6.4.1 样本的数字特征-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 必修 第一册(北师) 4.1　样本的数字特征 (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义.3.会计算样本的标准差和方差，了解样本与总体的关系.4.结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 教学重点：平均数、中位数、众数、方差、标准差的计算、意义和作用． 教学难点：根据问题的需要选择恰当的数字特征来表达数据的信息，并能够通过分析样本的数字特征作出决策． 知识点一　平均数的定义 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)，叫作这n个数的平均数．平均数是指这组数据的平均值． 知识点二　中位数的定义及求法 一般地，将一组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的． (1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数． (2)当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大顺序排列的最中间的两个数的平均数． 知识点三　众数的定义 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数的众数． 知识点四　极差 极差是数据中最大值和最小值的差． 知识点五　方差的求法 方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度．方差s2＝.其中，xi(i＝1，2，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数． 知识点六　标准差的求法 由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．于是，定义方差的算术平方根s＝＝为标准差． 1．中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该用抗极端性很强的中位数表示数据的中心值． 2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息． 3．平均数和方差的常用性质 (1)若x1，x2，x3，…，xn的平均数是，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等． (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数．(　　) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．(　　) (3)在样本数据中，频率分布最高点所对应的样本数据是众数．(　　) (4)方差越大，数据的稳定性越强．(　　) (5)方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a (2)奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为(　　) A．减少计算量 B．避免故障 C．剔除异常值 D．活跃赛场气氛 (3)下列说法不正确的是(　　) A．方差是标准差的平方 B．标准差的大小不会超过极差 C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0 D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散 (4)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4. 则：①平均命中环数为________； ②命中环数的标准差为________． (5)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本的方差为________． 答案：(1)D　(2)C　(3)D　(4)①7　②2　(5)2 题型一　众数、中位数、平均数的计算 　某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表： 职级 M3 M2 M1 P6 P5 P4 P3 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设职级为M2的职工工资从5000元提升到20000元，职级为M1的职工工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元) (3)你认为平均数、中位数、众数哪个更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． [解]　(1)平均数＝×(5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20)≈2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元． (2)新的平均数′＝×(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20)≈3288(元)，新的中位数是1500元，新的众数是1500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平． 【感悟提升】　众数、中位数、平均数的特点 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量． (2)平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动． (3)众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题． (4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，常用中位数来描述这组数据的集中趋势． 【跟踪训练】 1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.将这17个数据按从小到大的顺序排列，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝≈1.69(m)． 答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m. 题型二　众数、中位数、平均数的实际应用 　个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表： 李某 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 30000元 4500元 3500元 4000元 3200元 3200元 4100元 (1)计算所有员工8月份的平均工资； (2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？ (3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？ (4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？ [解]　(1)这7个人的8月份平均工资1＝×(30000＋4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝7500(元)． (2)计算出的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员． (3)去掉李某工资后的平均工资2＝×(4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝3750(元)，该平均工资能代表打工人员当月收入的一般水平． (4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据． 【感悟提升】　各种数字特征的优缺点 众数、中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，而平均数与每一个样本数据都有关系，可反映出更多的关于样本数据的全体信息，但受数据中的极端值的影响较大，妨碍了对总体估计的可靠性，因此用平均数估计总体有时不可靠． 【跟踪训练】 2．(1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　) A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差 答案：C 解析：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数． (2)某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 码号 34 35 36 37 38 39 40 41 数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么下列数中对你来说最重要的是(　　) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 答案：B 解析：鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大，由表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，并且这组数据的众数为37. 题型三　样本的标准差与方差的计算 　某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，各抽查6件产品，检测其重量的误差，测得数据如下(单位：mg)： 甲：13，15，13，8，14，21； 乙：15，13，9，8，16，23. 分别计算甲、乙两组数据的方差和标准差． [解]　甲的平均数 甲＝＝14， 乙的平均数乙＝＝14. 甲的方差s＝×[(－6)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋12＋72]＝≈14.7， 甲的标准差s甲≈3.8 mg. 乙的方差s＝×[(－6)2＋(－5)2＋(－1)2＋12＋22＋92]＝≈24.7， 乙的标准差s乙≈5.0 mg. 【感悟提升】　对标准差与方差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． (2)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 【跟踪训练】 3．某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们某次的数学考试成绩如下(单位：分)： 甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80； 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； (2)哪一组的成绩较稳定？ 解：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)， 平均分甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差s甲＝＝≈10.91(分)． 乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)， 平均分乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)， 方差s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25， 标准差s乙＝＝≈8.67(分)． (2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定． 由极差也可得到乙组的成绩比较稳定． 题型四　样本标准差、方差的综合应用 　某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75. 经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能派哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m以上方可获得冠军，则可派哪位选手参赛呢？ [解]　甲的平均成绩和方差如下： 甲＝×(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69， s＝×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋(1.68－1.69)2＋(1.69－1.69)2＋(1.72－1.69)2＋(1.73－1.69)2＋(1.68－1.69)2＋(1.67－1.69)2]＝0.0006. 乙的平均成绩和方差如下： 乙＝×(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68， s＝×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋(1.72－1.68)2＋(1.61－1.68)2＋(1.62－1.68)2＋(1.71－1.68)2＋(1.70－1.68)2＋(1.75－1.68)2]＝0.00315. 显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛． 在这8次选拔赛中乙有4次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m以上方可获得冠军，应派乙参赛． 【感悟提升】　在实际问题中，利用数据的数字特征帮助做决策时，通常从平均数、标准差(方差)及实际问题的不同标准三个方面综合考虑．标准不同，做出的决策也往往不同． 【跟踪训练】 4．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩如图所示． (1)分别求出两人成绩的平均数与方差； (2)根据上图和(1)中结果，对两人的训练成绩作出评价． 解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14. 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s>s可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高． 1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 答案：C 解析：由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度． 2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　　) A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分 C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分 答案：C 解析：这个学习小组的数学成绩分别是100，95，90，90，85，85，85，85，80，75，故平均数为＝87分，众数为85分，中位数为85分．故选C. 3．(多选)某赛季甲、乙两名篮球运动员6场比赛得分情况如表： 场次 1 2 3 4 5 6 甲得分 31 16 24 34 18 9 乙得分 23 21 32 11 35 10 则下列说法正确的是(　　) A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 答案：BD 解析：甲运动员得分的极差为34－9＝25，乙运动员得分的极差为35－10＝25，∴甲运动员得分的极差等于乙运动员得分的极差，故A错误；甲运动员得分的中位数为＝21，乙运动员得分的中位数为＝22，∴甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，故B正确；甲运动员得分的平均值为×(31＋16＋24＋34＋18＋9)＝22，乙运动员得分的平均值为×(23＋21＋32＋11＋35＋10)＝22，∴甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值，故C错误；甲运动员成绩的方差为s＝×[(31－22)2＋(16－22)2＋(24－22)2＋(34－22)2＋(18－22)2＋(9－22)2]＝75，乙运动员成绩的方差为s＝×[(23－22)2＋(21－22)2＋(32－22)2＋(11－22)2＋(35－22)2＋(10－22)2]＝≈89.3，∵s<s，∴甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定，故D正确．故选BD. 4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________． 答案：0.1 解析：这组数据的平均数＝＝5.1，则方差s2＝ ＝＝0.1. 5．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？ 解：甲＝＝33， 乙＝＝33. s＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67. s＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67. 甲的极差为11，乙的极差为10. 综合比较以上数据可知，选乙参加比赛比较合适． 课后课时精练 一、选择题 1．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8，12，10，11，9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为(　　) A．8分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．10分钟 答案：D 解析：估计此人每次上班途中平均花费的时间为＝10(分钟)． 2．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N的值为(　　) A. B．1 C. D．2 答案：B 解析：∵N＝＝M，∴M∶N＝1. 3．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 答案：C 解析：已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝16.故选C. 4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) A.A>B，sA>sB B.A<B，sA>sB C.A>B，sA<sB D.A<B，sA<sB 答案：B 解析：由题图知，A组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10，所以A＝＝，B＝＝，显然A<B.又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB. 5．(多选)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是(　　) A．甲地：中位数为2，极差为5 B．乙地：总体平均数为2，众数为2 C．丙地：总体平均数为1，总体方差大于0 D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3 答案：AD 解析：对于A，因为甲地中位数为2，极差为5，所以最大值不会大于2＋5＝7，故A正确；对于B，若乙地过去10日每日新增疑似病例数分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；对于C，若丙地过去10日每日新增疑似病例数分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；对于D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于×(8－2)2＝3.6>3，与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确．故选AD. 二、填空题 6．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12. 三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数． 甲：__________，乙：__________，丙：__________． 答案：众数　平均数　中位数 解析：对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求平均数可得，平均数＝(4＋6＋6＋6＋8＋9＋12＋13)÷8＝8，故运用了平均数；对丙分析：共8个数据，最中间的是7和9，故其中位数是8，即运用了中位数． 7．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________． 答案：91 解析：由题意，得 即 解得或所以xy＝91. 8．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________． 答案：0.9　 解析：设这40个数据为xi(i＝1，2，…，40)，平均数为，则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]＝×[x＋x＋…＋x＋402－2(x1＋x2＋…＋x40)]＝×＝×＝0.9.∴s＝＝＝. 三、解答题 9．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动． 高中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩(满分为100分)如下表所示： 年级 决赛成绩(单位：分) 高一年级 80　86　88　80　88　99　80　74　91　79 高二年级 85　85　87　97　85　76　88　77　87　88 高三年级 82　80　80　80　77　96　97　88　89　86 (1)请你填写下表： 年级 平均数 众数 中位数 高一年级 84.5 83 高二年级 85.5 85 高三年级 84 (2)请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析： ①从平均数和众数相结合看(分析哪个年级成绩好些)； ②从平均数和中位数相结合看(分析哪个年级成绩好些)． 解：(1) 年级 平均数 众数 中位数 高一年级 84.5 80 83 高二年级 85.5 85 86 高三年级 85.5 80 84 (2)①∵平均数都相差不大，高二年级的众数最高，∴高二年级的成绩好一些； ②∵平均数都相差不大，高二年级的中位数最高，∴高二年级的成绩好一些． 10．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环保日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表： 每户丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5 户数 10 10 20 10 (1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数； (2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差． 解：(1)由图表可得，平均数＝×(2×10＋3×10＋4×20＋5×10)＝3.6(个)． (2)s2＝×[10×(2－3.6)2＋10×(3－3.6)2＋20×(4－3.6)2＋10×(5－3.6)2]＝1.04. 11．某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班在一次数学测试中的成绩统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 标准差 高一(1)班 79 70 87 19.8 高一(2)班 79 70 79 5.2 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”； (2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议． 解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在25位以后，从位次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次测试上来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游． (2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数占一半左右，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者也多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助． 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数． 12．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的柱状图． 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若n＝19，求y与x的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 解：(1)当x≤19时，y＝3800； 当x>19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700. 所以y与x的函数解析式为 y＝(x∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000. 若每台机器在购机的同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4000×90＋4500×10)＝4050. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$