第四章 专题(十) 相似三角形性质与判定的综合（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

专题(十)　相似三角形性质与判定的综合 数学 九年级上册 北师版 练闯考 类型一　利用相似三角形求线段长 1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB. (1)求证：△AED∽△ADC； (2)若AE＝2，EC＝6，求AB的长． 解：(1)证明：∵∠DEC＝∠DAE＋∠ADE，∠ADB＝∠DAE＋∠C， ∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C， 又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC； (2)∵△AED∽△ADC，AE＝2，EC＝6， ∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AE,AD) ，AC＝AE＋EC＝8，即 eq \f(AD,8) ＝ eq \f(2,AD) ， ∴AD＝4或AD＝－4(舍去). 又∵AD＝AB，∴AB＝4. 2．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC于点F，G. (1)求证：BF＝CF； (2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD，∴ eq \f(BF,AD) ＝ eq \f(EB,EA) ＝ eq \f(1,2) ，∴BF＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) BC，∴BF＝CF；　 (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△FGC∽△DGA， ∴ eq \f(FG,DG) ＝ eq \f(FC,AD) ，即 eq \f(FG,4) ＝ eq \f(1,2) ，解得FG＝2. 类型二　利用相似三角形求角度 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 eq \r(3) ，AF＝4 eq \r(3) ，求∠ADE的度数． 解：(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B＋∠DCE＝180°，∠ADF＝∠CED， ∵∠B＝∠AFE，∠AFD＋∠AFE＝180°， ∴∠AFD＝∠DCE，∴△ADF∽△DEC； (2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB，AD∥BC，∴AE⊥AD， ∵△ADF∽△DEC，∴ eq \f(AF,CD) ＝ eq \f(AD,DE) ，即 eq \f(4\r(3),8) ＝ eq \f(6\r(3),DE) ，∴DE＝12， ∵在Rt△ADE中，AE2＝DE2－AD2，∴AE＝6，∴∠ADE＝30°. 4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE. (1)求证：△ADB∽△EAC； (2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB2＝DB·CE，∴ eq \f(AB,CE) ＝ eq \f(DB,AB) ，∴ eq \f(AB,CE) ＝ eq \f(DB,AC) ，∴△ADB∽△EAC；　 (2)∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE， ∵∠DAE＝∠CAE＋∠BAD＋∠BAC，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC， ∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D＋∠BAD＝70°， ∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC＝70°＋40°＝110°. 类型三　利用相似三角形求比值 5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，DE⊥AB于点E. (1)求证：△BDE∽△CAD； (2)若AB＝13，AD＝12，求 eq \f(S△BDE,S△CAD) 的值．、 解：(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C， ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD； (2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC， 在Rt△ADB中，BD＝ eq \r(AB2－AD2) ＝ eq \r(132－122) ＝5， ∵ eq \f(1,2) ·AD·BD＝ eq \f(1,2) ·AB·DE，∴DE＝ eq \f(60,13) ，∴BE＝ eq \r(BD2－DE2) ＝ eq \f(25,13) ， ∴ eq \f(S△BDE,S△CAD) ＝ eq \f(S△BDE,S△ADB) ＝ eq \f(BE,AB) ＝ eq \f(25,169) . 6．如图，点E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G. (1)写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明； (2)若BC＝2CE，求 eq \f(DF,FB) 的值． 解：(1)①△ABE∽△GCE；②△ABE∽△GDA.证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABE＝∠GCE，∠BAE＝∠CGE，∴△ABE∽△GCE；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠GDA，AD∥BE，∴∠E＝∠DAG，∴△ABE∽△GDA；　 (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴ eq \f(DF,FB) ＝ eq \f(AD,BE) ，∵BC＝2CE，∴ eq \f(DF,FB) ＝ eq \f(AD,BE) ＝ eq \f(BC,BC＋CE) ＝ eq \f(2,3) . 类型四　利用相似三角形证明等积式 7．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE. (1)求证：DE⊥BE； (2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BEO＋∠DEO＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE；　 (2)∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE＝∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠CEO，∴∠DBE＝∠CDE，又∵∠BED＝∠DEC，∴△BDE∽△DCE，∴ eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(DE,CE) ，∴BD·CE＝CD·DE. 8．如图，在菱形ABOC中，对角线AO，BC相交于点D，BE⊥AC于点E，AO与BE交于点H. (1)求证：△BAD∽△HBD； (2)延长OC交BE的延长线于点F，求证：HB2＝HE·HF. 证明：(1)∵四边形ABOC是菱形，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝90°.∵BE⊥AC于点E，∴∠HEA＝90°.∵∠CAD＋∠AHE＝∠DBH＋∠BHD＝90°，∠AHE＝∠BHD，∴∠CAD＝∠DBH，∴∠BAD＝∠DBH.又∵∠ADB＝∠BDH，∴△BAD∽△HBD； (2)连接CH，∵四边形ABOC是菱形，∴AD垂直平分BC，∴HB＝HC，∴∠HBC＝∠HCB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠BEC＝90°，∴∠HBC＋∠ACB＝90°，∴∠HCB＋∠ABC＝90°.∵CF∥AB，∴∠ABC＋∠HCB＋∠HCF＝180°，∴∠HCF＝90°.∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE，∴△FHC∽△CHE，∴HC∶HE＝HF∶HC，∴HC2＝HE·HF，∴HB2＝HE·HF. $$