第6章 4.1 样本的数字特征-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦样本数字特征，系统讲解众数、中位数、平均数、方差等的计算与意义。通过衔接初中已学的集中趋势量，以“厂家产品寿命”问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合实例（如射击成绩比较、跑步爱好者周跑量分析）培养数学眼光与思维，通过表格梳理特征对比、步骤化计算总结，帮助学生用数学语言表达数据规律。既提升学生数据分析能力，也为教师提供系统教学资源。

§4　用样本估计总体的数字特征 4．1　样本的数字特征 　 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．如果给出一组具体数据x1，x2，…，xn，我们该如何计算呢？本节课让我们一起来探讨吧！ 1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差，并理解它们的意义和作用． 2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，作出合理解释和决策． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点　样本数字特征的计算 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12. 思考　三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 提示：三个厂家从不同角度进行说明，来宣传自己的产品，其中甲：众数8年；乙：平均数8年；丙：中位数8年． 返回导航 [知识梳理] 1．样本的数字特征 平均值 返回导航 类别 概念或计算公式 特征或作用 中 位 数 一般地，将样本数据按________的顺序排列后，“中间”的那个数据 使样本数据被分成的两部分的数据量是________的，不受少数极端数据的影响 众 数 样本数据中出现次数最________的数据 体现了样本数据的最大集中点 极 差 样本数据中最大值和最小值的差 能粗略地刻画样本数据的离散程度 从小到大 一样 多 返回导航 返回导航 2.众数、中位数、平均数的比较 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征 中位数 ①不受少数极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 返回导航 名称 优点 缺点 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据的信息 任何一个数据的改变都可能会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 返回导航 B 返回导航 2．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为(　　) A.5 B．6 C．4 D．5.5 B 返回导航 3．已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为________． 2 返回导航 4．(2026·济源月考)若数据x1，x2，x3，…，x12的方差为9，则数据2x1－2 026，2x2－2 026，2x3－2 026，…，2x12－2 026的方差为________． 36 返回导航 感悟提升 返回导航 感悟提升 返回导航 应用点一　样本数字特征的应用 [例1] 如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次． (1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； 返回导航 【解】　甲、乙两人的射击成绩统计如下表： 环数 6 7 8 9 10 甲命中次数 0 0 2 2 2 乙命中次数 0 1 0 3 2 返回导航 (2)请用学过的统计知识对甲、乙两人这次的射击情况进行比较． 返回导航 感悟提升 (1)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定． (2)对实际问题的分析评价，不仅要依据单个样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯． 返回导航 C [跟踪训练1] 16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　) A．平均数　　　　　　　 B．极差 C．中位数 D．方差 解析：判断能否进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数． 返回导航 应用点二　数字特征与统计图表的交汇问题 [例2] 某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1 000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表及频率分布直方图． 周跑量km/周) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50) [50，55] 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 返回导航 (1)补全该市1 000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； 【解】　补全该市1 000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下： 返回导航 (2)根据以上图表数据，试求样本的中位数及众数(保留一位小数)； 返回导航 (3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格，如下表： 周跑量 小于20 km 20 km到40 km 不小于40 km 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格(单位：元) 2 500 4 000 4 500 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？ 返回导航 返回导航 感悟提升 频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)在频率分布直方图中，最高的小矩形底边中点的横坐标为众数的估计值； (2)在频率分布直方图中，用中位数左边和右边的小矩形的面积和是相等的估计中位数的值； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，其估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 返回导航 [跟踪训练2] 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图．   则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55，75)的人数是__________； 解析：(0.04×10＋0.025×10)×20＝13. 13 返回导航 (2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为__________； 解析：因为0.2＋0.4>0.5，所以中位数一定在[55，65)之间，设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5. (3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为__________． 解析：平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64. 62.5 64 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 30 B 1．(教材P168例1改编)空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数．某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为70，71，69，70，72，70，68，72，这一时段整点空气质量指数的众数是(　　) A．69 B．70 C．71 D．72 解析：将数据按由小到大排序得：68，69，70，70，70，71，72，72，显然数据70出现次数最多，所以空气质量指数的众数是70.故选B. 返回导航 2．下列统计量中，能更好地度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(　　) A．样本x1，x2，…，xn的众数 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的标准差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数 解析：众数、中位数是反映数据的集中趋势的量；平均数是反映数据的平均水平及集中趋势的量；能更好地反映一组数据离散程度的是标准差．故选C. C 返回导航 3．(教材P181T6改编)某校从参加高一年级期末测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． 则这次测试数学成绩的众数、中位数、平均数分别为__________，__________，___________．(结果保留1位小数) 75.0 73.3 72.0 返回导航 返回导航 4．(教材P181T7改编)从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩(单位：分)分成六段(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数a的值； 解：由题意得10×(0.005＋0.010×2＋0.020＋0.025＋a)＝1，解得a＝0.030. 返回导航 (2)若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数； 解：成绩不低于80分的频率为(0.025＋0.010)×10＝0.35， 故估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为600×0.35＝210. 返回导航 (3)估计该校高一年级数学检测成绩的中位数． 解：(0.005＋0.010＋0.020)×10＝0.35＜0.5，(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65＞0.5， 故中位数落在[70，80)内，设中位数为x，则0.35＋(x－70)×0.030＝0.5，解得x＝75， 故估计该校高一年级数学检测成绩的中位数为75. 返回导航 课堂小结 1．已学习：众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算． 2．须贯通：根据具体数据和频率分布直方图求众数、中位数、平均数、极差、方差等，解决生活决策问题． 3．应注意：未对数据排序导致求中位数错误；方差与标准差计算错误． 返回导航 类别 概念或计算公式 特征或作用 平 均 数 样本数据的________ ＝__________________ 反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值敏感 (x1＋x2＋…＋xn) 类别 概念或计算公式 特征或作用 方 差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 能较好地刻画样本数据偏离平均数的离散程度，标准差、方差越小，数据的离散程度越小 标准 差 s＝ 解析：由题图知，众数为＝75.0.设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为 0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，则0.4＋(x－70)×0.03＝0.5，所以x≈73.3. $