第六章 统计 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　单元质量测评 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某学校高一、高二、高三学生分别有200人、250人、300人．为了解各年级学生在课余时间安排方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取60人进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　) A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样法 D．以上都不对 时间：120分钟　　　满分：150分 解析：根据各个抽样方法的适用原则即可作出判断． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1，2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　) A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 解析：根据题中的统计图知该地区中小学生一共有10000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10000×2%＝200.由于高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 3．一个容量为20的样本数据，分组后各组对应的频数如下表所示： 则总体在区间(－∞，50)上的频率为(　　) A．0 B．0.25 C．0.6 D．0.7 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 频数 2 3 4 5 4 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 4．从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．现从如下随机数表中第2行第8列的数8开始往右读数(三位三位地读)，则抽取的第4件产品的编号是(　　) 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954 A．169 B．556 C．671 D．105 解析：找到第2行第8列的数8，开始往右读数，每次读取三位，超过800的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从而抽取的前4件产品的编号依次是169，556，671，105.故抽取的第4件产品的编号是105. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 5．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg B．100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间 亩产量 [900，950) [950，1000) [1000，1050) [1050，1100) [1100，1150) [1150，1200) 频数 6 12 18 30 24 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 7．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层随机抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂抽取的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1020 h，1032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为(　　) A．1013 h B．1014 h C．1016 h D．1022 h 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 8．从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为(　　) A．125，125 B．125.1，125 C．124.5，124 D．125，124 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．一组数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的平均值为7，方差为4，记3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均值为a，方差为b，则(　　) A．a＝7 B．a＝11 C．b＝12 D．b＝9 解析：因为2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的平均值为7，方差为4，所以x1，x2，x3，…，xn的平均值为(7－1)÷2＝3，方差为4÷22＝1，所以3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均值a＝3×3＋2＝11，方差b＝32×1＝9. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 10．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是分层抽样 B．这5名男生成绩的20%分位数是87分 C．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 11．某学校为了调查学生一周在生活方面的支出 情况，抽取了一个样本，其频率分布直方图如图所示， 其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确 的是(　　) A．样本中支出不少于40元的人数为132 B．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03 C．估计该校学生一周在生活方面的平均支出为43.6元 D．若该校有2000名学生，则一定有600人一周在生活方面的支出在[50，60)元内 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是____________________________． 分层随机抽样、简单随机抽样 解析：由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层随机抽样．在丙地区中有20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13．某公司准备推出一项管理新措施，为了解公司职员对新措施的支持情况，设置了支持、不支持、无所谓三种态度，对本公司300名职工进行调查后，相关数据统计在如下表格中： 现从300名职工中用分层随机抽样的方法抽取30名座谈，则抽取持“支持”态度的男职员的人数是_____． 12 答案 支持 不支持 无所谓 男职员 m 40 50 女职员 60 10 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 解析 支持 不支持 无所谓 男职员 m 40 50 女职员 60 10 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 14．某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10000名考生中用分层随机抽样的方法抽取500名，并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则这10000名考生中数学成绩在[140，150](单位：分)段的约有______名． 800 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)某年春节前，公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍询问，询问结果如图所示： 用分层随机抽样的方法对被询问了省籍的 驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四川 籍的应抽取几人？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 16．(本小题满分15分)某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表(分数均为整数，满分为100分)： 请根据表中提供的信息，解答下列问题： (1)参加这次演讲比赛的同学共有多少人？ (2)已知成绩在91～100分的同学为优秀者，那么优秀率是多少？ (3)所有参赛同学的平均得分M在什么范围内？ 分数段 61～70 71～80 81～90 91～100 人数/人 2 8 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 解 分数段 61～70 71～80 81～90 91～100 人数/人 2 8 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 17．(本小题满分15分)某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土块，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下表所示： (1)分别求出甲、乙品种棉花亩产量的中位数和20%分位数； (2)判断甲、乙两品种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由． 甲 95 107 105 102 111 乙 103 103 98 106 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 18．(本小题满分17分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 8 0.16 [70，80) 10 0.20 [80，90) 16 0.32 [90，100] 合计 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 8 0.16 [70，80) 10 0.20 [80，90) 16 0.32 [90，100] 合计 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 解 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 8 0.16 [70，80) 10 0.20 [80，90) 16 0.32 [90，100] 合计 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 33 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 34 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 19．(本小题满分17分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能使每瓶的含量都不是标准的含量，我们随机抽出了20瓶，测得它们的含量(单位：百毫升)如下： 12．1　11.9　12.2　12.2　12.0　12.1　12.9　12.1 12．3　12.5　11.7　12.4　12.3　11.8　11.3　12.1 11．4　11.6　11.2　12.2 (1)根据数据列出频率分布表，画出频率分布直方图； (2)计算出这组数据的平均数和标准差(结果精确到0.01)； (3)结合(1)(2)的结果，根据实际意义对总体情况作出估计． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 36 解：(1)频率分布表如下： 频率分布直方图如图所示． 解 分组 频数 频率 [11.0，11.5) 3 0.15 [11.5，12.0) 4 0.20 [12.0，12.5) 11 0.55 [12.5，13.0] 2 0.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 37 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 38 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：由表可知样本在区间(－∞，50)上的频数只包含[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)四个分组，因此频数为2＋3＋4＋5＝14，相应频率为eq \f(14,20)＝0.7.根据样本的频率分布估计总体分布的思想，估计总体在区间(－∞，50)上的频率为0.7. 解析：对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50，所以亩产量的中位数不小于1050 kg，故A错误；对于B，亩产量不低于1100 kg的频数为24＋10＝34，所以低于1100 kg的稻田占比为eq \f(100－34,100)＝66%，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为1200－900＝300，最小为1150－950＝200，故C正确；对于D，由频数分布表可得，亩产量的平均值为eq \f(1,100)×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067，故D错误．故选C. 6．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差seq \o\al(2,甲)，seq \o\al(2,乙)，seq \o\al(2,丙)的大小关系是(　　) A．seq \o\al(2,丙)>seq \o\al(2,乙)>seq \o\al(2,甲) B．seq \o\al(2,甲)>seq \o\al(2,丙)>seq \o\al(2,乙) C．seq \o\al(2,丙)>seq \o\al(2,甲)>seq \o\al(2,乙) D．seq \o\al(2,乙)>seq \o\al(2,丙)>seq \o\al(2,甲) 解析：由甲图可知，eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,42)×(3×6＋4×6＋5×6＋6×6＋7×6＋8×6＋9×6)＝6，seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,42)×[6×(3－6)2＋6×(4－6)2＋6×(5－6)2＋6×(6－6)2＋6×(7－6)2＋6×(8－6)2＋6×(9－6)2]＝4；由乙图可知，eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,42)×(3×3＋4×5＋5×8＋6×10＋7×8＋8×5＋9×3)＝6，seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,42)×[3×(3－6)2＋5×(4－6)2＋8×(5－6)2＋10×(6－6)2＋8×(7－6)2＋5×(8－6)2＋3×(9－6)2]≈2.62； 由丙图可知，eq \o(x,\s\up6(－))丙＝eq \f(1,42)×(3×8＋4×5＋5×3＋6×10＋7×3＋8×5＋9×8)＝6，seq \o\al(2,丙)＝eq \f(1,42)×[8×(3－6)2＋5×(4－6)2＋3×(5－6)2＋10×(6－6)2＋3×(7－6)2＋5×(8－6)2＋8×(9－6)2]≈4.52.故seq \o\al(2,丙)>seq \o\al(2,甲)>seq \o\al(2,乙)，选C. 解析：解法一：由分层随机抽样的知识可知，从第一、二、三分厂抽取的电子产品数量分别为25件、50件、25件，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为eq \f(1,100)×(980×25＋1020×50＋1032×25)＝1013(h)． 解法二：因为第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，所以可以根据各层抽取样本数量所占的比例计算抽取的100件产品的使用寿命的平均值(加权平均值)为eq \f(1,4)×(980＋2×1020＋1032)＝1013(h)． 解析：由题图可知，(a＋a－0.005)×10＝1－(0.01＋0.015＋0.03)×10，解得a＝0.025，则eq \o(x,\s\up6(－))＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x＝124，故选D. 解析：若抽样方法是分层随机抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错误；这5名男生成绩的20%分位数是eq \f(86＋88,2)＝87(分)，所以B正确；这5名男生成绩的平均数eq \o(x,\s\up6(－))1＝eq \f(86＋94＋88＋92＋90,5)＝90(分)，这5名女生成绩的平均数eq \o(x,\s\up6(－))2＝eq \f(88＋93＋93＋88＋93,5)＝91(分)，故这5名男生成绩的方差为eq \f(1,5)×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这5名女生成绩的方差为eq \f(1,5)×[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于该班女生成绩的平均数，所以C正确，D错误． 解析：样本中支出在[50，60)元的频率为 1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故B错误； 样本中支出不少于40元的人数为eq \f(0.036,0.03)×60＋ 60＝132，故A正确；估计该校学生一周在生活 方面的平均支出为10×(25×0.01＋35×0.024＋45×0.036＋55×0.03)＝43.6元，故C正确；若该校有2000名学生，则可能有0.3×2000＝600(人)支出在[50，60)元，故D错误．故选AC. 解析：由题意知，抽样比为eq \f(30,300)＝eq \f(1,10).由表格数据知，m＝300－40－50－60－10－20＝120，所以抽取持“支持”态度的男职员的人数为120×eq \f(1,10)＝12. 解析：设500名考生中数学成绩在[140， 150]段的人数为x，10000名考生中数学成绩 在[140，150]段的人数为n.由样本频率分布直 方图知数学成绩在[140，150]段的频率是相应 小矩形的面积，即0.008×10＝0.08＝eq \f(x,500)，∴x＝40.又eq \f(500,10000)＝eq \f(1,20)，即每组抽取的比例为eq \f(1,20)，∴eq \f(1,20)＝eq \f(40,n)，解得n＝800，因此10000名考生中数学成绩在[140，150]段的约有800名． 解：从题图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)． 设四川籍的驾驶人员应抽取x人， 依题意，得eq \f(5,100)＝eq \f(x,40)， 解得x＝2， 即四川籍的应抽取2人． 解：(1)参加这次演讲比赛的同学共有2＋8＋6＋4＝20(人)． (2)成绩在91～100分的人数为4人，故优秀率为eq \f(4,20)＝20%. (3)所有参赛同学的平均得分M的最小值为eq \f(1,20)×(61×2＋71×8＋81×6＋91×4)＝77， 所有参赛同学的平均得分M的最大值为eq \f(1,20)×(70×2＋80×8＋90×6＋100×4)＝86. 故所有参赛同学的平均得分M的取值范围是77≤M≤86. 解：(1)由题意可得甲品种棉花的亩产量的中位数为105，20%分位数为eq \f(95＋102,2)＝98.5；乙品种棉花的亩产量的中位数为103，20%分位数为eq \f(98＋103,2)＝100.5. (2)乙品种棉花亩产量更稳定，理由如下： 甲品种棉花的平均亩产量为eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,5)×(95＋102＋105＋107＋111)＝104， 方差为seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(95－104)2＋(102－104)2＋(105－104)2＋(107－104)2＋(111－104)2]＝28.8. 乙品种棉花的平均亩产量为eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,5)×(98＋103＋103＋106＋110)＝104， 方差为seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(98－104)2＋(103－104)2＋(103－104)2＋(106－104)2＋(110－104)2]＝15.6. 因为seq \o\al(2,甲)>seq \o\al(2,乙)，所以乙品种棉花的平均亩产量更稳定． (1)完成频率分布表； (2)不具体计算eq \f(频率,组距)，补全如图所示的频率分布直方图； (3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． 解：(1)eq \f(4,0.08)＝50， 即样本容量为50. 第五组的频数为50－4－8－10－16＝12， 从而第五组的频率为eq \f(12,50)＝0.24. 又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格(从左至右，从上至下)应分别填12，0.24，50，1. (2)根据小矩形的高与频数成正比，设第一个小矩形的高为h1，第二个小矩形的高为h2，第五个小矩形的高为h5. 由等量关系得eq \f(h1,h2)＝eq \f(4,8)，eq \f(h1,h5)＝eq \f(4,12)， 所以h2＝2h1，h5＝3h1. 这样即可补全频率分布直方图，如图． (3)50名学生竞赛的平均成绩为eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×95,50) ≈80(分)． 利用样本估计总体的思想估计这900名学生竞赛的平均成绩约为80分． (2)平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,20)×(12.1＋11.9＋12.2＋…＋12.2)≈12.02. 标准差s≈eq \r(\f(（12.1－12.02）2＋（11.9－12.02）2＋…＋（12.2－12.02）2,20))≈0.41. (3)标准差相对于平均数来说比较小．从频率分布直方图中可以看出，每瓶的含量大致位于1150毫升到1250毫升之间，因此判断装瓶机工作稳定． $$