精品解析：湖北省荆州市荆州中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

荆州中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解. 【详解】由可得，所以， 故选：C 2. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为31 C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D. 这10年粮食年产量中位数为29 【答案】C 【解析】 【分析】由折线图提供的数据进行计算估值判断． 【详解】由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，A不符合题意； 平均数为，B不符合题意； 前5年数据波动比后5年数据波动要小， 因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，C符合题意； 10年数据按从小到大排序为：， 中位数为，D不符合题意． 故选：C． 3. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D. 4. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B 5. 向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 6. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，然后利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故选：B. 7. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C 8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 8π B. 16π C. 26π D. 32π 【答案】C 【解析】 【分析】利用正余弦定理求出外接圆半径，再确定球心位置并求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在中，由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆半径， 令外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为，则平面， 而平面，于是，令的中点为，由，得， 又平面，则，，于是四边形是矩形，， 因此三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 【点睛】关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可； 【详解】列举各事件如下：，，， A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确； B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误； C：因为，故C正确； D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在直三棱柱中，已知为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段长度的取值范围是 C. 当点为中点时，截面的周长为 D. 存在点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】直接证明三棱锥的体积为定值判断； 由三角形相似可得与的关系，结合的范围求得线段的长度的取值范围判断； 根据题意，分别求出四边形各边长即可判断； 由反证法证明错误. 【详解】 连接，则的面积为定值， 平面，平面，且， 平面，而， 到平面的距离为定值， 则三棱锥的体积为定值，故正确； 延长交的延长线于点，连接交于点， 则，即， 得， 又，则， ， ，， ，，， ，故错误； 当点为棱中点时， ，， ， ，， 故截面的周长为，故正确； 假设， 取上靠近点的四等分点， 则平面，平面， 所以，又， 因为平面，， 所以平面，平面， 则， 所以∽，得，则，矛盾 所以不存在点，使得，故错误； 故选：. 点睛】分离常数法求值域： 一些简单分式型函数求值域可用分离常数法，最常见类型为：，，，如本题中选项的为型. 具体方法为：（1）先将分子凑出和分母相同的式子，如； （2）根据分式加减法法则分类常数，如； （3）根据题目所给范围直接求值域（或可用换元法求值域）. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】据空间向量基本定理把用，，作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】在平行六面体中,， 所以， 因为，所以， 又， 所以，， 所以 所以. 故答案为：2. 13. 已知，，三点，则到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 14. 如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且．设的周长为，的周长为，设，记，则的值域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，设的边长为1，用和表示，，，再利用，得到，进而得到，通过和的范围，求出的范围，进而可求出的范围. 【详解】 延长，交于，因为为的重心，所以，为中点， 所以，，所以， ，得 ，整理得，，设的边长为1，则，，在中，由余弦定理得，，所以， ，因为，所以 ， 因为，，所以，，，又，则有 ，因为，所以，，因为， ，所以的最小值为，最大值为，所以， 单调递增，则，所以，，即的值域为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得. （2）由（1）中信息，利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算即得. 【小问1详解】 （1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为， 同理，乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 所以甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . 【小问2详解】 丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 所以甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：. 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解； （2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则，可得，所以. 【小问2详解】 因为为平分线，则， 因为，则， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面. 【小问2详解】 因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以. ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 【答案】（1）众数为；平均数为 （2）平均数为；方差为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解； （2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为， 这800名学生成绩平均数为： （分）. 【小问2详解】 解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人， 各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人， 其中分数在区间的学生为10人，分别为， 其中平均成绩与方差分别为，则， 设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则， 设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为， 由，可得， 由， 可得，解得， 所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 【答案】（1） （2） （3）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）先计算平面法向量，找到平面上一点，然后利用向量的投影计算即可； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角. 【小问1详解】 由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有，所以， 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由题可知平面的法向量为，且过点， 因为，所以， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 （i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面， 然后得到几何体为几何体是底面边长为的正方形，高为2的长方体， 故几何体的体积为， （ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得，画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角， 计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆州中学2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量平均数为31 C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D. 这10年粮食年产量的中位数为29 3. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，角A，B，C对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 8π B. 16π C. 26π D. 32π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A 任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 11. 如图，在直三棱柱中，已知为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段长度的取值范围是 C. 当点为中点时，截面的周长为 D. 存点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________． 13. 已知，，三点，则到直线的距离为______. 14. 如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且．设的周长为，的周长为，设，记，则的值域为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$