第四章 习题课 母子(垂直)型相似——教材P90T3变式（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

数学 九年级上册 北师版 练闯考 习题课　母子(垂直)型相似——教材P90T3变式 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：AC2＝AB·AD； (2)如果BD＝5，AC＝6，求CD的长． 3．【问题情境】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD·AB，这个结论我们称之为射影定理； 【结论运用】如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， (1)试利用射影定理证明△BOF∽△BED； (2)若DE＝2CE，求OF的长． 解：(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC∶AB＝AD∶AC，∴AC2＝AB·AD； (2)∵AC2＝AB·AD，∴62＝(AD＋5)·AD，整理，得AD2＋5AD－36＝0，解得AD＝－9(舍去)或AD＝4，∴CD＝ eq \r(62－42) ＝2 eq \r(5) . 2．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，AE⊥BD于点F，连接CF. (1)求证：AB＝CF； (2)若AB＝4 eq \r(2) ，求DF的长． 解：(1)延长AE，DC相交于点H，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠HCE，∠BAE＝∠H，∴△ABE≌△HCE(AAS)，∴AB＝CH，∴CD＝CH，∵BD⊥AE，∴∠DFH＝90°，∴CF＝ eq \f(1,2) DH＝CD＝AB　 (2)∵BE∥AD，BE＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) AD，∴△BEF∽△DAF，∴ eq \f(BE,AD) ＝ eq \f(BF,DF) ＝ eq \f(1,2) ，设BF＝a，则DF＝2a，∵∠AFB＝∠BAD＝90°，∠ABF＝∠DBA，∴△BFA∽△BAD，∴AB2＝BF·BD，∴(4 eq \r(2) )2＝a×3a，解得a＝ eq \f(4\r(6),3) (负值舍去)，∴DF＝2a＝ eq \f(8\r(6),3) 解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO·BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF·BE，∴BO·BD＝BF·BE，即 eq \f(BO,BE) ＝ eq \f(BF,BD) ，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED； (2)∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝ eq \r(22＋62) ＝2 eq \r(10) ，在Rt△OBC中，OB＝ eq \f(\r(2),2) BC＝3 eq \r(2) ，∵△BOF∽△BED，∴ eq \f(OF,DE) ＝ eq \f(BO,BE) ，即 eq \f(OF,4) ＝ eq \f(3\r(2),2\r(10)) ，∴OF＝ eq \f(6\r(5),5) . $$