精品解析：湖北省天门市华斯达学校2024-2025学年九年级上学期九月月考数学试题（A）

2024年秋9月考九年级数学试卷（A卷） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念即可完成． 【详解】选项A、B、C中的三个图形都不是中心对称图形，选项C的图形是中心对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握概念是关键． 2. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有( ) A. 512人 B. 596人 C. 648人 D. 729人 【答案】D 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论，根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得： (不合题意，舍去)． 即每轮传染中平均一个人传染个人． ∴(人)． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程． 3. 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线的对称性质及对称轴得的对称点的坐标为，再根据抛物线的开口向上及其增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据抛物线的对称性得：的对称点的坐标为， 又抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而减小，且， ， 故选D． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 6. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得≌，得到，， ∠BCA=∠=180°-110°-40°=30°，由=∠BCA+计算即可． 【详解】∵绕着点顺时针旋转后得到， ∴≌， ∴，， ∴∠BCA=∠=180°-110°-40°=30°， ∴=∠BCA+ ＝30°＋50° =． 故选B 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转角的确定，熟练掌握旋转的全等性，准确找到旋转角是解题的关键． 7. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 … 以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，y随x增大而增大 C. 方程的根为0和2 D. 当时，x的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断． 【详解】解：将代入抛物线的解析式得； ， 解得：， 所以抛物线的解析式为：， A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题； B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意； C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意； D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答． 8. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴，而， ∴， ∴． 故选：B． 9. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， ， ，，故④正确； ，故①错误； 抛物线与轴交于，点， ，故②正确； 方程的两个根为，，故⑤正确， 当时，，即，故③正确， 故正确的有②③④⑤，共4个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点和点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 12. 已知抛物线经过和两点，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解． 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长． 【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BE＝AB＝×8＝4， 在Rt△AEO中，OE＝＝＝3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要是考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形的中位线定理．延长到点，使，取中点，连接并延长交于点，取中点，连接，则，利用勾股定理求得的长，则可得的最大值，利用中位线定理可得的最大值． 【详解】解：延长到点，使，取中点，作为直径的，连接并延长交于点，取中点，连接， 矩形， 四边形为矩形， 则， 点为中点，点为中点， 为中位线， ，， ， 为圆上一动点， 当点三点共线时，， 此时为最大值， 的最大值为． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法和因式分解法解一元二次方程成为解题的关键. （1）直接运用公式法解一元二次方程即可； （2）直接运用因式分解法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴, ∴， ∴. 小问2详解】 解：， ， ， ∴. 17. 关于x的方程x2+（2a﹣3）x+a2＝0． （1）若方程有两个实数根，求a的取值范围； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝x1•x2，求a的值． 【答案】（1）；（2）-3 【解析】 【分析】（1）根据方程“有两个实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系解答． 【详解】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴， 整理得：9﹣12a≥0， 解得：， 即a取值范围为：； （2）根据题意得：x1+x2＝3﹣2a，x1x2＝a2， ∵x1+x2＝x1•x2 ∴3﹣2a＝a2， 整理，得（a+3）（a﹣1）＝0． 解得a1＝﹣3，a2＝1（舍去）． 故a的值是﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． （1）操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应； ②步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的要求：不写作法，保留作图痕迹 （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标___________． 【答案】（1）①见解析，②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①确定出点A、B旋转后的点、的坐标，连接、、C三点即可； ②由的对应点的坐标，即可确定出平移的方向与距离，则可确定出点B、C的对应点，连接平移后的三点即可； （2）分别连接、、，三线的交点即可旋转中心，根据旋转中心为对应点连线段的中点即可确定坐标． 【小问1详解】 ①画出如图所示； ②画出如图所示； 【小问2详解】 分别连接、、，三线的交点M为旋转中心，其坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图：作图形的旋转与图形的平移，由图形的旋转确定旋转中心，在平面直角坐标系中，关键是确定变换后的点的坐标． 19. 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由． 【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）；（3）存在，b＝﹣6，c＝8； 【解析】 【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题； （2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题； （3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可； 【详解】解：（1）∵x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， 解得：x1＝0，x2＝2 故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）． （2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0） ∵m＜0 ∴2m＜0 解得：x1＝2m，x2＝1， 方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）． 点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围城一个正方形， 所以2m＝﹣1，解得． （3）存在． 直线y＝kx﹣2（k﹣2）＝k（x﹣2）+4，过定点M（2，4）， ∴x2+bx+c＝0两个根x1＝2，x2＝4， ∴2+4＝﹣b，2×4＝c， ∴b＝﹣6，c＝8． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 20. 如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 【答案】的长应为6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，再找出题目中的等量关系，列出方程．设花圃的宽为米，用总长减去三个宽即为的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设花圃的宽为米，则米， ， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：的长应为6米． 21. 如图，线段经过的圆心，交于两点，为的弦，连接，，连接并延长交于点，连接交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求的半径和线段的长 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5； 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的特征、切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质及三角形外角的性质： （1）利用等腰三角形的性质及三角形性质外角的性质得，，进而可求证，进而可求证结论； （2）连接，利用三角形的特征得，进而可得，则可求得的半径为5，进而可得，，在中和在中利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明:，， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线． 【小问2详解】 连接，如图： 由（1）得：， ， ， ，， ， 的半径为5， ，， 在中，，，， ， 为直径， ， ， ，即：， 解得：， 在中，，，， ． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）每千克应涨价5元； （3）应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元． 【解析】 【分析】（1）设每次下降的百分率是x，找出等量条件列方程求解即可； （2）设每千克应涨价a元，利润为W，找出等量条件列方程求解即可； （3）根据（2）中的，求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率是x，则由题意列方程得： 解之得：（舍去），， 故每次下降的百分率是； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价a元，利润为W，则由题意列方程得： 令，解方程得：或， ∵要尽快减少库存， ∴取，即每千克应涨价5元； 【小问3详解】 解：由（2）可得， 当时，W取最大值为6125元， ∴应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题，二次函数的实际应用：销售问题，解该类题的关键是找出等量条件列方程求解，将销售问题中的最大利润问题转化成求二次函数最值问题． 23. 已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，连接AM，BN，求证：； （2）将绕点O顺时针旋转． ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段AM的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN； （2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN=90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立； ②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN，设BN=x，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长． 【小问1详解】 证明：∵∠AOB=∠MON=90°， ∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON， 即∠AOM=∠BON， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OA=OB，OM=ON， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴AM=BN； 【小问2详解】 ①证明：连接BN， ∵∠AOB=∠MON=90°， ∴∠AOB-∠BOM=∠MON-∠BOM， 即∠AOM=∠BON， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OA=OB，OM=ON， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴∠MAO=∠NBO=45°，AM=BN， ∴∠MBN=90°， ∴MB2+BN2=MN2， ∵△MON是等腰直角三角形， ∴MN2=2ON2， ∴AM2+BM2=2OM2； ②如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN=x， 由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM=BN且AM⊥BN， 在Rt△ABN中，AN2+BN2=AB2， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=，OM=， ∴MN=6，AB=8， ∴， 解得：或（舍）， ∴AM=BN=； 如图4，当点M线段AN上时，连接BN，设BN=x， 由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM=BN且AM⊥BN， 在Rt△ABN中，AN2+BN2=AB2， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=，OM=， ∴MN=6，AB=8， ∴， 解得：（舍）或， ∴AM=BN=； 综上所述，线段AM的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键． 24. 如图1，已知抛物线y＝x2与直线y＝x+1交于A、B两点（A在B的左侧） （1）求A、B两点的坐标． （2）在直线AB的上方的抛物线上有一点D，，求点D的坐标． （3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值． 【答案】（1）A点坐标为（-4，4），B点坐标为（1，）；（2）点D的坐标为：（-6，9）或（3，）；（3）8 【解析】 【分析】（1）直线解析式与二次函数解析式组成方程组，求得点A，B的坐标； （2）过点B作BH//x轴，作AG⊥BH于点G，DH⊥BH于H，则AG=，设，根据列方程求解即可； （3）设，运用待定系数法求出直线PE和PF的解析式，进一步求出点M、点N的横坐标，联立得，，进而得出，，从而可求出QM•QN的值． 【详解】解：（1）联立直线与抛物线，得 解得：x2+3x-4=0， 解得x=-4或x=1． 当x=-4时y=4， 当x=1时，y=； A点坐标为（-4，4），B点坐标为（1，）； （2）如图，过点B作BH//x轴，作AG⊥BH于点G，DH⊥BH于H，则AG= 设 ∴， ∵ ∴ 化简，得： 解得， 当时， 当时， ∴点D的坐标为：（-6，9）或（3，）； （3）设 设直线EP的解析式为：，代入P，E点坐标得， 解得， ∴直线EP的解析式为： 当y=-2时， ∴ 同理可求出直线FP的解析式为： 当y=-2时， ∴ 由得， ∵点E，F为它们的交点， ∴， ∴ ∴QM•QN=8 【点睛】本题考查了二次方程的综合运用，运用直线和二次函数方程求得交点坐标，以及根与系数的关系解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋9月考九年级数学试卷（A卷） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有( ) A. 512人 B. 596人 C. 648人 D. 729人 3. 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A. B. C. D. 5. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ） A B. C. D. 7. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 … 以下结论正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 当时，y随x增大而增大 C. 方程的根为0和2 D. 当时，x的取值范围是 8. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点和点关于原点对称，则值为________． 12. 已知抛物线经过和两点，则________． 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m． 14. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为_________. 15. 如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）. 17. 关于x的方程x2+（2a﹣3）x+a2＝0． （1）若方程有两个实数根，求a的取值范围； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝x1•x2，求a的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． （1）操作与实践： ①步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移三角板，点对应点的坐标为，画出平移后对应的要求：不写作法，保留作图痕迹 （2）应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标___________． 19. 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由． 20. 如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 21. 如图，线段经过圆心，交于两点，为的弦，连接，，连接并延长交于点，连接交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求的半径和线段的长 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 23. 已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，连接AM，BN，求证：； （2）将绕点O顺时针旋转． ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段AM的长． 24. 如图1，已知抛物线y＝x2与直线y＝x+1交于A、B两点（A在B的左侧） （1）求A、B两点的坐标． （2）在直线AB的上方的抛物线上有一点D，，求点D的坐标． （3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$