第五章 函数应用 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 必修 第一册(北师) 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．方程的解与函数的零点 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．零点判断法 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 注意：由f(a)·f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 3．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 4．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，和一些涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养将实际问题数学化的意识和能力． 一、函数的零点与方程的解 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视． 试讨论函数f(x)＝x2－2|x|－a－1(a∈R)的零点个数． [解]　设g(x)＝x2－2|x|，h(x)＝a＋1， 则g(x)＝g(x)，h(x)的图象如图所示， g(－2)＝g(0)＝g(2)＝0，g(－1)＝g(1)＝－1， 当a＋1<－1，即a<－2时，g(x)与h(x)的图象无交点； 当a＋1＝－1或a＋1>0，即a＝－2或a>－1时，g(x)与h(x)的图象有两个交点； 当－1<a＋1<0，即－2<a<－1时，g(x)与h(x)有四个交点； 当a＋1＝0，即a＝－1时，g(x)与h(x)的图象有三个交点． 所以，当a<－2时，函数f(x)＝x2－2|x|－a－1无零点； 当a＝－2或a>－1时，函数f(x)有两个零点； 当－2<a<－1时，函数f(x)有四个零点； 当a＝－1时，函数f(x)有三个零点． 二、函数模型及其应用 针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果． 根据调查发现，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示． (1)根据图象求b，k的值； (2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－，当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值． [解]　(1)由图象知 即解得 (2)当P＝Q时，2(1－6t)(x－5)2＝211－， 即(1－6t)(x－5)2＝11－x， 2(1－6t)＝＝－. 令m＝，∵x≥9，∴m∈. 而2(1－6t)＝17m2－m＝17－. 当m＝时，2(1－6t)取最大值，为， 故t≥，即税率的最小值为. 三、数学思想方法 数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要地位． 1．数形结合思想 本章中方程的根或函数的零点问题，可转化为函数图象的交点问题，从而达到化难为易的目的． 关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的根分别为α，β，则α＋β＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 [解析]　将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示． 这样方程lg x＝3－x的根可以看成函数y1＝lg x和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x＝3－x的根可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lg x和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lg x和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3. [答案]　D 2．分类讨论思想 涉及函数y＝ax2＋bx＋c的问题，因为没有指明这是二次函数，所以应该按照a＝0和a≠0进行分类讨论． 若函数f(x)＝mx2－x－2只有一个零点，试求实数m的取值范围． [解]　所给的函数含有参数m，因此f(x)不一定是二次函数，应该对二次项系数是否为零进行讨论． 若m＝0，则f(x)＝－x－2， 显然f(x)只有一个零点－2. 若m≠0，则f(x)＝mx2－x－2是二次函数，若它只有一个零点，即方程mx2－x－2＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝1＋8m＝0，解得m＝－. 综上，可知当m＝0或m＝－时，函数f(x)只有一个零点． 3．转化与化归思想 转化与化归思想在本章中的重要应用就是将含指数型、对数型函数的零点问题转化为二次函数等熟悉的函数的零点问题，从而达到化难为易的目的． 若函数f(x)＝9x＋a·3x＋a＋1有零点，求实数a的取值范围． [解]　∵函数f(x)有零点， ∴方程9x＋a·3x＋a＋1＝0有实数解． 令3x＝t(t>0)，则原方程可化为t2＋at＋a＋1＝0，(※) 该方程在(0，＋∞)上有实数解． ①当方程(※)的解都在(0，＋∞)上时，设方程(※)的两根分别为t1，t2， 则 解得 所以－1<a≤2－2； ②当方程(※)的解一个在(0，＋∞)上，另一个在(－∞，0]上时，令g(t)＝t2＋at＋a＋1， 则或g(0)<0，解得a≤－1. 综合①②知，函数f(x)有零点时，实数a的取值范围是a≤2－2. 4．函数与方程思想 通过对函数零点的学习，我们知道函数的某一种状态就是方程，因此方程的问题可以利用函数的性质来解决，而函数的许多问题也可以利用方程来解决．函数问题和方程问题可以互相转化，这是函数与方程思想的由来． 设x1，x2分别是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的非零实根，且x1≠x2.求证：方程x2＋bx＋c＝0恰有一根在x1与x2之间． [证明]　因为x1，x2分别为方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的非零实根， 所以即 设f(x)＝x2＋bx＋c，则 f(x1)·f(x2)＝ ＝＝－a2xx<0， 所以方程x2＋bx＋c＝0恰有一根在x1与x2之间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$