专题4.6 一次函数（八大知识点十一类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.6 一次函数（八大知识点十一类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【知识点2】一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 【知识点3】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 【知识点4】一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点5】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点6】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点7】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点8】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 题型目录 【题型1】函数的概念........................................................4; 【题型2】函数解析式及自变量取值范围........................................4； 【题型3】一次函数的概念....................................................4； 【题型4】一次函数的图象与性质..............................................5； 【题型5】一次函数的与一元一次方程..........................................6； 【题型6】一次函数的与几何综合..............................................7； 【题型7】一次函数的与将军饮马问题..........................................8； 【题型8】一次函数规律探索问题..............................................9； 【题型9】一次函数的应用...................................................10; 【题型10】直通中考........................................................11; 【题型11】拓展延伸........................................................12. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】函数的概念 【例1】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是 （填写所有正确的序号） 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2015·四川广安·中考真题）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（　　） A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y= D．y= 【题型2】函数解析式及自变量取值范围 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）函数中的常量是 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海·单元测试）现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【题型3】一次函数的概念 【例3】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为 ． 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【题型4】一次函数的图象与性质 【例4】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【变式1】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 【变式2】（22-23八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（        ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．一次函数的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【题型5】一次函数的与一元一次方程 【例5】（22-23八年级上·河南郑州·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； （2）观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； （3）进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　）    A． B． C． D．都不对 【变式2】（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为 ． 【题型6】一次函数的与几何综合 【例6】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．   （1）在轴上存在点，使得，求点的坐标； （2）在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．    【题型7】一次函数的与将军饮马问题 【例7】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． （1）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； （2）若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 【题型8】一次函数规律探索问题 【例8】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·江西宜春·期末）直线（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，当k分别为时，则（　　） A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638 【变式2】（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【题型9】一次函数的应用 【例9】（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 【变式1】（2022·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【变式2】（2024·全国·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 时． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2023·内蒙古·中考真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息： ①； ②； ③点从点运动到点需要； ④矩形纸板裁剪前后周长均为． 其中正确信息的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【题型11】拓展延伸 【例1】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 一次函数（八大知识点十一类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【知识点2】一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 【知识点3】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 【知识点4】一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点5】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点6】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点7】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点8】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 题型目录 【题型1】函数的概念........................................................4; 【题型2】函数解析式及自变量取值范围........................................5； 【题型3】一次函数的概念....................................................6； 【题型4】一次函数的图象与性质..............................................7； 【题型5】一次函数的与一元一次方程.........................................11； 【题型6】一次函数的与几何综合.............................................14； 【题型7】一次函数的与将军饮马问题.........................................18； 【题型8】一次函数规律探索问题.............................................22； 【题型9】一次函数的应用...................................................26; 【题型10】直通中考........................................................28; 【题型11】拓展延伸........................................................31. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】函数的概念 【例1】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是 （填写所有正确的序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了函数的概念．根据函数的定义判断即可． 解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数， ∴①②③不符合定义，④符合定义， 故答案为：④． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断． 解：、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数． 故选：C 【变式2】（2015·四川广安·中考真题）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（　　） A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y= D．y= 【答案】C 解：A．，x为任意实数，故错误； B．，x为任意实数，故错误； C．，，即，故正确； D．，，即，故错误； 故选C． 考点：1．函数自变量的取值范围；2．在数轴上表示不等式的解集． 【题型2】函数解析式及自变量取值范围 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可． 解：∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为， ∴，整理得， 由等腰三角形可得 ， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为，定义域为， 故答案为：，． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）函数中的常量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了常量与变量，根据变量是改变的量，常量是不变的量，即可得出答案． 解：函数中的常量是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·上海·单元测试）现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据总本数减去借出的本数等于余下的本数，可得函数关系式，根据总本数除以每人借的本数，可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用了总本数减去借出的本数等于余下的本数． 解：∵现有300本图书借给学生阅读，每人5本 ∴余下的本数和学生人数之间的函数表达式为， 其中自变量是， 故答案为：，． 【题型3】一次函数的概念 【例3】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，关于y轴对称点的坐标特征等知识，解题的关键是： （1）设，把，代入求解即可； （2）利用轴对称性求出对称点的坐标，然后代入求解即可． （1）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴ （2）解：点关于轴的对称点为， ∵在的图象上， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据直线过点，得出，把代入方程，整理得出，根据，得出，求出x的值即可． 解：∵直线过点， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 【题型4】一次函数的图象与性质 【例4】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移是解题的关键． 由，可得，，则图象过第二、三、四象限，不过第一象限，可判断A的正误；当时，，即图象与y轴的交点坐标为，可判断B的正误；图象可由直线向下平移2个单位长度得到，可判断C的正误；随着的增大而减小，由，可得，可判断D的正误． 解：∵， ∴，， ∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求； 当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求； 图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求； 随着的增大而减小， ∵， ∴，D错误，故符合要求； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】此题考查了一次函数交点问题，一次函数的性质，根据一次函数的图象及交点分别判断即可得到答案，正确理解函数图象是解题的关键． 解：由图象得过一，二，三象限；过二，三，四象限； ∴, ∴随x的增大而减小，故①正确； 函数的图象不经过第二象限，故②正确； ∵两图象交点横坐标为， ∴ ∴，故③正确； 当时，，故 ∴，故④错误； 故正确的是①②③． 【变式2】（22-23八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（        ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．一次函数的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和图象求解即可． 解：A、把代入得：，解得：， ∴， 当时，，时，，如图所示，    ∴与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错； B、∵，∴， ∴一次函数y随x增大而增大，如图所示，    ∴若，则， ∴，故B错； C、假设一次函数不经过第三象限，则需，， 由B得：当时，， ∴一次函数的图象一定经过第三象限，故C错； D、当时，要想，则，解得：，即，如图所示，    当时，要想，则即可，如图所示，    综上所述：k的取值范围是或，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，灵活运用所学知识是关键． 【题型5】一次函数的与一元一次方程 【例5】（22-23八年级上·河南郑州·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； （2）观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； （3）进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 【答案】(1)①0，1 ；②函数图象见解析 (2)①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是；②函数图象关于直线成轴对称；③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大） (3)①2； ② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． （1）解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②函数图象如图， ； （2）解：①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是； ②函数图象关于直线成轴对称； ③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大）； （3）解：①观察图形可知， 方程有2个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点拨】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　）    A． B． C． D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线交点解方程，图形结合分析是解题的关键． 根据两直线的交点为，即可求解． 解：∵函数和的图象交于点， ∴根据图象可得方程的解集是， 故选：． 【变式2】（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，则函数的图象经过点，进而得到方程的解． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数的图象向右平移单位后，交x轴于点， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与平移，关键是正确利用数形结合的方法解决问题． 【题型6】一次函数的与几何综合 【例6】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．   （1）在轴上存在点，使得，求点的坐标； （2）在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或；(2)存在，点的坐标或． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据已知求得、坐标，由重点坐标公式求坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可； （2）设点坐标，当是直角三角形分两种情况：或时求解即可． （1）解：与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则， 当时，，，则， ，， ∴， ∵点是的中点， ， ， 设， 则， ， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为或； （2）解：设轴存在一点，使得是直角三角形， ，，， 根据勾股定理可得：， ， ，， 是直角三角形，分两种情况： ①时，与原点重合，此时； ②时，则， ， 解得：，此时， 综上所述：点的坐标或． 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，   ， ， ； ②当时，如图2，   ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解． 解：，当时，；当时，； ，， ，， 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处， ， ，， 在中，，即：， ， 点在轴的负半轴上， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键． 【题型7】一次函数的与将军饮马问题 【例7】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． （1）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； （2）若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【答案】(1)， (2)当点P运动到时，的值最小，最小为 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值； （1）分别令、求解即可； （2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可． 解：（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． ∴点C纵坐标为1， 当时，解得， ∴， 当时，解得， ∴， 故答案为：， ； （2）点关于x轴的对称点为，则， 连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时， 连接BP，此时的值最小， 设直线的表达式为 将点和点分别代入上式，得 解得， ∴直线的表达式为 当时，解得， ∴点P的坐标为 当点P运动到时，的值最小，最小值为． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 周长的最小值是 ， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，N是的中点，点M、点P分别是直线和y轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于轴对称的点，过点作于，交轴于点，连接，利用一次函数解析式求出点A和点B坐标，根据对称的性质得出，可得的值最小，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长即可得解． 解：在中，令，则，令，则， ∴，， ∵N是的中点， ∴， 作点关于轴对称的点，则的坐标为， 过点作于，交轴于点，连接， ， 此时的值最小， ∵， ∴， 即， 解得：， 的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称求最小值，勾股定理，面积法，最短路径问题．根据轴结称和垂线段确定最短路径是解题的关键． 【题型8】一次函数规律探索问题 【例8】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，，求得的横坐标为，于是得到结论． 解：∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴在直线上， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， ∴， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标，且在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， 即：的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 用同样的方法可得： 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为． 故选：B． 【点拨】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，规律型：点的坐标，有理数乘方的应用，列代数式等知识点．正确地找出点的横坐标的规律是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·江西宜春·期末）直线（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，当k分别为时，则（　　） A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638 【答案】D 【分析】确定的表达式，继而寻找规律即可． 解：直线恒过点    设直线与轴的交点为，则点 故选：D 【点拨】本题考查特殊的一次函数．掌握该函数过定点的特征是解决问题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式得出：，，，从而得出规律，再计算的长度即可． 解：∵， ∴将代入得：， ∴， ∴ ∴将代入得：， ∴， ∴, ∴将代入得：， ， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键． 【题型9】一次函数的应用 【例9】（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 【答案】(1)个月万元；(2)甲乙工程队合作个月，乙单独做个月 【分析】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，解答即可． （2）设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，解不等式，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得， 解得， 答：甲、乙两队合作需要个月完成此项工作． 费用为万元 （2）解：设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且， 解不等式，得， 得w随x的增大而增大，为确保费用最低， 故x去最小值，此时， 答：甲、乙两队合作个月，剩下的乙队单独个月完成，费用最低且合题意． 【变式1】（2022·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 时． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，即可求交点P的横坐标，即为所求． 解：设为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是， ∴， 解得：，即， 设乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是， ∴， 解得，即； 令，则， 解得：， ∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为时． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2023·内蒙古·中考真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息： ①； ②； ③点从点运动到点需要； ④矩形纸板裁剪前后周长均为． 其中正确信息的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用图表信息结合面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可． 解：由矩形及点P运动过程可知： 时，点P位于点B处，， 则，， ，①正确； 时，点P位于点D处，， ，， ，故运动时间为10s，所以③正确； ， ， 时，点P位于点C处， ，所以②错误； 周长，所以④错误； 故①③正确，正确得有2个， 故选C． 【点拨】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点位置是解题的关键． 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；(2)共有3种购买方案；(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 解：（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； （2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，62，64， ，7，4， 共有3种购买方案． （3）设商家获得总利润为y元， ， ， ， 随x的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元． 【题型11】拓展延伸 【例1】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可． 解：由题意可得， 设直线AB的解析式为y=kx+b 则 解得： ∴直线AB的解析式为：y=x-4， ∴x=y+4， 设直线AC的解析式为y=mx+n 则 解得： ∴直线AC的解析式为：， ∴， ∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：， ∴， ∵EP=3PF， ∴， ∴点P的横坐标为：， ∵， ∴． ∴ 故答案为：A． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键． 【例2】（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 【答案】(1)由负到正；(2)；(3)当或时，. 【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解； （2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解； （3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 解：（1）∵， 当滑块在点时，，， 当滑块在点时，，， ∴的值由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴ ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为， ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为， ∴滑块返回的速度为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为； （3）当时，有两种情况， 由（2）可得， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， 综上所述，当或时，． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$