第六章 统计 章末总结-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　统计 章末总结 知识系统整合 规律方法收藏 学科素养培优 目录 知识系统整合 堵点自记：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 知识系统整合 4 规律方法收藏 1．抽样方法的选择和设计 本章学习了比较典型和常用的抽样方法：简单随机抽样、分层随机抽样，它们的共同点：①都是不放回抽样；②在抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，体现了抽样的客观性和公平性． (1)抽样方法的要点 ①简单随机抽样：是抽样中一个最基本的方法——逐一不放回地抽取．一次抽取所有样本和抽取样本检查后放回样本都不是简单随机抽样． ②分层随机抽样：将总体分成若干层，在各层中按照该层个体数在总体中所占比例随机抽取一定的样本． 规律方法收藏 6 (2)抽样方法应用的注意点 ①抽签法中，注意使用已有编号，号签形状、大小一致，搅拌均匀；随机数法中，首先对个体所编号码位数要相同，当题目所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数，其次是注意编号去重，即舍去抽中的相同编号． 规律方法收藏 7 规律方法收藏 8 (3)抽样方法的适用原则 ①看总体是否由差异明显的几个部分组成．若是，则选用分层随机抽样；否则，考虑用简单随机抽样． ②看总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数法． (4)抽样方法的设计 设计抽样方法时，最核心的问题就是要考虑如何使抽取的样本具有代表性，为此在设计抽样方法时，充分利用对总体情况的了解是非常重要的． 规律方法收藏 9 2．用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，因此我们可通过获取样本数据，分析样本的分布和数字特征，进而对总体作出估计． (1)估计总体的分布 ①样本的分布以图表的形式给出，常见的统计图表有频率分布表、频率分布直方图，两者的优缺点如下： 规律方法收藏 10 表示样本 分布的方法 优点 缺点 频率分布表 在数量表示上比较确切 不够直观、形象，损失了样本的一些信息，分析数据分布的总体情况不够方便 频率分布 直方图 能够很容易地表示大量数据，非常直观地表示数据分布的情况，使我们能够看到在频率分布表中看不清楚的数据模式 从直方图本身不能得出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的数据信息被抹掉了 规律方法收藏 11 规律方法收藏 12 ①一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况． ②若两组数据的平均数差别很大，也可以仅比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断． 需要注意的是：通过样本数据的统计图表和数字特征，我们能够估计总体的信息，而且样本容量越大，这种估计也就越精确．当样本数据发生变化时，总体的这些信息不会变化． 规律方法收藏 13 学科素养培优 随机抽样方法有简单随机抽样、分层随机抽样两种． 一、抽样方法的选取及应用 学科素养培优 15 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案 解析 学科素养培优 16 问题：①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会．方法：a.简单随机抽样；b.分层随机抽样．则问题与方法配对正确的是(　　) A．①a，②b B．①b，②b C．①a，②a D．①b，②a 解析 问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层随机抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．故匹配正确的是D. 答案 解析 学科素养培优 17 样本的数字特征可分为两大类，一类反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数；另一类反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征．有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点． 二、用样本的数字特征估计总体的数字特征 学科素养培优 18 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示． (1)填写下表： 平均数 中位数 命中9环及以上 甲 7 ________ 1 乙 _______ ________ 3 学科素养培优 19 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①结合平均数和方差，分析偏离程度； ②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些； ③结合平均数和命中9环以上的次数，看谁的成绩好些； ④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力． 学科素养培优 20 解 平均数 中位数 命中9环及以上 甲 7 7 1 乙 7 7.5 3 学科素养培优 21 解 学科素养培优 22 (1)函数思想是中学数学中最重要的基本思想，也是高考考查的重点，函数思想是统计中把握数据、用数据说话的有力工具． (2)方程思想是一种重要的数学思想，当一个问题可能与某个方程有关联时，可尝试构造方程解决该问题． 三、函数与方程思想 学科素养培优 23 已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，若要使该样本的方差最小，则a，b的值分别为(　　) A．9.5，11.5 B．10.5，9.5 C．10.5，10 D．10.5，10.5 答案 学科素养培优 24 解析 学科素养培优 25 经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比“不喜欢”的多12人，按分层随机抽样法从全班选出部分学生参加摄影座谈会，其中5位“喜欢”摄影，1位“不喜欢”摄影，3位持“一般”态度．那么全班学生中“喜欢”摄影的人数为____． 答案 解析 30 学科素养培优 26 数形结合思想是数学中重要的思想方法，在解决有关统计问题时，其作用尤为突出，常结合统计图提取信息．例如，由频率分布直方图可得出相应的频率、频数等． 四、数形结合思想 学科素养培优 27 以下三个图表，表示的都是某工厂在一到三月的生产产值情况，那么其中图表________表示的前三个月的产值最高． 答案 学科素养培优 28 解析　A表示一月份的产值是10万元，二月份的产值是20万元，三月份的产值是30万元，前三个月的产值合计是60万元；B表示一月末的产值是10万元(还不一定是一月份的产值，也可能是从头一年某个时间起累积的产值)，二月末的产值是20万元(也就是说二月份的产值是10万元)，三月末的产值是30万元(也就是说三月份的产值是10万元)，这样计算下来，前三个月的产值最多也就30万元；C表示一月份的产值增长了10万元(不考虑出现负产值的情况，则一月份的产值至少有10万元)，二月份的产值则在一月份产值的基础上增长了20万元(二月份的产值至少有30万元)，而三月份的产值则在二月份产值的基础上增长了30万元(三月份的产值至少有60万元)．由此可见，前三个月的产值至少有100万元；综上可知，C对应的产值最高，故填C. 解析 学科素养培优 29 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]． (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； 学科素养培优 30 (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数． 分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 解　(1)依题意，得10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1， 解得a＝0.005. (2)这100名学生语文成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73. 解 学科素养培优 31 解 学科素养培优 32 　　　　　　　　　　　　　 R ②分层随机抽样中，根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整．如某中学高中学生有900名，为了考察他们的体重情况，打算抽取一个容量为45的样本．已知高一有402名学生，高二有296名学生，高三有202名学生．采用分层随机抽样，样本容量与总体容量的比为45∶900＝1∶20，则应从这三个年级中抽取的学生数分别为eq \f(402,20)＝20.1；eq \f(296,20)＝14.8；eq \f(202,20)＝10.1，而学生人数只能是整数，对以上结果进行适当调整，应从三个年级中分别抽取20名，15名，10名学生． ②频率分布直方图中相关计算的常用结论 a．图中小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率． b．所有小矩形的面积之和为1. (2)估计总体的数字特征 通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计． 解析　分层随机抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本．设从高二年级抽取的学生数为n，则eq \f(30,40)＝eq \f(6,n)，解得n＝8. 解　(1)甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9， ∴其中位数为7环． 乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， ∴eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7(环)． 乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10， ∴其中位数是eq \f(7＋8,2)＝7.5(环)． 于是填充后的表格，如下所示： (2)seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1.2， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝5.4. ①甲、乙的平均数相同，均为7，但seq \o\al(2,甲)<seq \o\al(2,乙)，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大． ②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙的射靶成绩好些． ③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环及以上的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好． ④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力． 解析　因为样本数据共有10个，且中间两个数为a，b，所以eq \f(a＋b,2)＝10.5，即b＝21－a. 因为平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13＋19＋20)÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小． 又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，所以当a＝－eq \f(－42,2×2)＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10.5. 解析　设班里持“喜欢”态度的有y人，持“一般”态度的有x人，则持“不喜欢”态度的有(x－12)人．由题意得eq \f(x－12,x)＝eq \f(1,3)，解得x＝18.又eq \f(y,18)＝eq \f(5,3)，所以y＝30.故全班学生中“喜欢”摄影的人数为30. (3)数学成绩在[50，60)的人数为100×0.05＝5， 数学成绩在[60，70)的人数为100×0.4×eq \f(1,2)＝20， 数学成绩在[70，80)的人数为100×0.3×eq \f(4,3)＝40， 数学成绩在[80，90)的人数为100×0.2×eq \f(5,4)＝25. 所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10. $$