专题 相似三角形五种基本模型（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题07相似三角形五种基本模型 题型01平行模型 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）下图中的是安装在广告架上的一块广告牌，和分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌在地面上的影长，在地面上的影长，广告牌的顶端到地面的距离，则广告牌的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据阳光是平行的得到，利用相似三角形对应边成比例得到，代入数据求解即可．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大． 【详解】解：太阳光线是平行的， ， ， ， 由题意得：米，米，米， 即：， 解得：米， 米． 故选：A． 【例1-2】（22-23九年级上·吉林长春）如图，四边形中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题重点考查相似三角形的判定与性质，先由证明，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到，则，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3：1 【例1-3】（22-23九年级上·广西贺州·期中）如图，，，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ，， ， ， ， ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，中，为边上的点，且，已知的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，再证明得到，接着根据已知条件得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 【变式1-2】（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查相似三角形的性质和判断，根据题意可得和，然后利用相似比即可求解．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：12． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小明做了一个风筝支架，，若与相似，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，即可证得，由相似的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 题型02相交模型 【典例分析】 【例2-1】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，用相似三角形的判定方法可判定．，，即可求解 【详解】解：∵的高、相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴． 同理可得， ∴共6对， ∵， ∴点B，点C，点D，点E四点共圆∶ ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选D． 【例2-2】（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，在的边上取点D，作交于点E，且，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据题意得到，再由相似三角形的性质求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例2-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，先由平角的定义和三角形内角和定理证明，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，设设，则，证明，则，得到，证明，得到，则，即可得到答案. 【详解】解：由，可以设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：D 【变式2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，中，，点H在上，且线段于D，的延长线与的延长线交于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 首先由垂直得到的角，得，再证，从而得出结论． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（22-23九年级上·江苏宿迁）如图，点在的边上，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作于点，先证明，则，所以，，再推导出，则，再根据勾股定理证明，则，即可求得． 【详解】解：如图，作于点， ，，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 题型03子母型 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，点分别在的边上，已知，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【例3-2】（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义 【例3-3】（九年级上·福建福州）定义：如图①，若点D在的边上，且满足，则称满足这样条件的点为的“理想点”    (1)如图①，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求的长； (3)如图③，已知平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且满足，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点”．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点D是的“理想点”，理由见解析 (2) (3)存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）结论：点是的“理想点”．只要证明即可解决问题； （2）只要证明即可解决问题； （3）如图③中，存在．有三种情形：过点作交的延长线于，作轴于．构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点坐标，分三种情形求解即可解决问题； 【详解】（1）解：结论：点是的“理想点”． 理由：如图①中，    是中点，， ， ，， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”， （2）解：如图②中，      点是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ， 当时，同法证明：， 在中，，，， ， ， ． （3）解：如图③中，存在．有三种情形：    过点作交的延长线于，作轴于． ，， ， ， ，， ， ， ，，设， ，， ，．，，， ， ， ， 解得或（舍弃）， 经检验是分式方程的解， ，， ①当时，点是的“理想点”．设， ，， ， ， ， 解得， ． ②当时，点是的“理想点”． 根据①同理可得：， ， ． ③当时，点是的“理想点”． 根据①同理可得：， ， ． 综上所述，满足条件的点坐标为或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）定义：如图1，若点在的边上，且满足，则称点为的“理想点”． （1）如图2，若点是的边的中点，，则点 （填“是”或“不是”）的“理想点”； （2）在中，，点在边上，且是的“理想点”，则长为 ． 【答案】 是 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法以及勾股定理可求长度． 【详解】解：（1）是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； 故答案为：是； （2）在上时，如图：    是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ∴． 故答案为： 【变式3-2】（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：如图①，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P这个三角形的“理想点”． （1）如图②，若点D是的边的中点，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； （2）在中，，若点D是的“理想点”，求的长． 【答案】（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．理由见解析；（2）CD=． 【分析】（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．只要证明△ACD∽△ABC即可解决问题； （2）只要证明CD⊥AB即可解决问题； 【详解】解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”． 理由：如图①中， ∵D是AB中点，AB=2， ∴AD=DB=1， ∵AC2=（）2=2，AD•AB=2， ∴AC2=AD•AB， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴∠ACD=∠B， ∴点D是△ABC的“理想点”， （2）如图②中， ∵点D是△ABC的“理想点”， ∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A， 当∠ACD=∠B时， ∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠CDB=90°， 当∠BCD=∠A时，同法证明：CD⊥AB， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4， ∴BC==3， ∵•AB•CD=•AC•BC， ∴CD=． 【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质． 题型04旋转型 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．判定两个三角形相似可用两角对应相等，两边成比例及夹角相等，三边成比例来判定，根据题意，逐项判断即可． 【详解】解： A、若，则可用两个角对应相等来判定，此项不符合题意； B、若，则可用两个角对应相等来判定，此项不符合题意； C、若，已知相等的角不是对应边成比例的夹角，此项符合题意； D、若，可用对应边成比例且夹角相等来判定，此项不符合题意． 故选：C． 【例4-2】（九年级上·北京通州·期末）如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【例4-3】（20-21九年级上·江西南昌·期中）如图，在和中，，．    求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 又∵∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴． 又∵∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，则下列各式中，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可知，因此只要添加一组角相等，或与的对应边的比相等即可． 【详解】解：， ， 添加后，两组对角相等，可证，故A选项不合题意； 添加后，两组对角相等，可证，故B选项不合题意； 添加后，两组对应边的比相等且相应的夹角相等，可证，故C选项不合题意； 添加后，对应边成比例但无法证明其夹角相等，不能说明，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”；先根据，得出，再根据对应边成比例，即可解答． 【详解】证明：， ， 即 ， ， ， ． 【变式4-3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵， ∴． 题型05一线三等角型 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·重庆·期末）如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理. 根据折叠得出，，，设，，，，证明，证，进而利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠A落在边上的点F上， ∴， ∴，，， 设，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， 故选：C 【例5-2】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）边长为1的正方形，在边上取一动点E，连接，作，交边于点F，若的长为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形与相似三角形．熟练掌握正方形的性质，直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 由正方形的性质结合直角三角形性质可得出，结合可得出，可证出，再利用相似三角形的性质可求出CE的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 故答案为：或 【例5-3】（22-23九年级上·江苏宿迁）如图，点是边长为4的正方形的边上一动点，连接，过点作的垂线交边于点．当点从点运动到点时，求点运动的路程． 【答案】当点E从点B运动到点C时，点F运动的路程为2 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，三角形相似的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可得，设，，当点从点运动到点时，点运动的路程即为抛物线的最大值．当点从点运动到终点时，；随着点从中点继续向运动，那么，所以可得当点从点运动到点时，点运动的路程为2． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 设，， 正方形的边长为4， 则， ， ， 抛物线的顶点为，开口向下， 时，， 当点从点运动到点时，点运动的路程为1． 当点从点运动到终点时，； 随着点从中点继续向运动，那么， 当点从点运动到点时，点运动的路程为2． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕．若，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键．由条件可以得出，设，，就有，设，，根据相似三角形的性质就可以表示出、，再根据，就可以求出与的数量关系，从而求出结论． 【详解】解：是等边三角形， ， 由折叠可知：与关于对称， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知正方形的边长是，是边的中点，点在线段上，当 时，三角形与三角形相似． 【答案】0或 【分析】本题考查了相似三角形的证明，相似三角形对应边相等的性质，当时，；当时，；即可求得的长度，即可解题，本题中讨论或是解题的关键． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， 当时，有，即， ∴， ， 当时，，即， ∴， ， 故当或时，三角形与三角形相似， 故答案为：0或 【变式5-3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处． (1)求证：； (2)若与的面积比为，求边的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）由矩形性质和折叠性质知，，得到，根据，得到，即得； （2）设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，得到，，由勾股定理得到，解得，，得到，即得． 【详解】（1）∵矩形中，，，， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07相似三角形五种基本模型 题型01平行模型 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）下图中的是安装在广告架上的一块广告牌，和分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌在地面上的影长，在地面上的影长，广告牌的顶端到地面的距离，则广告牌的高为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（22-23九年级上·吉林长春）如图，四边形中，，若，则 ． 【例1-3】（22-23九年级上·广西贺州·期中）如图，，，，，，求的长． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，中，为边上的点，且，已知的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式1-2】（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，，，则 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小明做了一个风筝支架，，若与相似，且，求的长． 题型02相交模型 【典例分析】 【例2-1】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【例2-2】（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，在的边上取点D，作交于点E，且，若，，，则的长是 ． 【例2-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，中，，点H在上，且线段于D，的延长线与的延长线交于点E，求证：． 【变式2-3】（22-23九年级上·江苏宿迁）如图，点在的边上，已知，，，，求的度数． 题型03子母型 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，点分别在的边上，已知，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3-2】（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【例3-3】（九年级上·福建福州）定义：如图①，若点D在的边上，且满足，则称满足这样条件的点为的“理想点”    (1)如图①，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求的长； (3)如图③，已知平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且满足，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点”．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）定义：如图1，若点在的边上，且满足，则称点为的“理想点”． （1）如图2，若点是的边的中点，，则点 （填“是”或“不是”）的“理想点”； （2）在中，，点在边上，且是的“理想点”，则长为 ． 【变式3-2】（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：如图①，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P这个三角形的“理想点”． （1）如图②，若点D是的边的中点，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； （2）在中，，若点D是的“理想点”，求的长． 题型04旋转型 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（九年级上·北京通州·期末）如图，已知，求证：． 【例4-3】（20-21九年级上·江西南昌·期中）如图，在和中，，．    求证：． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，则下列各式中，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，，且，求证：． 【变式4-3】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 题型05一线三等角型 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·重庆·期末）如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【例5-2】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）边长为1的正方形，在边上取一动点E，连接，作，交边于点F，若的长为，则的长为 ． 【例5-3】（22-23九年级上·江苏宿迁）如图，点是边长为4的正方形的边上一动点，连接，过点作的垂线交边于点．当点从点运动到点时，求点运动的路程． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕．若，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知正方形的边长是，是边的中点，点在线段上，当 时，三角形与三角形相似． 【变式5-3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处． (1)求证：； (2)若与的面积比为，求边的长； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$