第22章 小专题(十) 三角形内接矩形问题——教材P88例1探究（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(沪科版)

小专题(十)　三角形内接矩形问题——教材P88例1探究 数学 九年级上册 沪教版 练闯考 B B 【例】　如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 【分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm，AK＝(80－x)mm，然后根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 解：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF.设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm，AK＝(80－x)mm.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AD⊥BC，∴ eq \f(EF,BC) ＝ eq \f(AK,AD) ，∴ eq \f(x,120) ＝ eq \f(80－x,80) ，解得x＝48.答：正方形零件的边长是48 mm 方法总结：1.“内接”，就是说四边形的四个顶点都在三角形的边上，因此：(1)特殊四边形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；(2)大三角形的高等于特殊四边形的一边与小三角形的高之和；2.方程思想：利用相似三角形的性质——“相似三角形的对应高的比等于相似比” 这个等量关系，列方程解决问题． 变式拓展 1．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( ) A．15 B．20 C．25 D．30 2．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为_____________. eq \f(12\r(13),13) 3．如图，在锐角三角形ABC中，边BC长为12，高AD长为8. (1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K； ①求 eq \f(EF,AK) 的值； ②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数解析式，并求S的最大值； (2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长． 解：(1)①∵EF∥BC，∴ eq \f(AK,AD) ＝ eq \f(EF,BC) ，∴ eq \f(EF,AK) ＝ eq \f(BC,AD) ＝ eq \f(12,8) ＝ eq \f(3,2) ②∵EH＝x，∴KD＝EH＝x，AK＝8－x.∵ eq \f(EF,AK) ＝ eq \f(3,2) ，∴EF＝ eq \f(3,2) (8－x)，∴S＝EH·EF＝ eq \f(3,2) x(8－x)＝－ eq \f(3,2) (x－4)2＋24，∴当x＝4时，S的最大值是24 (2) eq \f(24,5) 或 eq \f(240,49) $$