\r(\a\vs4\al(－|x|)))的值域为{y|y＝1}． 【例题8】(1)比较下列各题中两个值的大小： ①1.7-2.5，1.7-3；②1.70.3，1.50.3；③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(-\f(1,2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(-\f(1,2)). 解　①∵1.7>1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3. ②解法一：∵1.7>1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方． 而0.3>0，∴1.70.3>1.50.3. 解法二：∵1.50.3>0，且eq \f(1.70.3,1.50.3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5)))eq \s\up12(0.3)， 又eq \f(1.7,1.5)>1，0.3>0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5)))eq \s\up12(0.3)>1， ∴1.70.3>1.50.3. ③由于函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)与函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(x)分别为R上的减函数与增函数，而－eq \f(1,2)<0，因而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－eq \f(1,2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(0)＝1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(0)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－eq \f(1,2)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－eq \f(1,2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－eq \f(1,2). \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))【例题9】　证明：函数y＝3x与y＝eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称． 证明　①在函数y＝3x的图象上任取一点P(x0，y0)，则y0＝3 x0； 又知点P关于y轴的对称点P0(－x0，y0)． 由y0＝3 x0可知，y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(－x0)，即点P0(－x0，y0)在函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象上． ②利用同样的方法可以证明，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象上任意一点关于y轴的对称点都在函数y＝3x的图象上． 由①②可知，函数y＝3x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称． (1,2x＋1)【例题11】已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 解　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－eq \f(1,2x1＋1)－a＋eq \f(1,2x2＋1)＝eq \f(2x1－2x2,（2x1＋1）（2x2＋1）). ∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴不论a为何实数，f(x)均为R上的增函数． (2)∵f(x)在R上为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－eq \f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq \f(1,2). (3)由(2)知，f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2x＋1)，由(1)知，f(x)为增函数， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为eq \f(1,6). 1．下列各式正确的是(　　) A．aeq \s\up7(\f(1,2))·a2·a－1＝aeq \s\up7(\f(1,2))×2×(－1)＝a－1(a>0) B．(a3)2＝a3＋2＝a5(a>0) C．(a·b)2＝ab2(a>0，b>0) D．2x－eq \s\up7(\f(1,3))2,3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x\s\up6(\f(1,3))－2x－)) ＝1－eq \f(4,x)(x>0) 解析：对于A，aeq \s\up7(\f(1,2))·a2·a－1＝aeq \s\up7(\f(1,2))＋2－1＝aeq \s\up7(\f(3,2))，错误；对于B，(a3)2＝a3×2＝a6，错误；对于C，(a·b)2＝a2b2，错误；对于D，2x－eq \s\up7(\f(1,3))1,3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2x－eq \s\up7(\f(2,3)))) ＝x－eq \s\up7(\f(1,3))+eq \s\up7(\f(1,3))－4x－eq \s\up7(\f(1,3))+(－eq \s\up7(\f(2,3)))＝1－eq \f(4,x)(x>0)，正确．故选D.　 2．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(3,\r(a3))))) eq \s\up12(4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6,a3))) eq \s\up12(4)(a>0)的结果是(　　) A．a B．a2 C．a4 D．a8 解析：原式＝3,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,a))) eq \s\up12(4) ·1,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a)) eq \s\up12(4) ＝(aeq \s\up7(\f(1,2)))4·a2＝a2·a2＝a4.　 解析：只有y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合y＝ax(a>0，且a≠1)的形式． 5．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)的图象是(　　) 解析：y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(－x)，x<0，))即y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥0，,2x，x<0.))故选B. 7．已知a＝2eq \s\up7(\f(4,3))，b＝4eq \s\up7(\f(2,5))，c＝25eq \s\up7(\f(1,3))，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：因为a＝2eq \s\up7(\f(4,3))＝16eq \s\up7(\f(1,3))，b＝4eq \s\up7(\f(2,5))＝16eq \s\up7(\f(1,5))，c＝25eq \s\up7(\f(1,3))，且幂函数y＝xeq \s\up7(\f(1,3))在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c. 8．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(-1.5)，b＝40.9，c＝80.48，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(-1.5)＝21.5，40.9＝21.8，80.48＝21.44，易知21.44<21.5<21.8，即80.48<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(-1.5)<40.9，即c<a<b. 9．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，则a的值为(　　) A．eq \f(1,2)或eq \f(3,2) B．eq \f(3,2) C．eq \f(1,2) D．2或3 解析：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，∴a－a2＝eq \f(a,2)，解得a＝eq \f(1,2)或a＝0(舍去)；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，∴a2－a＝eq \f(a,2)，解得a＝eq \f(3,2)或a＝0(舍去)．综上所述，a＝eq \f(1,2)或a＝eq \f(3,2). 10．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　) A．a3a4＝a7 B．(－a2)3＝a6 C.eq \r(8,a8)＝a D.eq \r(5,（－π）5)＝－π 解析：a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；(－a2)3＝－a6，故B不正确；eq \r(8,a8)＝|a|，故C不正确；eq \r(5,（－π）5)＝－π，故D正确．故选AD.　 12．(多选)下列各式正确的是(式子中的字母均为正数)(　　) A．a－eq \s\up7(\f(3,5))＝eq \f(1,\r(5,a3)) B.eq \r(3,x2)＝xeq \s\up7(\f(2,3)) C.eq \r(n,（a2＋b2）n)＝a2＋b2(n∈N＋，且n>1) D.eq \r(10,（a－b）10)＝a－b 解析:对于A，a－eq \s\up7(\f(3,5))＝3,5))eq \f(1,a) ＝eq \f(1,\r(5,a3))，正确；对于B，eq \r(3,x2)＝xeq \s\up7(\f(2,3))，正确；对于C，∵a2＋b2≥0，∴eq \r(n,（a2＋b2）n)＝a2＋b2，正确；对于D，当a≥b时，eq \r(10,（a－b）10)＝a－b，当a<b时，eq \r(10,（a－b）10)＝b－a，错误．故选ABC.　 13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意，知f(a)<1等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(a)－7<1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,\r(a)<1，))解得－3<a<0或0≤a<1，所以－3<a<1. 14．已知集合A＝{－a，eq \r(a2)，4}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\r(3,a3)，\f(a,|a|)，2b))，且A＝B，求a＋b. 解：由元素的互异性可知，－a≠eq \r(a2)， 且a≠0， 所以a>0，此时，A＝{－a，a，4}，B＝{－a，1，2b}． 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,4＝2b，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))则a＋b＝3.　 解：设1月份的产量为a，月平均增长率为x， 则2月份的产量为a＋ax＝a(1＋x)， 3月份的产量为a(1＋x)＋a(1＋x)x＝a(1＋x)2， …… 12月份的产量为a(1＋x)11， 依据题意，a(1＋x)11＝ka，解得x＝eq \r(11,k)－1， 即该厂在2023年度产值的月平均增长率是eq \r(11,k)－1.　 16．已知函数f(x)＝eq \f(ax－1,ax＋1)(a>0，a≠1)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性； (3)求f(x)的值域． 解：(1)易知函数f(x)的定义域为R， 因为f(－x)＝eq \f(a－x－1,a－x＋1)＝eq \f(（a－x－1）ax,（a－x＋1）ax)＝eq \f(1－ax,1＋ax)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)因为函数f(x)＝eq \f(ax＋1－2,ax＋1)＝1－eq \f(2,ax＋1)， 设x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,ax1＋1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a x2＋1)))＝eq \f(2,a x2＋1)－eq \f(2,a x1＋1)＝eq \f(2（ax1－ax2）,（a x1＋1）（a x2＋1）). 当a>1时，y＝ax在R上单调递增， 由x1<x2，得a x1<a x2， 所以a x1－a x2<0， 又a x1＋1>0，a x2＋1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，即此时f(x)在R上单调递增； 同理，当0<a<1时，f(x1)>f(x2)，即此时f(x)在R上单调递减． 综上，当a>1时，函数f(x)在R上单调递增， 当0<a<1时，函数f(x)在R上单调递减． (3)令ax＝t，则t>0，结合(2)知原函数等价于y＝1－eq \f(2,t＋1)，易知y＝1－eq \f(2,t＋1)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以－1<1－eq \f(2,t＋1)<1，故f(x)的值域为(－1，1)． $$