第四章 专题(十一) 与相似三角形有关的综合应用（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

专题(十一)　与相似三角形有关的综合应用 数学 九年级上册 北师版 练闯考 1 60° 1．(烟台中考节选)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD＝CE. 【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连接BD，CE.请直接写出 eq \f(BD,CE) 的值； 【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(AD,DE) ＝ eq \f(3,4) .连接BD，CE，求 eq \f(BD,CE) 的值． 解：【问题呈现】∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE； 【类比探究】 eq \f(BD,CE) ＝ eq \f(\r(2),2) ； 【拓展提升】∵ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(AD,DE) ＝ eq \f(3,4) ，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AE) ＝ eq \f(3,5) ，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ∴ eq \f(BD,CE) ＝ eq \f(AD,AE) ＝ eq \f(3,5) . 2．(武汉中考)【问题提出】如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究 eq \f(AF,AB) 的值． 【问题探究】(1)先将问题特殊化，如图②，当∠BAC＝60°时，直接写出 eq \f(AF,AB) 的值； (2)再探究一般情形，如图①，证明(1)中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， eq \f(CG,BC) ＝ eq \f(1,n) (n<2)，延长BC至点E，点DE＝DG，延长ED交AB于点F.直接写出 eq \f(AF,AB) 的值(用含n的式子表示). 解：【问题探究】(1) eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(1,4) ； (2)取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，∴DH∥AB，DH＝ eq \f(1,2) AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC(ASA)，∴BH＝EC，∴ eq \f(EB,EH) ＝ eq \f(3,2) ，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴ eq \f(FB,DH) ＝ eq \f(EB,EH) ＝ eq \f(3,2) ，∴ eq \f(FB,AB) ＝ eq \f(3,4) ，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(1,4) ； 【问题拓展】 eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(2－n,4) . 3．(宁波中考)【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG； 【尝试应用】(2)如图②，在(1)的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求 eq \f(DE,BC) 的值； 【拓展提高】(3)如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长． 解：(1)∵DE∥BC，∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE， ∴ eq \f(DG,BF) ＝ eq \f(AG,AF) ， eq \f(GE,FC) ＝ eq \f(AG,AF) ，∴ eq \f(DG,BF) ＝ eq \f(GE,FC) ，∵BF＝CF，∴DG＝EG； (2)∵DG＝EG，CG⊥DE，∴CE＝CD＝6，∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(3,3＋6) ＝ eq \f(1,3) ； (3)延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，∵MG∥BD，∴ME＝GE，∵EF⊥EG，∴FM＝FG＝10，在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，∴∠EFG＝90°－40°＝50°，∵FG平分∠EFC，∴∠GFC＝∠EFG＝50°，∵FM＝FG，EF⊥GM，∴∠MFE＝∠EFG＝50°，∴∠MFN＝30°，∴MN＝ eq \f(1,2) MF＝5，∴NF＝ eq \r(MF2－MN2) ＝5 eq \r(3) ，∵∠ABC＝45°，∴BN＝MN＝5，∴BF＝BN＋NF＝5＋5 eq \r(3) . 4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP. (1)观察猜想：如图①，当α＝60°时， eq \f(BD,CP) 的值是______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是____________； (2)类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出 eq \f(BD,CP) 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由； (3)解决问题：当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 eq \f(AD,CP) 的值． 解：(1)延长CP交BD的延长线于点E，交AB于点O.∵CA＝CB，∠ACB＝α＝60°，∴△ABC是等边三角形．由题意得∠APD＝α＝60°，∴∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD(SAS)，∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴ eq \f(BD,PC) ＝1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为：1，60°； (2)设BD交AC于点O，BD交PC于点E.∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AP) ＝ eq \r(2) ，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA， eq \f(BD,PC) ＝ eq \f(AB,AC) ＝ eq \r(2) ，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°； (3)当点D在线段PC上时，AD交EF于点O，延长AD交BC的延长线于点H.∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∠DEA＝∠CEB，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，又∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝ eq \f(\r(2),2) a，∴ eq \f(AD,CP) ＝ eq \f(a,a＋\f(\r(2),2)a) ＝2－ eq \r(2) ； 当点P在线段CD上时，由题意得：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝ eq \f(\r(2),2) a，∴PC＝a－ eq \f(\r(2),2) a，∴ eq \f(AD,PC) ＝ eq \f(a,a－\f(\r(2),2)a) ＝2＋ eq \r(2) .综上所述， eq \f(AD,CP) 的值为2－ eq \r(2) 或2＋ eq \r(2) . $$