第24章 专题(十六) 教材经典模型荟萃——回归教材（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(人教版)

数学 九年级上册 人教版 练闯考 专题(十六)　教材经典模型荟萃——回归教材 第二十四章　圆 类型二　等腰图 (一)一腰为直径，另一腰与圆相交 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点P. (1)求证：DP⊥AB； (2)若⊙O的半径为6.5，BC＝10，求DP的长． 类型三　角平分线图 (一)平分直角 4．(教材P87例4变式)如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：(1)弦BC的长；(2)弦BD的长；(3)弦CD的长． 类型一　垂径图 1．(教材P122复习题T1(1)变式)如图，已知△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，连接CD，∠BDC＝2∠ABD. (1)求证：AB＝AC； (2)若AB＝3 eq \r(10) ，CD＝8，求⊙O的半径． 解：(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于点E，则∠AOD＝2∠ABD＝∠BDC，∴OA∥CD.又∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC，∴AE⊥BC，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AC) ，∴AB＝AC (2)∵AE⊥BC，∴BE＝CE.又∵BO＝DO，∴OE＝ eq \f(1,2) CD＝4.设⊙O的半径为r，则BO＝r，AE＝OA＋OE＝r＋4.又∵OB2－OE2＝BE2＝AB2－AE2，∴r2－42＝(3 eq \r(10) )2－ (r＋4)2，解得r＝5或r＝－9(舍去)，∴⊙O的半径为5 解：(1)证明：如图，连接AD，OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵OA＝OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴∠APD＋∠ODP＝180°，∵DP是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°，∴∠APD＝90°，∴DP⊥AB (2)∵⊙O的半径是6.5，BC＝10，∴AC＝AB＝13，BD＝CD＝5，∴在Rt△ABD中，AD＝ eq \r(AB2－BD2) ＝ eq \r(132－52) ＝12，∵SRt△ABD＝ eq \f(1,2) ·AB·DP＝ eq \f(1,2) BD·AD，∴DP＝ eq \f(60,13) (二)圆心在腰上，另一腰与圆相切 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC切于点E，与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点F，⊙O的半径为3，CF＝1. (1)求证：DF⊥AC；(2)求CD的长． 解：(1)证明：如图，连接OD，OE，∵DF，AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，OD⊥DF，∴∠OEF＝∠ODF＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴AC⊥DF (2)∵AC，DF为⊙O的切线，∴∠OEF＝∠ODF＝90°，∵AC⊥DF，∴四边形ODFE是矩形，又∵OD＝OE，∴四边形ODFE是正方形，∴OE＝DF＝EF＝OD＝3，∴CD＝ eq \r(DF2＋CF2) ＝ eq \r(32＋12) ＝ eq \r(10) 解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(102－62) ＝8 (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝ eq \f(\r(2),2) AB＝5 eq \r(2) (3)如图，作BH⊥CD于点H，∵∠BCH＝∠ACD＝∠ABD＝45°，△BCH为等腰直角三角形，∴BH＝CH＝ eq \f(\r(2),2) BC＝4 eq \r(2) ，在Rt△BHD中，DH＝ eq \r(BD2－BH2) ＝3 eq \r(2) ，∴CD＝CH＋DH＝4 eq \r(2) ＋3 eq \r(2) ＝7 eq \r(2) (二)平分锐角 5．如图， AB为半径为5的⊙O的直径，C为⊙O上的一点，D为 eq \x\to(CB) 的中点，连接AD. (1)若∠CAB＝60°，求AD的长； (2)连接OD交CB于点P，若AC＝6，求PB，PD的长． 解：(1)如图，连接DB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵ eq \x\to(CD) ＝ eq \x\to(BD) ，∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∴BD＝ eq \f(1,2) AB＝5，∴AD＝ eq \r(AB2－BD2) ＝ eq \r(102－52) ＝5 eq \r(3) (2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴CB＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(102－62) ＝8.∵ eq \x\to(CD) ＝ eq \x\to(BD) ，∴∠BAD＝∠CAD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠OPB＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，∴PB＝ eq \f(1,2) BC＝4.又∵O为AB的中点，∴OP＝ eq \f(1,2) AC＝3，∴PD＝OD－OP＝2 类型四　切割图——构矩形 6．(教材P102习题T12变式)如图，AB是⊙O的直径， eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(DE) ，BE⊥CD于点C. (1)若CE＝1，DC＝2，求⊙O的半径； (2)若CE＝2，BE＝6，求OC的长； (3)若CD＝4，BE＝6，求BD的长； (4)若AB＝10，CD＝4，求AC的长； (5)若 eq \f(BE,AB) ＝ eq \f(3,5) ，求 eq \f(CE,CD) 的值． 解：如图，连接AE，OE，OD交AE于M，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BCD＝∠AEB＝90°，∴AE∥CD，∵ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(DE) ，∴∠AOD＝∠DOE，∵OA＝OE，∴OD⊥AE，∴∠EMO＝90°，AM＝EM，∴OM＝ eq \f(1,2) BE，∵AE∥CD，∴∠CDM＝∠EMO＝90°，∴∠CDM＝∠BCD＝∠CEA＝90°，∴四边形CDME为矩形．(1)由题意可知DM＝CE＝1，CD＝EM＝2.设⊙O半径为r，在Rt△OME中，OE2＝EM2＋OM2，∴4＋(r－1)2＝r2，∴r＝ eq \f(5,2) (2)∵CE＝2，BE＝6，∴OM＝ eq \f(1,2) BE＝3，∴OD＝OM＋DM＝5，∴OE＝OD＝5，∴ME＝ eq \r(OE2－OM2) ＝4，∴CD＝ME＝4，∴OC＝ eq \r(OD2＋CD2) ＝ eq \r(41) (3)∵CD＝4，BE＝6，OM＝ eq \f(1,2) BE＝3，∴OE＝ eq \r(OM2＋ME2) ＝5，∴OD＝OE＝5，∴DM＝OD－OM＝5－3＝2，∴CE＝DM＝2，∴BC＝CE＋BE＝8，∴BD＝ eq \r(CD2＋BC2) ＝4 eq \r(5) (4)∵AB＝10，CD＝4，∴ME＝4，∴AE＝2ME＝8.又∵OB＝ eq \f(1,2) AB＝5，∴OM＝3，CE＝DM＝5－3＝2，在Rt△ACE中，AC＝ eq \r(CE2＋AE2) ＝2 eq \r(17) (5)∵ eq \f(BE,AB) ＝ eq \f(3,5) ，设BE＝6x，则AB＝10x，∴OA＝OB＝OE＝5x，OM＝ eq \f(1,2) BE＝3x，在Rt△MOE中，ME＝ eq \r(OE2－OM2) ＝4x，∴DM＝OD－OM＝5x－3x＝2x.又∵CD＝ME＝4x，CE＝DM＝2x，∴ eq \f(CE,CD) ＝ eq \f(2x,4x) ＝ eq \f(1,2) 类型五　双切图 7．(教材P101习题T6变式)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，连接PO交AB于点D，交⊙O于点E，连接BC. (1)求证：OD＝ eq \f(1,2) BC； (2)连接BE，CE，若∠BEC＝30°，AP＝6，求AC的长． 解：(1)证明：∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB，∴OP⊥AB，AD＝BD.又∵OA＝OC，∴OD＝ eq \f(1,2) BC (2)由(1)可知OP⊥AB，∴∠DAP＋∠APO＝90°.又∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠BAC＋∠DAP＝90°，∴∠APO＝∠BAC＝∠BEC＝30°，∴OP＝2OA，∴AP＝ eq \r(OP2－OA2) ＝ eq \r(3) OA＝6，∴OA＝2 eq \r(3) ，∴AC＝2OA＝4 eq \r(3) 类型六　多切图 8．(教材P102习题T11变式)如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F. (1)求证：四边形CDEF是矩形； (2)若CD＝2 eq \r(10) ，DE＝2，求AC的长． 解：(1)证明：∵AC，DE是⊙O的切线，CD是⊙O的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°.又∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四边形CDEF是矩形 (2)∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由(1)知四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2 eq \r(10) .∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2＋EF2，∴(AC＋2)2＝(AC－2)2＋(2 eq \r(10) )2，∴AC＝5 类型七　内心图 9．(教材P124复习题T13变式)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF. (1)求证：DB＝DE； (2)求证：直线CF为⊙O的切线． 证明：(1)连接BE，∵E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.又∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE (2)连接CD，∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∴ eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(CD) ，∴CD＝DB＝DF，∴∠DBC＝∠DCB，∠F＝∠DCF，∴2∠DBC＋2∠F＝180°，∴∠DBC＋∠F＝90°，∴∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线 $$