精品解析：山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

济宁市实验中学高二年级第一学期九月模块测试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页. 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下事件是随机事件的是（ ） A. 标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B. 走到十字路口，遇到红灯 C. 长和宽分别为的矩形，其面积为 D. 实系数一元一次方程必有一实根 2. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品 D. 至少两件正品 3. 两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件发生的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙,丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A. 4.33% B. 3.33% C. 3.44% D. 4.44% 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B. 统计一个班数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C. 播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D 检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 11. 已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从长度分别为2,3,4,5四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 13. 已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则______． 14. 在长方体中，，以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则______，若点P为线段AB的中点，则P到平面距离为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知且求 （2）已知，求 16. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 17. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 18. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 19. 在长方体中，，为线段中点． （1）求直线与直线所成的角的余弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济宁市实验中学高二年级第一学期九月模块测试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页. 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下事件是随机事件的是（ ） A. 标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B. 走到十字路口，遇到红灯 C. 长和宽分别为的矩形，其面积为 D. 实系数一元一次方程必有一实根 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件的概念判断即可 【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意； B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意； C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意； D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C 至多两件正品 D. 至少两件正品 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品．故B正确． 考点：对立事件． 3. 两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】两名同学分3本不同的书，记为， 基本事件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p＝＝. 故选:B 4. 掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件发生的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件的概率可知，从而得解. 【详解】由已知得：，， 事件B表示“小于5点数出现”， 则事件表示“出现5点或6点” 故事件与事件互斥， 故选：C 5. 直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量线性运算法则即可求解． 【详解】. 故选：D． 6. 已知空间向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，在中由余弦定理求解. 【详解】空间向量，，，， 则三向量可能构成三角形的三边. 如图，设，则中，， . 故选：D 7. 端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙,丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率. 【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙,丙回老家过节的概率分别为. 假定三人的行动相互之间没有影响， 这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节， 这段时间内至少1人回老家过节的概率为：. 故选：B. 8. 在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A. 4.33% B. 3.33% C. 3.44% D. 4.44% 【答案】B 【解析】 【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案. 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可得，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项. 【详解】由已知可得，故它们的方向向量共线， 对于B选项，，满足题意； 对于C选项，，满足题意； 由于A、D选项不满足题意． 故选：BC. 10. 下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B. 统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C. 播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D. 检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于与合格率为均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解. 【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生， 对于A， 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件； 对于B，统计一个班级数学期中考试成绩， 平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件； 对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件； 对于D，检查某种产品，合格率高于与合格率,为互斥事件； 故选：ACD. 11. 已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点， 所以由平面向量基本定理可知： ， 化简得：，显然有， 而，所以有， 当，时，，所以选项A不可能； 当，时，，所以选项B不可能； 当，时，，所以选项C可能； 当，时，，所以选项D可能， 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P＝. 13. 已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则______． 【答案】0.9## 【解析】 【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解 详解】由题意得，则． 故答案为：0.9 14. 在长方体中，，以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则______，若点P为线段AB的中点，则P到平面距离为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 则P到平面距离为. 故答案为：；. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知且求 （2）已知，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解； （2）由，两边平方，展开运算即可. 【详解】（1）因为且， 所以. （2）因为，则， 所以， 化简得，所以. 16. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii） 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种． （ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． （ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 所以，事件M发生的概率为P（M）=． 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 17. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率． 【答案】（1）0.52 （2）0.648 【解析】 【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得； （2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可. 【小问1详解】 用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（）， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 ． 故再赛2局结束这次比赛的概率为. 【小问2详解】 记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为. 18. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE. 则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M. ∴＝，＝. ∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM. ∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝， ∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)， ∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF. 19. 在长方体中，，为线段中点． （1）求直线与直线所成的角的余弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）0 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，写出点坐标，求出，得到异面直线夹角余弦值为0； （2）设，求出平面的一个法向量，根据得到方程，求出，故存在点，使得平面，此时. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故， 则， 故直线与直线所成的角的余弦值为0； 【小问2详解】 存在满足要求的点，理由如下： 设棱上存在点，使得平面， ，则， 设平面的一个法向量为， 则， 取得，故， 要使平面，则， 即，所以， 解得， 故存在点，使得平面，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$