第22章 小专题(九) 比例式、等积式的常见证明方法（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(沪科版)

小专题(九)　比例式、等积式的常见证明方法 数学 九年级上册 沪科版 练闯考 类型1　找线段对应的两个三角形，证明相似 方法引导：题设或结论中出现等比式或等积式的证明时，一般地把等比式或等积式分解到不同的两个三角形中，证明这两个三角形相似解决问题． 2 3 2．(蜀山期中)如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC. 4 5 6 7 类型2　利用等线段代换证明三角形相似 方法引导：题设或结论中出现等比式或等积式的只有三条线段分布在两个三角形中时，可利用等线段代换证明三角形相似． 8 9 10 11 12 类型3　找中间比，利用等积式代换 方法引导：题设或结论中出现等比式或等积式的有四条线段分布在不同三角形中时，可找中间比，利用等积式代换． 13 14 15 16 17 18 19 ☞请完成“阶段能力评价(四)”见夹册 20 1．(蒙城县月考)如图，∠1＝∠2， eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(AC,AD) ，求证：∠C＝∠D. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，∴∠BAC＝∠EAD，∵ eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(AC,AD) ，∴△BAC∽△EAD，∴∠C＝∠D 证明：∵AD·AB＝AF·AC，∴ eq \f(AD,AF) ＝ eq \f(AC,AB) ，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AFB，∴∠C＝∠B，∵∠DEB＝∠FEC，∴△DEB∽△FEC 3．(淮南模拟)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF·BA，CF与DE相交于点G. (1)求证：△BCF∽△DGF； (2)求证：DF·AB＝BC·DG； 证明：(1)∵DE∥BC，∴△BCF∽△DGF　(2)∵BC2＝BF·BA，∴BC∶BF＝BA∶BC，而∠ABC＝∠CBF，∴△BAC∽△BCF，由(1)知△BCF∽△DGF，∴△DGF∽△BAC，∴DF∶BC＝DG∶BA，∴DF·AB＝BC·DG 4．(利辛县模拟)如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，连接BE，ED2＝EA·EC. (1)求证：∠EBA＝∠C； (2)如果BD＝CD，求证：AB2＝AD·AC. 证明：(1)∵EF垂直平分线段BD，∴ED＝EB，∵ED2＝EA·EC，∴ eq \f(DE,EA) ＝ eq \f(EC,DE) ，∴ eq \f(BE,EA) ＝ eq \f(EC,BE) ，∵∠BEA＝∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA＝∠C　(2)∵EF垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠C＋∠DBC＝∠EBA＋∠ABD，∵∠EBA＝∠C，∴∠DBC＝∠ABD，∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴ eq \f(AB,CA) ＝ eq \f(AD,AB) ，∴AB2＝AD·AC 5．(谯城区模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F，交线段AC于点G. (1)求证： eq \f(GF,GM) ＝ eq \f(EF,EM) ； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴ eq \f(FG,MG) ＝ eq \f(AF,CM) ， eq \f(AF,BM) ＝ eq \f(EF,EM) ， ∵CM＝BM，∴ eq \f(FG,GM) ＝ eq \f(AF,BM) ，∴ eq \f(GF,GM) ＝ eq \f(EF,EM) (2)当BC2＝2BA·BE时，求证：∠EMB＝∠ACD. 证明：∵BC2＝2BA·BE，∴ eq \f(BC,BE) ＝ eq \f(BA,\f(1,2)BC) ＝ eq \f(BA,BM) ，∵∠B＝∠B，∴△BCA∽△BEM，∴∠BME＝∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∴∠EMB＝∠ACD 6．(萧县期末)如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF交线段CD于点O.求证：CE·CA＝CF·CB. 证明：∵∠CED＝∠CDA＝90°，∠ECD＝∠DCA，∴△CED∽△CDA，∴ eq \f(CE,CD) ＝ eq \f(CD,CA) ，CD2＝CE·CA，∵∠CFD＝∠CDB＝90°，∠FCD＝∠DCB，∴△CDF∽△CBD，∴ eq \f(CF,CD) ＝ eq \f(CD,CB) ，即CD2＝CB·CF，则CA·CE＝CB·CF 7．(亳州模拟)如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF·AB，∠DAF＝∠EAC. (1)求证：△ADE∽△ACB； (2)求证： eq \f(DF,DE) ＝ eq \f(CE,CB) . 证明：(1)∵AE2＝AF·AB，∴ eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(AF,AE) ，∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B，∵∠DAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB　(2)∵△ADE∽△ACB，∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(AD,AC) ，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(DF,EC) ，∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(DF,EC) ，∴ eq \f(DF,DE) ＝ eq \f(CE,CB) 8．(霍邱县期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD，AC分别相交于点F，G，AF2＝FG·FE. (1)求证：△CAD∽△CBG； (2)连接DG，求证：DG·AE＝AB·AG. 证明：(1)∵AF2＝FG·FE.∴ eq \f(AF,FG) ＝ eq \f(EF,AF) ，且∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG　(2)∵△CAD∽△CBG，∴ eq \f(CA,CB) ＝ eq \f(CD,CG) ，且∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴ eq \f(DG,AB) ＝ eq \f(CG,CB) ，∵AE∥BC，∴ eq \f(AE,CB) ＝ eq \f(AG,GC) ，∴ eq \f(AG,AE) ＝ eq \f(GC,BC) ，∴ eq \f(DG,AB) ＝ eq \f(AG,AE) ，∴DG·AE＝AB·AG $$