第七章 概率 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第七章　概率 章末总结 知识系统整合 规律方法收藏 学科素养培优 目录 知识系统整合 堵点自记：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 知识系统整合 4 规律方法收藏 1．随机事件在现实世界中是广泛存在的，要注意结合生活实例，分析何为必然事件、不可能事件和随机事件，要充分理解概率的意义，并学会解释生活中的一些常见的概率问题，把自己所学的概率知识应用到实际生活中去． (1)对随机事件的理解应包括的两个方面 ①随机事件是指一定条件下出现的某种结果，即随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件在相同的条件下进行研究； ②随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事件的发生是有规律的． 规律方法收藏 6 (2)频率与概率的联系与区别 ①随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值．它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，但随着试验次数的不断增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫作这个事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．在大量重复试验的前提下，可以用频率来估计这个事件的概率； ②频率是反映事件发生的频繁程度，是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是反映事件发生的可能性的大小，是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值． 规律方法收藏 7 (3)要辩证地看待“随机事件”“不可能事件”“必然事件”．一个随机事件的发生，既有随机性(对某次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性与必然性的对立统一． (4)互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除了要求这两个事件不能同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． 规律方法收藏 8 规律方法收藏 9 4．利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以判定两个事件是否相互独立，这是用定量方法进行分析的定量计算，可以较为准确、果断地判断两个事件是否相互独立．因此我们必须熟练掌握这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间有一定的关系，也就是若两个事件相互独立，则一定不能互斥(对立)；反之，若两个事件互斥(对立)，则不能相互独立． 5．本章用到较多的是化归思想，而化归思想是数学中最基本的思想方法之一，在数学研究和学习中有着广泛的应用，化归的核心是把一个生疏复杂的问题转化为熟悉的问题． 规律方法收藏 10 学科素养培优 不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空．在互斥的基础上必有一个发生的是对立事件，互为对立的两个事件概率之和为1.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的关键． 其中互斥事件的加法概率公式可以推广到有限个事件，即如果事件A1，A2，…，An是两两互斥关系，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 一、互斥事件、对立事件及其概率 学科素养培优 12 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2， 现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查 结果如下： (1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 学科素养培优 13 解 (1)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 (2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由(1)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， 因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1； P(B1)＝1－0.2＝0.8，P(B2)＝1－0.1＝0.9， 因为P(B2)>P(B1)，所以乙应选择路径L2. 解 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 学科素养培优 14 古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础．在高考题中，经常出现此种概型的题目．用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的样本空间的样本点是否是等可能的，同时要弄清事件A所包含的等可能出现的结果(样本点)的个数． 二、古典概型 学科素养培优 15 学科素养培优 16 解 学科素养培优 17 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验． (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件A的概率． (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值． (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小． (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A) ≤1. 三、对于概率的统计定义应注意的几点 学科素养培优 18 对一批U盘进行抽检，结果如下表： (1)计算表中次品的频率(结果保留到小数点后三位)； (2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？ (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？ 学科素养培优 19 解　(1)表中次品频率从左到右依次为0.060，0.040，0.025，0.017，0.020，0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000， 因为x是正整数， 所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘． 解 学科素养培优 20 求复杂事件的概率一般可分为三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系，列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 四、独立事件与互斥事件综合问题的概率 学科素养培优 21 学科素养培优 22 解 学科素养培优 23 　　　　　　　　　　　　　 R 2．应用互斥事件的概率的加法公式时，要注意首先确定诸事件彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))求解． 3．对于古典概型概率的计算，关键是分清样本点总数n与事件中包含的样本点数m，有时需用列举法把样本点一一列举出来，再利用公式P(A)＝eq \f(m,n)求出事件的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏． (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为eq \f(1,4)，停车付费多于12元的概率为eq \f(7,12)，求甲停车付费恰为5元的概率； (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车付费之和为38元的概率． 解　(1)设“甲停车付费恰为5元”为事件A， 则P(A)＝1－eq \f(1,4)－eq \f(7,12)＝eq \f(1,6). 所以甲停车付费恰为5元的概率是eq \f(1,6). (2)甲停车付费a元，乙停车付费b元．其中a，b＝5，12，19，26. 则甲、乙两人的停车费用构成的样本空间的样本点为(5，5)，(5，12)，(5，19)，(5，26)，(12，5)，(12，12)，(12，19)，(12，26)，(19，5)，(19，12)，(19，19)，(19，26)，(26，5)，(26，12)，(26，19)，(26，26)，共16种情形． 其中(12，26)，(19，19)，(26，12)这3种情形符合题意． 故“甲、乙两人停车付费之和为38元”的概率为P＝eq \f(3,16). 抽出件数a 50 100 200 300 400 500 次品件数b 3 4 5 5 8 9 次品频率eq \f(b,a) (4,5)INCLUDEPICTURE"灰典例4.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\539数学（必修第一册导学案（北师\\灰典例4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\赵娜\\539数学（必修第一册导学案（北师\\灰典例4.TIF" \* MERGEFORMATINET 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，eq \f(3,5)，eq \f(2,5)，eq \f(1,5)，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 解　(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1，2，3，4)，则P(A1)＝eq \f(4,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(A3)＝eq \f(2,5)，P(A4)＝eq \f(1,5)， ∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率 P1＝P(A1A2A3eq \o(A,\s\up12(－))4) ＝P(A1)P(A2)P(A3)P(eq \o(A,\s\up12(－))4) ＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(96,625). (2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P2＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1＋A1eq \o(A,\s\up12(－))2＋A1A2eq \o(A,\s\up12(－))3) ＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1)＋P(A1)P(eq \o(A,\s\up12(－))2)＋P(A1)P(A2)P(eq \o(A,\s\up12(－))3) ＝eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(101,125). $$