第7章 章末复习课 概率（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学章末复习课件系统梳理了随机事件及其概率的核心内容，通过知识网络将随机现象、有限样本空间、随机事件等知识串联，明确互斥与对立事件、古典概型等概念的逻辑关系，帮助学生构建完整知识体系。 其特色在于“概念辨析-例题解析-跟踪训练-反思感悟”的递进式设计，结合车主保险、高考调查等实际情境题，培养数学抽象、数据分析和逻辑推理素养，分层训练满足不同学生需求，助力教师高效开展针对性复习，提升知识巩固效果。

章末复习课 第七章　概率 <<< 知识网络 一、互斥事件与对立事件 二、古典概型 三、频率与概率 内容索引 四、相互独立事件 互斥事件与对立事件 一 1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况. 2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； 例 1 记A表示事件“该车主购买甲种保险”；B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”. 由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. 解 6 (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 因为D与C是对立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 解 7 求复杂事件的概率常用的两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和. (2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解. 反 思 感 悟 8 一个袋子中装有一定数量的红、绿玻璃球，从中不放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为　　　　.  跟踪训练 1 由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事 件，则至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－. 解析 9 二 古典概型 1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用 公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本 空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 2.掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如表： (1)请将表格补充完整，若该地区共有教师30 000人，以频率为概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数； 例 2   赞成 反对 合计 教师 120     学生   40   合计 280 120   12 表格补充如右： 故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统 一命题的试卷”这一看法的人数为30 000× ＝12 000. 解   赞成 反对 合计 教师 120 80 200 学生 160 40 200 合计 280 120 400 13 (2)采用分层随机抽样的方法从“反对”的人中先抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率. 由分层随机抽样可知，所抽取的6人中有2名学生，记为a，b，4名教师记为1，2，3，4，随机选出3人进行深入调研，不同选法有(a，b，1)，(a，b，2)，(a，b，3)，(a，b，4)，(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共20种， 恰有1名学生的选法有(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，共12种， 故深入调研中恰有1名学生的概率P＝. 解 15 古典概型概率计算问题的关注点 (1)判断：该试验类型是否为古典概型问题. (2)关键：写出样本空间所包含的样本点及所求事件所包含的样本点. (3)注意：①弄清“放回”抽取还是“不放回”抽取； ②灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式. 反 思 感 悟 16 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表所示：(单位：人) 跟踪训练 2   参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； 17 由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)， 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P＝. 解 18 (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.   参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 19 从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点. 根据题意这些样本点出现的可能性相等.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个. 所以其概率为P＝. 解 20 三 频率与概率 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. 2.掌握频率与概率的关系，在具体的问题中会用频率估计概率，进一步提升数据分析与数学运算的核心素养. 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 例 3 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 23 (1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值； 事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 ＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. 解 24 (2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值； 事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年 内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. 解 25 (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 由所给数据得 解 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 26 频率与概率问题的关注点 (1)依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率. (2)频率的计算公式为频率＝，其中m是事件出现的频数， n为重复试验次数. 反 思 感 悟 27 (多选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买. 根据表中数据，下列结论正确的是 A.顾客购买乙商品的概率最大 B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商 品的概率约为0.3 D.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2 跟踪训练 3 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × √ √ √ 28 对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误； 对于B，∵从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买 了乙和丙，∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2，故B正确； 对于C，∵从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，∴顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 ＝0.3，故C正确； 对于D，∵从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，∴顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2，故D正确. 解析 29 相互独立事件 四 1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解. 2.掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6，0.4，0.5，0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手被淘汰的概率； 例 4 32 设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1，2，3，4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2. 方法一　该选手被淘汰的概率为 P＝P(∪A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P()＋P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()＋P(A1)P(A2)P(A3)P()＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976. 方法二　P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)·P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976. 解 33 (2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率. 方法一　所求概率P＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3)＝P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()＋P(A1)P(A2)P(A3)P()＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576. 方法二　所求概率P＝1－P()－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576. 解 34 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和. (2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件. (3)代入概率的积、和公式求解. 反 思 感 悟 35 挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想被录取需要通过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析，甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响. (1)求甲被录取成为空军飞行员的概率； 跟踪训练 4 36 设甲、乙、丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，甲、乙、丙三位同学分别通过文考为事件D，E，F，可得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.75，P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.4. 由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率P＝1×1×P(A)×P(D)× 1＝1×1×0.5×0.6×1＝0.3. 解 37 (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率. 由题意，甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检，即为事件A∪B∪C， 利用相互独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275. 解 38 第七章　概率 <<< $