串讲 02 第一章 预备知识之不等式（考点串讲）高一数学上学期北师大版必修第一册

北师大版(2019)必修(第一册) 数学 期中考点大串讲 串讲 02 第一章 不等式 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.两个实数大小的比较 (1)a>b⇔________； (2)a＝b⇔a－b___0； (3)_____ ⇔a－b<0. a－b>0 ＝ a<b 考点2.不等式的性质 (1)如果a>b，且b>c，那么______． (2)如果a>b，那么a＋c___b＋c. (3)如果a>b，c>0，那么ac___bc； 如果a>b，c<0，那么ac___bc. (4)如果a>b，c>d，那么a＋c___b＋d. (5)如果a>b>0，c>d>0，那么ac___bd； 如果a>b>0，c<d<0，那么ac___bd. (6)当a>b>0时，an____bn(n∈N＋，n≥2)； 当_______时，>(n∈N＋，n≥2)． a>c > > < > > < > a>b>0 考点3.基本不等式、 算术平均值与几何平均值及相关结论 知识点 　 若a≥0，b≥0，则_______________________________________．这个不等式称为基本不等式． 知识点 　 在基本不等式中，_________称为a，b的算术平均值，_____称为a，b的几何平均值． 因此，基本不等式又称为______不等式，也可以表述为__________________ ____________________________________． 均值 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值 考点4.基本不等式与最大(小)值 知识点　 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当______时，xy取得最___值____．(简记：和定积有最大值) (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当_______时，x＋y取得最____值_____．(简记：积定和有最小值) x＝y 大 x＝y 小 考点5.一元二次函数的定义 ax2＋bx＋c 考点6.一元二次函数的图象的变换 知识点 　 通常把一元二次函数的图象叫作_________．一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向____ (或向_____)平移____个单位长度，再向___ (或向___)平移____个单位长度而得到． 抛物线 左 右 |h| 上 下 |k| 考点7.　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 知识点 　 (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条________，顶点坐标是_______，对称轴是直线______． (2)当a>0时，抛物线开口向____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而_____；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而_____；函数在x＝h处有最____值，记作________． 当a<0时，抛物线开口向____；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而______；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而_____；函数在x＝h处有最___值，记作_______． 抛物线 (h，k) x＝h 上 减小 增大 小 ymin＝k 下 增大 减小 大 ymax＝k 考点8.一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解集的概念 知识点 　 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． 知识点 　 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的______叫作这个一元二次不等式的______． 集合 解集 考点9.一元二次不等式与相应一元二次函数、一元二次方程的关系 考点9.一元二次不等式与相应一元二次函数、一元二次方程的关系 ax2＋bx＋c>0 (a>0) 的解集 ________________________ _________ ____ ax2＋bx＋c<0 (a>0) 的解集 _________ ______ ______ {x|x<x1， 或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 考点10.利用不等式解决实际问题的一般步骤 知识点　 (1)选取合适的______表示题中的_______； (2)由题中给出的不等关系，列出_______________________； (3)______ 所列出的不等式(组)； (4)结合题目的_________确定答案． 字母 未知数 关于未知数的不等式(组) 求解 实际意义 02 典例透析 考点1.　作差法比较大小 解 【例题1】 (1)比较x3＋6x与x2＋6的大小． (2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． 解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)． ∵x2＋6>0，∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6； 当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；当x<1时，x3＋6x<x2＋6. 解： x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)． 当a＞b时，x－y＞0，∴x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，∴x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，∴x＜y. 考点2.作商法比较大小 【例题2】 已知a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小． 解 考点3.利用不等式的性质判断不等关系 　 解析 答案 ③④ 考点3.利用不等式的性质判断不等关系 解析 考点4.证明不等式 　 证明　∵a>b，c>0，∴ac>bc. ∴－ac<－bc. ∵f<e，∴f－ac<e－bc. 【例题4】 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. 证明 考点4.证明不等式 证明 考点5.利用不等式的性质求取值范围 解 考点5.利用不等式的性质求取值范围 解 考点6.对基本不等式的理解 答案 考点6.对基本不等式的理解 解析 考点7.利用基本不等式比较大小 答案 解析 考点8.利用基本不等式证明不等式 证明 考点9.利用基本不等式求函数的最值 解 考点10.利用基本不等式求代数式的最值 解 考点11.利用基本不等式解决实际问题 考点11.利用基本不等式解决实际问题 解 考点12.求一元二次函数的解析式 解　设所求一元二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，则其顶点坐标为(h,k)． ∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为y＝a(x－1)2－3. 又函数图象经过点P(2，0)， ∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x. 【例题12】已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2，0)，求这个一元二次函数的解析式． 解 考点13.一元二次函数图象的变换 【例题13】将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6 C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2 解析　将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向左平移1个单位长度，得到函数y＝2(x＋1＋1)2－3的图象，即y＝2(x＋2)2－3的图象；将y＝2(x＋2)2－3的图象向上平移3个单位长度，得到函数y＝2(x＋2)2－3＋3的图象，即函数y＝2(x＋2)2的图象． 1 答案 解析 考点14.一元二次函数性质的应用 解析：由已知得－≤1，即m≥－6，∴当x＝1时，y＝7＋m≥1；当x＝2时，y＝12＋2m＋4≥4.故选C. 　 【例题14】 已知函数y＝3x2＋mx＋4在区间[1，＋∞)上y随x的增大而增大，则(　　) A．当x＝2时，y＝4 B．当x＝1时，y＝1 C．当x＝2时，y≥4 D．当x＝1时，y≤1 答案 解析 考点15.不含参数的一元二次不等式 解 考点15.不含参数的一元二次不等式 解 考点16.含参数的一元二次不等式 【例题16】 解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 解 考点16.含参数的一元二次不等式 解 考点16.含参数的一元二次不等式 解 考点17.三个“二次”之间的转化关系 【例题17】若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集. 解 考点18.不等式恒成立问题 【例题18】若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－4<a<0} B．{a|a<－4，或a>0} C．{a|a≥0} D．{a|－4<a≤0} 答案 解析 考点19.利用一元二次不等式判断车速 解 考点20.利用一元二次不等式解决面积问题 【例题20】某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求 顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB 的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ 考点20.利用一元二次不等式解决面积问题 解析 考点21.利用一元二次不等式解决利润问题 【例题21】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 考点21.利用一元二次不等式解决利润问题 解 03 考场练兵 答案 解析 2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0. 答案 解析 3．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是(　　) A．ac2>bc2 B．a－d>b－c C．ad<bd D．a2>b2 解析：对于A，若c＝0，则A不成立；对于B，显然正确．对于C，若d为正数，则C不正确；对于D，若a，b为负数，则D不正确．故选B. 答案 解析 4．函数y＝x2＋2x＋1，x∈[－2，2]，则(　　) A．函数有最小值0，最大值9 B．函数有最小值2，最大值5 C．函数有最小值2，最大值9 D．函数有最小值1，最大值5 解析：因为函数y＝x2＋2x＋1的图象的对称轴为直线x＝－1，且开口向上，所以在区间[－2，2]内，当x＝－1时，y取得最小值0，当x＝2时，y取得最大值9.故选A. 答案 解析 答案 解析 6．若正数a，b满足ab＝2，则(a＋1)(b＋2)的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案 解析 答案 解析 8．在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如下图所示．如果要使整个挂图的面积不大于2816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的不等式是(　　) A．(60＋2x)(40＋2x)≤2816 B．(60＋x)(40＋x)≥2816 C．(60＋2x)(40＋x)＞2816 D．(60＋x)(40＋2x)＜2816 解析：“不大于”就是“≤”，所以根据题意可列出不等式为(60＋2x)(40＋2x)≤2816. 答案 解析 9．函数y＝4－x(x－2)的图象的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　) A．(2，4)，x＝2 B．(1，5)，x＝1 C．(5，1)，x＝1 D．(1，5)，x＝5 解析：∵y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x＝1. 答案 解析 10．不等式x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，4) B．(－4，－1) C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞) D．(－∞，1)∪(4，＋∞) 解析：不等式x2－4x>2ax＋a变形为x2－(4＋2a)x－a>0，由该不等式对一切实数x恒成立，得Δ<0，即(4＋2a)2－4·(－a)<0，化简得a2＋5a＋4<0，解得－4<a<－1，所以实数a的取值范围是(－4，－1)．故选B. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 ①②④ 答案 解析 [－2，＋∞) 答案 解析 {x|60≤x≤100} 15．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？ 解 解 解 eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立 eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) eq \f(s2,4) 2eq \r(p) eq \f(4ac－b2,4a) 知识点 　1．形如y＝___________ (a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作一元二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为一元二次函数的一般式． 2．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋_____)) eq \s\up12(2)＋_______＝a(x－h)2＋k，其中h＝________，k＝________． 解析式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)称为一元二次函数的顶点式． eq \f(b,2a) eq \f(4ac－b2,4a) －eq \f(b,2a) Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的实数根 x1，x2 x0＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) 解　eq \f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(a－b)， ①当a>b>0时，eq \f(a,b)>1，a－b>0， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(a－b)>1； ②当0<a<b时，0<eq \f(a,b)<1，a－b<0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(a－b)>1. 综上可得，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(a－b)>1. 又aabb>0，abba>0，∴aabb>abba. 【例题3】下列命题正确的是________． ①eq \f(c,a)<eq \f(c,b)且c>0⇒a>b； ②a>b且c>d⇒ac>bd； ③a>b>0且c>d>0⇒eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c))； ④eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)⇒a>b. 解析　①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)<\f(c,b)，,c>0))⇒eq \f(1,a)<eq \f(1,b)；当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，∴①错误； ②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立．∴②错误； ③eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b>0，,c>d>0))⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c)>0⇒eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c))成立．∴③正确； ④显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴④正确． 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<eq \f(1,a－c)<eq \f(1,b－d). 又0<b<a，∴eq \f(b,a－c)<eq \f(a,b－d). (2)已知a>b>0，c<d<0，求证：eq \f(b,a－c)<eq \f(a,b－d). 证明　∵bc－ad≥0，∴ad≤bc. 又bd>0，∴eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，∴eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1， ∴eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). (3)已知bc－ad≥0，bd>0，求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). 【例题5】 　(1)已知2<a≤5，3≤b<10，求a－b，eq \f(a,b)的取值范围． 解　∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3. 又2<a≤5，∴－8<a－b≤2. 又eq \f(1,10)＜eq \f(1,b)≤eq \f(1,3)，∴eq \f(1,5)<eq \f(a,b)≤eq \f(5,3). (2)已知－eq \f(π,2)≤α<β ≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,3)的取值范围． 解　∵－eq \f(π,2)≤α<β ≤eq \f(π,2)， ∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)<eq \f(π,4)，－eq \f(π,4)<eq \f(β,2)≤eq \f(π,4). 两式相加得－eq \f(π,2)<eq \f(α＋β,2)<eq \f(π,2). ∵－eq \f(π,6)≤eq \f(α,3)<eq \f(π,6)，－eq \f(π,6)≤－eq \f(β,3)<eq \f(π,6)， 两式相加得－eq \f(π,3)≤eq \f(α－β,3)<eq \f(π,3). 又α<β，∴eq \f(α－β,3)<0，∴－eq \f(π,3)≤eq \f(α－β,3)<0. 【例题6】给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② 　　　　B．②③ 　　　　C．② 　　　　D．①③ 解析　从基本不等式成立的条件考虑． ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq \f(b,a)，eq \f(a,b)∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的； ③由xy<0得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)看成一个整体提出负号后，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确． (a＋1,2)【例题7】已知a＞1，则，eq \r(a)，eq \f(2a,a＋1)三个数的大小顺序是(　　) A.eq \f(a＋1,2)＜eq \r(a)＜eq \f(2a,a＋1) B.eq \r(a)＜eq \f(a＋1,2)＜eq \f(2a,a＋1) C.eq \f(2a,a＋1)＜eq \r(a)＜eq \f(a＋1,2) D.eq \r(a)＜eq \f(2a,a＋1)≤eq \f(a＋1,2) 解析　当a，b是正数时，eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b∈R＋)，令b＝1，得eq \f(2a,a＋1)≤eq \r(a)≤eq \f(a＋1,2).又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，选C. 【例题8】已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， 求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥10. 证明：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a＋b＋c,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a＋b＋c,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(a＋b＋c,c))) ＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥4＋2＋2＋2＝10， 当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号． ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥10. (1,x－3)【例题9】(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值． 解　∵y＝eq \f(1,x－3)＋x＝eq \f(1,x－3)＋(x－3)＋3， 又x>3，∴x－3>0，eq \f(1,x－3)>0， ∴y≥2eq \r(\f(1,x－3)·（x－3）)＋3＝5. 当且仅当eq \f(1,x－3)＝x－3，即x＝4时，y有最小值5. (1,x)【例题10】 已知x>0，y>0且＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值． 解　∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， ∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥6＋10＝16， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， 即x＝4，y＝12时取等号． 故当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. (180,x＋10)【例题11】某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝eq \f(x,5)(注：利润与投资金额单位：万元)． (1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并写出x的取值范围； (2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 解　(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品，利润总和y＝18－eq \f(180,x＋10)＋eq \f(100－x,5)＝38－eq \f(x,5)－eq \f(180,x＋10)(x∈[0，100])． (2)∵y＝40－eq \f(x＋10,5)－eq \f(180,x＋10)，x∈[0，100]， ∴由基本不等式，得y≤40－2eq \r(36)＝28，当且仅当eq \f(x＋10,5)＝eq \f(180,x＋10)时，即x＝20时，等号成立． 答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元． 【 例题15】　求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0； (5)－eq \f(1,2)x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0. 解　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq \f(1,2)，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)，或x<－3)))). (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－eq \r(13)，x2＝4＋eq \r(13)，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－eq \r(13)<x<4＋eq \r(13)}． (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． (4)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2))) eq \s\up12(2)≤0，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,4))))). (5)原不等式可化为x2－6x＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅. (6)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R. 解　(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. ②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝eq \f(1,4)(－a－eq \r(a2－16))，x2＝eq \f(1,4)(－a＋eq \r(a2－16))． 当a＝±4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,4)（－a－\r(a2－16)），或x>\f(1,4)（－a＋\r(a2－16)）))))； 当－4<a<4时，原不等式的解集为R. (2)若a＝0，原不等式为－x＋1<0， 解得x>1； 若a<0，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0， 解得x<eq \f(1,a)或x>1； 若a>0，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，(*) 其解的情况应由eq \f(1,a)与1的大小关系决定，故 ①当a＝1时，由(*)式，得x∈∅； ②当a>1时，由(*)式，得eq \f(1,a)<x<1； ③当0<a<1时，由(*)式，得1<x<eq \f(1,a). 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)，或x>1))))； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))). 解　因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， 所以a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由一元二次方程根与系数的关系可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a)，,－3×4＝\f(c,a)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.)) 所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0， 即为－ax2＋2ax＋15a<0， 即x2－2x－15<0， 故所求不等式的解集为{x|－3<x<5}． 解析　因为ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，所以当a＝0时，不等式为3≥0，满足题意；当a≠0时，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a（a＋3）≤0，))解得a>0.综上，实数a的取值范围是{a|a≥0}． (1,20)【例题19】 　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋eq \f(1,180)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) 解　设这辆汽车刹车前的车速为x km/h， 根据题意，得eq \f(1,20)x＋eq \f(1,180)x2＞39.5. 移项整理，得x2＋9x－7110＞0. 显然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94. 然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，得 不等式的解集为{x|x＜－88.94，或x＞79.94}． 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h. 解　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， 所以eq \f(DC,AM)＝eq \f(ND,NA)，即eq \f(x,30)＝eq \f(20－AD,20)， 解得AD＝20－eq \f(2,3)x. 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式为S＝20x－eq \f(2,3)x2(0<x<30)． (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米， 即20x－eq \f(2,3)x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18，所以AB长度的范围为[12，18]． 解　(1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)． ∴所求关系式为y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)依题意，得1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000， 化简，得3x2－x＜0，解得0＜x＜eq \f(1,3). ∴投入成本增加的比例x的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))). 1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq \r(ab) C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 解析：根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成立；因为ab＞0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时，等号成立．故D成立． 5．若a>1，b>1，则a＋b，2ab，2eq \r(ab)，a2＋b2中最大的一个是(　　) A．a＋b B．2ab C．2eq \r(ab) D．a2＋b2 解析：∵a>1，b>1，∴a＋b≥2eq \r(ab)，a2＋b2≥2ab，又(a2＋b2)－(a＋b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)＝0，∴a2＋b2>a＋b.故a＋b，2ab，2eq \r(ab)，a2＋b2中最大的一个是a2＋b2. 解析：正数a，b满足ab＝2，则(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝4＋2a＋b≥4＋2eq \r(2ab)＝8，当且仅当b＝2a＝2时取等号，所以当a＝1，b＝2时，(a＋1)(b＋2)取得最小值8. 7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2) 解析：解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝eq \f(8－x,2x＋2)>0，∴0<x<8，∴x＋2y＝x＋2·eq \f(8－x,2x＋2)＝(x＋1)＋eq \f(9,x＋1)－2≥2eq \r(（x＋1）·\f(9,x＋1))－2＝4，当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2，y＝1时取等号． 解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2eq \r(（x＋1）（2y＋1）)－2＝4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时，等号成立． 11．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))<x<\f(1,2) )) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,3)))，或x>\f(1,2) )) C．{x|－3<x<2} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)))，或x>\f(1,3) )) 解析：由题意可知，ax2－5x＋b＝0的两个根分别为－3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝eq \f(5,a)，－3×2＝eq \f(b,a)，解得a＝－5，b＝30，则所求不等式可化为30x2－5x－5>0，即(2x－1)(3x＋1)>0，解得x<－eq \f(1,3)或x>eq \f(1,2).故选B. 二、填空题 12．有以下四个条件： ①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0. 其中能使eq \f(1,a)<eq \f(1,b)成立的有________． 解析：①因为b>0>a，所以eq \f(1,b)>0>eq \f(1,a)； ②因为0>a>b，所以eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0； ③因为a>0>b，所以eq \f(1,a)>0>eq \f(1,b)； ④因为a>b>0，所以eq \f(1,b)>eq \f(1,a)>0. 13．若∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为________. 解析：∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，即－a≤eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)恒成立，由于函数y＝x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立，故－a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) eq \s\do7(min)，即－a≤2，则a≥－2. 14．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x))) L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为_______________． 解析：因为汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，所以eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20)) L．依题意得eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20≤9，解得45≤x≤100，因为60≤x≤120，所以60≤x≤100. 解：设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去eq \f(48×8,x)批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用eq \f(48×8,x)×40. ∴y＝240x＋eq \f(48×8,x)×40(0<x≤48，x∈Z)． ∴y＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x)))≥240×2eq \r(x×\f(64,x))＝3840， 当且仅当x＝eq \f(64,x)，即x＝8时取等号． 故每人最少应交eq \f(3840,48)＝80(元)． 16．甲厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产效率？并求此最大利润． 解：(1)根据题意，得200eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))≥3000， 则5x－14－eq \f(3,x)≥0，eq \f(5x2－14x－3,x)≥0. 又1≤x≤10，∴5x2－14x－3≥0. 解得x≤－eq \f(1,5)(舍去)或x≥3. 又1≤x≤10，∴3≤x≤10. ∴x的取值范围是[3，10]． (2)设利润为y元，则y＝eq \f(900,x)·100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))＝9×104×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))\s\up12(2)＋\f(61,12))). 故x＝6时，ymax＝457500， 即甲厂应该以6千克/小时的生产速度生产，最大利润为457500元． $$