第四章 专题(八) 相似三角形的基本模型（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

数学 九年级上册 北师版 练闯考 专题(八)　相似三角形的基本模型 C C A 6．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝ _______． 3∶5 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E.求证：OC2＝OA·OE. C 10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝3，BD＝1，则CD的值是 ____． 11．如图，等边△ABC的边长为6，点D是BC边上的一动点，∠EDF＝60°. (1)求证：△BDE∽△CFD； (2)当BD＝1，FC＝3时，求BE的长． 12．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，∠A＝∠B＝∠DPC＝90°，易证△DAP∽△PBC.(不要求证明) 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，∠A＝∠B＝∠DPC. (1)求证：△DAP∽△PBC； (2)若PD＝5，PC＝10，BC＝9，AP的长为 ______； 【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E.当CE＝3EB时，求AP的长． 4.5 A 14．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，连接AE，BF，若AE＝2，则BF的长为 ____． 15．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE，求证：△ADB∽△AEC. B 18．如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠A＝90°，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上的点P处，求证：PC·PD＝PB·PE. 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(3,2) C． eq \f(5,2) D． eq \f(7,2) 2．如图，在△ABC中，AB＝8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED＝∠C，若AD·AC＝26，则AE的长为 ( ) A． eq \f(4,13) B．3 C． eq \f(13,4) D．4 3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则AD＝ _______． eq \f(9,5) 4．如图，在▱ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，DE交AC于点F，FG∥AB交AD于点G，求线段FG的长． 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD.又∵FG∥AB，∴FG∥AB∥CD，∴△DFG∽△DEA，△AFG∽△ACD，∴ eq \f(FG,AE) ＝ eq \f(DG,AD) ， eq \f(FG,CD) ＝ eq \f(AG,AD) ，∴ eq \f(FG,AE) ＋ eq \f(FG,CD) ＝ eq \f(DG,AD) ＋ eq \f(AG,AD) ＝1.又∵E为AB的中点，∴AE＝ eq \f(1,2) AB＝3，∴ eq \f(FG,3) ＋ eq \f(FG,6) ＝1，∴FG＝2. 5．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， eq \f(OA,OB) ＝ eq \f(OD,OC) ，由此推得的正确结论是 ( ) A. eq \f(OA,OD) ＝ eq \f(AB,CD) B． eq \f(OA,OC) ＝ eq \f(AD,BC) C． eq \f(OB,OD) ＝ eq \f(AB,CD) D． eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(AD,BC) 7．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则 eq \f(BG,GE) 的值是 _____. eq \f(8,3) 证明：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴ eq \f(OA,OC) ＝ eq \f(OD,OB) . ∵BE∥CD，∴△BOE∽△DOC，∴ eq \f(OD,OB) ＝ eq \f(OC,OE) ， ∴ eq \f(OA,OC) ＝ eq \f(OC,OE) ，即OC2＝OA·OE. 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AD＝1 cm，DB＝2 cm，则AC的长为 ( ) A．1 cm B． eq \r(2) cm C． eq \r(3) cm D．2 cm eq \r(3) 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB＋∠BED＝120°.又∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＋∠EDB＝120°，∴∠BED＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD； (2)由(1)知△BDE∽△CFD，∴ eq \f(BE,CD) ＝ eq \f(BD,CF) .又∵BD＝1，CD＝BC－BD＝5，CF＝3，∴BE＝ eq \f(5,3) . 解：【探究】(1)证明：∵∠A＋∠ADP＝∠DPB＝∠DPC＋∠CPB，∠A＝∠DPC，∴∠ADP＝∠CPB.又∵∠A＝∠B，∴△DAP∽△PBC；(2)4.5；【应用】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵∠CPE＝∠A，∴∠A＝∠CPE＝∠B，于是同【探究】中(1)可证△CAP∽△PBE，∴ eq \f(AC,BP) ＝ eq \f(AP,BE) ，∴AC·BE＝AP·BP.又∵CE＝3EB，∴BC＝4BE＝4，∴BE＝1.又∵AC＝4，BP＝AB－AP＝6－AP，∴AP(6－AP)＝4，∴AP＝3＋ eq \r(5) 或AP＝3－ eq \r(5) . 13．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE，若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE为 ( ) A.5∶3 B．4∶3 C． eq \r(5) ∶2 D．2∶ eq \r(3) eq \r(2) 证明：由旋转的性质可知 AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE， ∴ eq \f(AE,AD) ＝ eq \f(AC,AB) ，∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP的长为 ( ) A．4 B．6 C． eq \f(24,5) D． eq \f(25,6) 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则 eq \f(EF,BE) ＝ _______． eq \f(5,3) 证明：过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则四边形PNAM为矩形，∴PM＝AN.由折叠可知，∠DPE＝∠A＝90°，∴∠ADP＋∠AEP＝180°，∵∠PEN＋∠AEP＝180°，∴∠ADP＝∠PEN.又∵∠DMP＝∠ENP＝90°，∴△DMP∽△ENP，∴ eq \f(PD,PE) ＝ eq \f(PM,PN) ，∵∠C＝45°，∴△PNC是等腰直角三角形，∴PN＝NC.∵∠PNC＝∠A＝90°，∴PN∥AB，∴ eq \f(AN,NC) ＝ eq \f(PB,PC) ，即 eq \f(PM,PN) ＝ eq \f(PB,PC) ，∴ eq \f(PD,PE) ＝ eq \f(PB,PC) ，∴PC·PD＝PB·PE. $$