第一章 章末复习(一) 特殊平行四边形（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

章末复习(一)　特殊平行四边形 数学 九年级上册 北师版 练闯考 C 20° A C 3 A C 15° 5 类型一　菱形的性质与判定 1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BC相交于点O，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，若EF＝ eq \r(3) ，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( ) A．4 B．4 eq \r(6) C．4 eq \r(7) D．28 2．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠OED的度数为__________． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N. (1)求证：四边形BNDM是菱形； (2)若菱形BNDM的周长为52，MN＝10，求菱形BNDM的面积． 解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD和△NOB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DMO＝∠BNO，,∠MOD＝∠NOB，,OD＝OB，)) ∴△MOD≌△NOB(AAS)，∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形，又∵MN⊥BD，∴平行四边形BNDM是菱形； (2)由(1)可知，OB＝OD，OM＝ON＝ eq \f(1,2) MN＝5，∵四边形BNDM是菱形，周长为52，∴BN＝DN＝DM＝BM＝ eq \f(1,4) ×52＝13，∵MN⊥BD，∴∠BON＝90°，∴OB＝ eq \r(BN2－ON2) ＝ eq \r(132－52) ＝12，∴BD＝2OB＝24，∴S菱形BNDM＝ eq \f(1,2) BD•MN＝ eq \f(1,2) ×24×10＝120. 类型二　矩形的性质与判定 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是( ) A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO 5．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为____________． 2 eq \r(6) 6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ eq \f(1,2) AC，连接AE，CE. (1)求证：四边形OCED为矩形； (2)若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝ eq \f(1,2) AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝ eq \f(1,2) AC，∴DE＝OC，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED是矩形； (2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD＝4，OB＝OD，AO＝OC＝ eq \f(1,2) AC，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，∴OD＝OB＝2，∴OC＝ eq \r(CD2－OD2) ＝2 eq \r(3) ，∴AC＝2OC＝4 eq \r(3) ，由(1)得：四边形OCED为矩形，∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，AE＝ eq \r(AC2＋CE2) ＝2 eq \r(13) ，即AE的长为2 eq \r(13) . 类型三　直角三角形斜边上的中线的性质 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数( ) A．65° B．70° C．75° D．80° 8．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为__________． 类型四　正方形的性质与判定 9．如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是( ) A.AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC 10．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则BE的长为( ) A．2－ eq \r(2) 　 B．2 eq \r(2) －2 C．2 D． eq \r(2) ＋1 11．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED.当∠BED＝120°时，则∠ABE的度数为__________． 12．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF.若AB＝ eq \r(5) ，DE＝BF，则AE＋DF的最小值为________． 13．如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC. (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形； (2)∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝4，∴AC⊥BD，AC＝BD＝4 eq \r(2) ，∴OB＝CO＝ eq \f(1,2) AC＝2 eq \r(2) ，DO＝ eq \f(1,2) BD＝2 eq \r(2) ，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，∵∠ECO＋∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH， 在△ECO和△FDO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠COE＝∠DOF，,OC＝OD，,∠ECO＝∠FDO，)) ∴△ECO≌△FDO(ASA)，∴OE＝OF.∵BE＝1，∴OE＝OF＝OB－BE＝2 eq \r(2) －1. 类型五　综合与实践 14．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF. (1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由； (2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由； (3)若AC＝6，AB＝8，求BF的长． 解：(1)四边形ADCF是菱形，理由如下：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAE＝∠BDE，,AE＝DE，,∠AEF＝∠DEB，)) ∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD，∵AD为Rt△ABC的斜边中线，∴AD＝BD＝CD，∴AF＝AD＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是菱形； (2)BF＝2 eq \r(5) AE，理由如下：由(1)得△AEF≌△DEB，∴BE＝EF，AE＝DE，∴BF＝2EF，∵四边形ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠FAD＝90°，设AE＝DE＝m，则AD＝AF＝2m，在Rt△AEF中，EF＝ eq \r(AF2＋AE2) ＝ eq \r(5) m，∴BF＝2EF＝2 eq \r(5) m，∴BF＝2 eq \r(5) AE； (3)过F作FH⊥AB交BA延长线于H，过F作FK⊥AC于K，∵∠CAB＝90°，AC＝6，AB＝8，∴BC＝ eq \r(AC2＋AB2) ＝10，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝CD＝5，由(1)知四边形ADCF是菱形，∴AF＝CF＝5，∵FK⊥AC，∴AK＝CK＝ eq \f(1,2) AC＝3，∴FK＝ eq \r(AF2－AK2) ＝4，∵∠FHA＝∠HAK＝∠AKF＝90°，∴四边形AKFH是矩形，∴FH＝AK＝3，AH＝FK＝4，∴BH＝AB＋AH＝8＋4＝12，在Rt△FHB中，BF＝ eq \r(FH2＋BH2) ＝3 eq \r(17) . $$