精品解析：重庆市开州区临江中学2025届高三上学期9月月考数学试题

临江中学高三（上）9月月考数学试卷 出题人：谭妍菊 审题人：唐剑锋 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】, , 所以 故选：A 2. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，所以，或. 当时，为偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解. 【详解】方法一：因为，故，解得， 故,当且仅当 ，即，时等号成立. 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立. 故选：C. 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 5. 已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，记，，，则､､的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据为偶函数得到，求出函数的单调性后可得的大小关系. 【详解】因为为偶函数， 所以， 故， 即对任意的恒成立， 故， 所以，， 则， 当时，， 在上为增函数， 因为， 故， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数对数的大小比较，属于中档题. 6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件. 【详解】要在上单调递减， 则，解得， 在为增函数，则， 解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 7. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 8. 已知函数，若函数有6个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元，结合的图象分析方程两根的分布情况，分类讨论可得. 【详解】由于函数有个零点，故方程有个根， 设，方程转化为， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当趋于时，趋于0，趋于0时，趋于， 所以函数的图象如图所示： 从图象可知，要使方程有个根， 则可转化为方程有两根且两根为以下情况： ①，，由得，验证不满足，因此这样的不存在； ②，，由得，验证满足成立，即； ③，，设， 由根的分布知，得. 综上：或. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则甲组数据的线性相关性更强 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出可判断A；根据线性相关性的性质可判断B；利用二项分布的期望、方差求出可判断C；利用裂项相消求和、随机变量的概率和为1求出可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为0.66，则乙组数据的线性相关性更强，故B错误； 对于C，若，则， 解得，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，解得，故D正确. 故选：CD. 10. 已知，则下列描述正确的是 （ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】对于A：令得：；令，得． ，因此A错误； 对于B： ，因此B正确 对于C：因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，因此C错误 对于D：对原表达式的两边同时对求导， 得到， 令，得到，令，得 所以， 所以选项D错误． 故选：B 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　） A. 必有两个极值点 B. 有且仅有3个零点时，的范围是 C. 当时，点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断A，要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，判断B，当时计算判断C，设切点为，求过点的切线方程，令，，所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数判断D. 【详解】选项A：由题意可得， 令解得或， 因为，所以令解得或，令解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确； 选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即， 解得，故B正确； 选项C：当时，， ， ，所以点不是曲线的对称中心，C错误； 选项D：，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得，令，， 所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数， ， 令解得或， 因为，所以令解得或， 令解得， 则在，上单调递增，在上单调递减，且，， 图像如图所示， 所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确； 故选：ABD 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果. 【详解】由得：， 又，， ，， . 故答案为：. 13. 已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，由已知等式结合函数的单调性可得出，可得，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为 ， 由， 可得，即， 可得， 令，其中，，所以，函数为上的增函数， 由，可得， 所以，，所以，， 令，其中，则，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 四､解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求在处切线方程 （2）若函数在处取得极值，求的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合直线的点斜式即可得解； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性，从而得解. 【小问1详解】 当时，，则， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，则， 由题意可得，解得， 故，则， 令，得或或； 令，得或； 此时，在处取得极大值，则满足题意， 所以函数的单调递增区间为，，， 单调递减区间为，. 16. 2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎． （1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率． （2）甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p和． （i）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X，求X的分布列； （ii）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出所有可能性，然后根据古典概型的概率计算公式计算即可； （2）（i）根据题意，写出分布列即可；（ii）根据分布列计算数学期望，然后解不等式即可. 【小问1详解】 记“他们至少选中其中的两个园区”为事件A． 则． 【小问2详解】 （i）由可知：X可取0，1，2． 列出分布列如下： X 0 1 2 P （ⅱ）由（ⅰ）可知，解得． 17. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24 【解析】 【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. （Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=， ∴=563-68×6.8=100.6. ∴关于的线性回归方程为， ∴关于的回归方程为. （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值 =576.6， 年利润的预报值. （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值 ， ∴当=，即时，取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大. 18. 已知函数，． （1）若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集； （2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）已知，若方程在有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）[0，1）． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一元二次不等式即可； （2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出的范围即可； （3）利用参数分离法进行转化求解即可． 【小问1详解】 解：若不等式的解集为，， 即1，2是方程的两个根， 则，即， 则，由得， 即得，得或， 即不等式的解集为，，． 【小问2详解】 解:不等式恒成立， 即在，恒成立， 令，，， 则， 令，解得：， 故在，递增，在，递减， 故（1）或， 而（1），， 故． 【小问3详解】 解：由得， ，即， 若方程在，有解，等价为有解， 设， ，，，， 即，即，则， 即实数的取值范围是，． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）将函数求导并分解因式，根据参数进行分类讨论函数的单调性即得； （2）将不等式进行等价变形得到在上恒成立，接着通过构造函数，求其在上的最大值，其间，先分析推出其在时取得最大值，为，由，变形求对数，并利用同构思想和函数单调性推出，从而求得，即得的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得函数，. ①当时， 当时，，时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，当时，， 或时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增； ④当时，当时，，或时，； 则在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意，恒成立，因，即恒成立. 即需求在上的最大值. 令，，则， 令，，则， 即在上单调递减， 又，所以在上存在唯一的使（*）， 当时，，即则在上单调递增； 当时，，即则在上单调递减. 故在时取得最大值，为， 又由（*）可得，，故， 两边取对数得：， 令，由知在定义域内单调递增， 故由可得，，即， 所以， 故，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临江中学高三（上）9月月考数学试卷 出题人：谭妍菊 审题人：唐剑锋 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，记，，，则､､的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有6个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则甲组数据的线性相关性更强 C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则 D. 已知随机变量的分布列为，则 10. 已知，则下列描述正确的是 （ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　） A. 必有两个极值点 B. 有且仅有3个零点时，的范围是 C. 当时，点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 13. 已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 14. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 四､解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求在处切线方程 （2）若函数在处取得极值，求的单调区间． 16. 2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎． （1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率． （2）甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p和． （i）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X，求X的分布列； （ii）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p的取值范围． 17. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 18. 已知函数，． （1）若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集； （2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）已知，若方程在有解，求实数a的取值范围． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $