第四章 一次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第四章 一次函数（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．在平面直角坐标系中， 已知点在直线上， 则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 3．已知直线满足，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．点、都在直线上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．与m值有关 5．直线是直线通过向下平移一个单位而得到的，则该直线为（ ） A． B． C． D． 6．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 8．如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．若函数是关于x的一次函数，则a的值为 ． 10．对任意实数m，直线经过一个定点，这个定点 ． 11．从，0，1这三个数中，选取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过一、三、四象限．则一次函数为 ． 12．小红和小明从甲地出发，骑自行车沿同一条路到距甲地24千米的乙地参加活动．如图，折线和线段分别表示小红和小明离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，当小明到达乙地时，小红距乙地 千米． 13．如图 1， 点 从 的顶点 出发， 沿 匀速运动到点 ， 图 2 是点 运动时， 线段 的长度 随时间 变化的关系图象， 其中 为曲线部分的最低点， 则 的面积是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 15．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．    (1)画出并写出点的坐标为 ； (2)写出的面积为 ； (3)点P在x轴上，使的值最小，写出点P的坐标为 ． 16．甲、乙两人分别从公园长廊在同一直线上的A、B两地同时出发，相向匀速慢跑，甲以的速度慢跑到B地后，立即按原速返回，乙在第一次相遇后将速度提高到原来的1.5倍，之后匀速慢跑到A地，且乙到达A地后立即以提速后的速度返回，直到两人再次相遇时停止．甲、乙两人之间的路程与慢跑时间之间的函数图象如图所示． (1)乙在两人第一次相遇前的速度为______，乙到A地的时间为______s； (2)求乙从A地返回B地时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)直接写出第一次相遇时乙距出发地的路程． 17．如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．    (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 18．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．当时，函数（为常数且）有最大值，则的值为 ． 20．从地向地打长途电话，通话分钟以内收费元，分钟后通话时间每增加分钟加收元，若通话时间为（单位：分，且为整数），则通话费用（单位：元）与通话时间（分）函数关系式是 （其中且为整数）． 21．如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 22．如图，直线交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ．    23．直线与轴和轴分别交于两点，点C是的三等分点，分别是直线和轴上的动点，则周长的最小值是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲米时，乙停在原地等侯甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程（米）与甲出发的时间（秒）之间关系的图象． (1)在跑步的全过程中，甲共跑了______ 米，甲的速度为______ 米秒；当乙到达体育馆时，甲离体育馆还有______ 米 (2)图中标注的的值______ 及乙跑步的速度分别是______ 米秒； (3)乙在途中等候了______ 秒 (4)乙出发______ 时，甲乙相距米． 25．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为 　　； (2)若点在x轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且，求值； (3)如图，点的坐标为，点A在函数的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段最短时，求B点坐标． 26．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足． (1)求直线的解析式； (2)若点为直线在第一象限上一点，且是等腰直角三角形，求的值； (3)如图3，过点的直线交轴负半轴于点，点的横坐标为，过点的直线交于点，若的值不变，请你加以证明和求出其值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 2．在平面直角坐标系中， 已知点在直线上， 则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的求值，理解一次函数图象上的点满足函数解析式是解题关键．将点代入直线的解析式得到，再把整体代入所求代数式即可． 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 则， ∴ 故选：C． 3．已知直线满足，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数图象与系数的关系．根据，的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系． 【详解】解：，直线经过一、三象限； ，图象与轴的负半轴相交． 故此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 4．点、都在直线上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．与m值有关 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，根据一次函数解析式判断出y随x增大而减小即可得到答案． 【详解】∵ ∴y随x增大而减小， ∵ ∴ 故选：A ． 5．直线是直线通过向下平移一个单位而得到的，则该直线为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线是直线通过向下平移一个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得直线是， 故选：． 6．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正比例函数的性质得到，所以，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．本题考查了正比例函数的性质：对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小．也考查了一次函数的图象与性质． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 的图象经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴． 故选：C． 7．下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 8．如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的一次函数图象，设正方形的边长为，分别求出点在边上、点在边和点在边上时与的函数解析式，再根据一次函数的性质判断图形的变化情况即可求解，运用分类讨论思想正确求出与的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 当点在边上时，，为正比例函数，随的增大而增大； 当点在边上时，，为一次函数，随的增大而减小； 当点在边上时，，为一次函数，随的增大而增大； 综上，随先增大而增大，再增大而减小，最后又增大而增大， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．若函数是关于x的一次函数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义及绝对值的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数是关于的一次函数， 且， 解得， 故答案为：1． 10．对任意实数m，直线经过一个定点，这个定点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将解析式变形为，结合题意得出，计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵对任意实数m，直线经过一个定点， ∴， ∴，此时， ∴定点为， 故答案为：． 11．从，0，1这三个数中，选取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过一、三、四象限．则一次函数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与其系数之间的关系，对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过一、三、四象限， ∴，∴一次函数为， 故答案为：． 12．小红和小明从甲地出发，骑自行车沿同一条路到距甲地24千米的乙地参加活动．如图，折线和线段分别表示小红和小明离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，当小明到达乙地时，小红距乙地 千米． 【答案】4 【分析】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 观察图象，由两人到达乙地时的横坐标即可求解；可得小红在段的速度为，根据路程速度时间可得此时小红行驶的路程，再求与乙地的差值即可． 【详解】解：由图象可知，当小明到达乙地时，小红还有小时到达乙地， 由图象可得，小红在段的速度为：， 则此时小红距乙地， 故答案为：4． 13．如图 1， 点 从 的顶点 出发， 沿 匀速运动到点 ， 图 2 是点 运动时， 线段 的长度 随时间 变化的关系图象， 其中 为曲线部分的最低点， 则 的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理的应用，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为4，即：时，， 又∵， 因点P从点C运动到点A， 根据函数的对称性可得， ∴的面积． 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式； （2）将代入得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：将代入得，， 解得，． 15．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．    (1)画出并写出点的坐标为 ； (2)写出的面积为 ； (3)点P在x轴上，使的值最小，写出点P的坐标为 ． 【答案】(1)画图见解析； (2) (3) 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握利用轴对称变换作图是解题的关键． （1）求出点A、B关于y轴的对称点的坐标，再与O顺次连接即可； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；（3）找出点A关于x轴的对称点的位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求的点P，再根据待定系数法求出直线的解析式，最后求出直线与x轴的交点坐标，即得答案． 【详解】（1）关于y轴对称的图形为，，， ，， 如图，就是所求作的图形； 故答案为：． （2）的面积； 故答案为：． （3）作点A关于x轴的对称点，连结，与x轴交于点P，此时的值最小， 可求得， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ． 故答案为：．    16．甲、乙两人分别从公园长廊在同一直线上的A、B两地同时出发，相向匀速慢跑，甲以的速度慢跑到B地后，立即按原速返回，乙在第一次相遇后将速度提高到原来的1.5倍，之后匀速慢跑到A地，且乙到达A地后立即以提速后的速度返回，直到两人再次相遇时停止．甲、乙两人之间的路程与慢跑时间之间的函数图象如图所示． (1)乙在两人第一次相遇前的速度为______，乙到A地的时间为______s； (2)求乙从A地返回B地时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)直接写出第一次相遇时乙距出发地的路程． 【答案】(1)4；240 (2) (3) 【分析】题考查了行程问题的数量关系路程时间速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时根据图象分析数据，求出一次函数的解析式是关键． （1）由图象可知，、两地的路程是，后第一次相遇，设乙开始的速度是，列方程求解乙开始的速度，从而可得提速后的速度，根据时间、路程和速度的关系即可解答； （2）由图象进一步分析，得出乙从地返回地的路段，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，即可求解； （3）根据（1）（2）得到的信息列式计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知，、两地的路程是，后第一次相遇，设乙开始的速度是， 则，解得：， 第一次相遇时乙距地， 第一次相遇后将速度提高为：， 乙到地的时间为， 故答案为：4，240； （2）解：由图象，得 时，乙向地跑，甲向地跑， 时，乙向地跑，甲到达地开始返回， 时，甲、乙都向地跑，两人速度都为，所以之间距离不变， 时，乙到达地，开始以速度返回， 时，甲、乙相向而行，两人速度都为，直到相遇， 乙从地返回地的路段是最后一段，设，代入，， ，解得：， ； （3）解：由（1）第一次相遇时乙距出发地地：． 17．如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．    (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为或4 【分析】本题为两条直线相交问题，主要考查待函数图象的交点，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）把分别代入和即可求得、的坐标； （2）联立两条直线的解析式即可得出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得； （3）由点的坐标可得出点，的坐标，再根据，列出方程，求解可得的值． 【详解】（1）把代入得，， 把代入得，， ，； （2）令，解得， ，， ，，， ∴的面积为； （3）由题意可知，，， ， 解得或， 的值为或4． 18．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) (3)或． 【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴，先求出，，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先求出出点坐标为，再分当、 时两种情况，利用一线三垂直模型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合）， ∴，， ∴的面积， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，∴， 当时，如图所示，过点作轴于M， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．当时，函数（为常数且）有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据可得当时，的值最大为，据此即可求解，掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵时， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴， 解得， 故答案为：． 20．从地向地打长途电话，通话分钟以内收费元，分钟后通话时间每增加分钟加收元，若通话时间为（单位：分，且为整数），则通话费用（单位：元）与通话时间（分）函数关系式是 （其中且为整数）． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象一次函数关系式的知识，仔细审题得出函数关系式是至关重要的一步，难度一般． 根据题意首先可以得出只要通话时间不超过分钟收费均为元，超过分钟后，每分钟收取元，由此可列出一次函数关系式． 【详解】解：由题意得，通话时间不超过分钟收费均为元，超过分钟后，每分钟收取元，且为整数， 故可得函数关系式为：且为整数， 故答案为：． 21．如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 22．如图，直线交轴、轴于点、，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，勾股定理．根据解析式可得，，再证明三角形全等及利用勾股定理建立方程可得，掌握求解的方法是关键． 【详解】    如图，连接、、、， 由得，， ，， 点与点关于直线对称， ，且， ， 点在第一象限，且纵坐标为4， 轴， ， 又，， ， ， 设，则， ， ， 在直角中，， ， 解得． 故答案为：． 23．直线与轴和轴分别交于两点，点C是的三等分点，分别是直线和轴上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，当点C是靠近点B的三等分点时，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值，同理求出当点C是靠近点O的三等分点时周长最小值即可． 【详解】解：当点C是靠近点B的三等分点时，如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG， 在中，当时，当时，， ，， ∴， 又∵点C是靠近点B的三等分点 ∴，， ∵点C与点G关于对称， ∴，， ∴， ∵，， ， 又∵点C与点F关于对称， ，，， ， ∵，， ∴的周长， 当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为FG的长， ∵在中，， 周长的最小值是． 同理当点C是靠近点O的三等分点时，可得周长的最小值是． 综上所述，周长的最小值是或， 故答案为：或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲米时，乙停在原地等侯甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程（米）与甲出发的时间（秒）之间关系的图象． (1)在跑步的全过程中，甲共跑了______ 米，甲的速度为______ 米秒；当乙到达体育馆时，甲离体育馆还有______ 米 (2)图中标注的的值______ 及乙跑步的速度分别是______ 米秒； (3)乙在途中等候了______ 秒 (4)乙出发______ 时，甲乙相距米． 【答案】(1)，， (2)， (3) (4)秒或秒或秒或秒或秒 【分析】（1）终点的纵坐标就是路程，横坐标就是时间； （2）首先求得点对应的横坐标，即的值，则段的路程可以求得，时间是秒，则乙跑步的速度即可求得；点时，所用的时间可以求得，然后求得路程是米时，甲用的时间，就是乙出发的时刻，两者的差就是所求； （3）点时，所用的时间可以求得，然后求得路程是米时，甲用的时间，就是乙出发的时刻，两者的差就是所求． （4）分情况列方程解决即可． 本题考查了一次函数的应用，识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息是关键． 【详解】（1）解：根据图象可以得到：是甲的路程（米）与出发的时间（秒）之间关系的图象，是乙的路程（米）与甲出发的时间（秒）之间关系的图象， ∴甲共跑了米，用了秒， ∴速度是：米秒； 当乙到达体育馆时，甲离体育馆还有（米）， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知，甲的速度为：米秒， ∴当路程为米时，时间为：（秒），此时，乙开始出发， ∴表示的时间为（秒）， ∴甲跑秒时的路程是：米， ∴； 段的长是米，时间是：秒， ∴乙跑步的速度是：米秒； 故答案为：，； （3）解：甲跑米用的时间是：秒，则甲比乙早出发秒， 乙跑米用的时间是：秒， ∴乙在途中等候甲用的时间是：秒． 故答案为：； （4）解：第一种情况，甲出发，乙不动， 甲乙相距米，甲出发时间为（秒）； 第二种情况，乙追甲相距米时，甲的路程，乙的路程，甲在前方， ∴， 解得，； 第三种情况，甲乙相遇后，距离米，乙在前方， ∴， ∴； 第四种情况，乙在原地等甲，甲乙相距米时，甲的路程，乙的路程，乙在前方， ∵， ∴； 第五种情况，甲乙相遇后，继续前行距离米时，甲的路程，乙的路程，乙在前方， ， ∴； 综上所述，乙出发秒或秒或秒或秒或秒，甲乙相距米． 故答案为：秒或秒或秒或秒或秒． 25．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为 　　； (2)若点在x轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且，求值； (3)如图，点的坐标为，点A在函数的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段最短时，求B点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“属派生点”的定义计算即可得出答案； （2）设点的坐标为，且，得出，从而得出，，结合，得出，计算即可得出答案； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，将代入函数得出点在直线上，推出点的坐标为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴的坐标为； （2）解：由题意，设点的坐标为，且，则，即， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点A在函数的图象上， ∴， 整理得：， ∴点在直线上， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，线段最短，最短为，此时，即． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键． 26．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足． (1)求直线的解析式； (2)若点为直线在第一象限上一点，且是等腰直角三角形，求的值； (3)如图3，过点的直线交轴负半轴于点，点的横坐标为，过点的直线交于点，若的值不变，请你加以证明和求出其值． 【答案】(1) (2)或或 (3)，证明见解析 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：当为直角时；当是直角时；当是直角时，分别求解即可； （3）分别求出、、三点的坐标，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∴点，， 设直线的表达式为， 将点，代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：当为直角时， ， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把点代入得， 解得：； 当是直角时，同理可得，故； 当是直角时， ， 同理可得，故； 综上所述，或或； （3）解：∵点在直线上，点的横坐标为， ∴， 联立，解得， ∴， ∵直线交轴负半轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴为常数． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，涉及到一次函数、等腰直角三角形的性质、全等三角形、勾股定理等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$