第23章 专题(十) 相似三角形的综合运用（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(华东师大版)

数学 九年级上册 华师版 练闯考 专题(十)　相似三角形的综合运用 1 60° DG＝BE BE⊥DG 1. (河南中考)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连结AD，BD，CP. (1)观察猜想：如图①，当α＝60°时， eq \f(BD,CP) 的值是____，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是_________； (2)类比探究：如图②，当α＝90°时，BD交AC于点O，交PC于点E，请写出 eq \f(BD,CP) 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由； (3)解决问题：当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 eq \f(AD,CP) 的值． 解：(2)如图②中，BD交PC于点E. ∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AP) ＝ eq \r(2) ，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA， eq \f(BD,CP) ＝ eq \f(AB,AC) ＝ eq \r(2) .∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°　(3)如图，当点P在线段EF左边时，延长AD交BC的延长线于H，设EF与AD交于点O. 易知∠PAO＝45°.∴∠PAO＝∠OFH.∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO.∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA.∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°.∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，由勾股定理可知PD＝ eq \f(\r(2),2) a，∴ eq \f(AD,CP) ＝ eq \f(AD,PD＋DC) ＝2－ eq \r(2) ；当点P在线段EF上时，同理可得 eq \f(AD,CP) ＝2＋ eq \r(2) 2．如图①，正方形ABCD和正方形AEFG，连结DG，BE. (1)【发现】当正方形AEFG绕点A旋转，如图②，线段DG与BE之间的数量关系是_____________；位置关系是___________； (2)【探究】如图③，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)【应用】在(2)情况下，连结GE(点E在AB上方)，若GE∥AB，且AB＝ eq \r(5) ，AE＝1，求线段DG的长． 解：(2)DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：延长BE交AD于K，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG.∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AE,AG) ＝ eq \f(1,2) ，∴△ABE∽△ADG，∴ eq \f(BE,DG) ＝ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(1,2) ，∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE.∵∠AKB＋∠ABE＝90°，∴∠AKB＋∠ADG＝90°.∵∠AKB＝∠DKH，∴∠DKH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG (3)如图，设EG与AD的交点为M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) .∵AB＝ eq \r(5) ，∴EG＝AB.∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE.且AG＝BE＝2.∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，∴∠AEB＝90°.由(2)知，△ABE∽△ADG，∴ eq \f(BE,DG) ＝ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(1,2) ，即 eq \f(2,DG) ＝ eq \f(1,2) ，∴DG＝4 3．(武汉中考)【问题提出】如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究 eq \f(AF,AB) 的值． 【问题探究】(1)先将问题特殊化．如图②，当∠BAC＝60°时，直接写出 eq \f(AF,AB) 的值； (2)再探究一般情形．如图①，证明(1)中的结论仍然成立． 【问题拓展】如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， eq \f(CG,BC) ＝ eq \f(1,n) (n<2)，延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F.直接写出 eq \f(AF,AB) 的值(用含n的式子表示). 解：(1)如图，取AB的中点G，连接DG，∵点D是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点D是AC的中点，∴∠DBC＝30°，∵BD＝ED，∴∠E＝∠DBC＝30°，∴DF⊥AB，∵∠AGD＝∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AF＝ eq \f(1,2) AG，∵AG＝ eq \f(1,2) AB，∴AF＝ eq \f(1,4) AB，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(1,4) (2)取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，∴DH∥AB，DH＝ eq \f(1,2) AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC(ASA)，∴BH＝EC，∴ eq \f(EB,EH) ＝ eq \f(3,2) ，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴ eq \f(FB,DH) ＝ eq \f(EB,EH) ＝ eq \f(3,2) ，∴ eq \f(FB,AB) ＝ eq \f(3,4) ，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(1,4) 【问题拓展】取BC的中点H，连接DH，由(2)同理可证明△DGH≌△DEC(ASA)，∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵ eq \f(CG,BC) ＝ eq \f(1,n) ，∴ eq \f(HE,BC) ＝ eq \f(1,n) ，∴ eq \f(HE,BH) ＝ eq \f(2,n) ，∴ eq \f(HE,BE) ＝ eq \f(2,n＋2) ，∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴ eq \f(HE,BE) ＝ eq \f(DH,BF) ＝ eq \f(2,n＋2) ，∵DH＝ eq \f(1,2) AB，∴ eq \f(BF,AB) ＝ eq \f(n＋2,4) ，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(2－n,4) 4．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F. (1)如图①，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC； (2)如图②，当AD＝25，且AE<DE时，求 eq \f(CF,PC) 的值； (3)如图②，当BE·EF＝108时，求BP的值． 解：(1)在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEB和△DEC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AB＝DC,∠A＝∠D＝90°,AE＝DE))) ，∴△AEB≌△DEC(SAS) (2)∵BE⊥CG，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＋∠CED＝90°，∵∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴ eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(DE,CD) ，设AE＝x，∴DE＝25－x，∴ eq \f(12,x) ＝ eq \f(25－x,12) ，∴x＝9或x＝16，∵AE<DE，∴AE＝9，DE＝16，∴CE＝20，BE＝15，由折叠得，BC＝CG＝25，在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴ eq \f(EF,PG) ＝ eq \f(CE,CG) ＝ eq \f(CF,PC) ，∴ eq \f(CF,PC) ＝ eq \f(20,25) ＝ eq \f(4,5) (3)如图，连接FG，∵BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；∵BP＝PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴ eq \f(EF,GF) ＝ eq \f(AB,BE) ，∴BE·EF＝AB·GF，∵BE·EF＝108，AB＝12，∴GF＝9，∴BP＝GF＝9 $$