第一章 习题课 经典60°的菱形——教材P3例1变式（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

习题课　经典60°的菱形——教材P3例1变式 数学 九年级上册 北师版 练闯考 1．如图，菱形ABCD的周长是16，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°. (1)求对角线AC，BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，周长是16，∴AB＝AD＝16÷4＝4，OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∴OB＝ eq \f(1,2) BD＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝ eq \r(AB2－OB2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ，∴AC＝2OA＝4 eq \r(3) ，即对角线AC的长为4 eq \r(3) ，BD的长为4； (2)S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(3) ×4＝8 eq \r(3) . 2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上运动，且BE＝AF. (1)求证：∠BEC＝∠AFC； (2)判断△ECF是什么特殊的三角形，并证明． 解：(1)证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠B＝∠CAD＝∠ACB＝60°，BC＝AC，易证△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BEC＝∠AFC； (2)△ECF是等边三角形，证明如下：由(1)可知，△BCE≌△ACF，∴∠ACF＝∠BCE，EC＝FC，易得∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形． 3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF. (1)求证：CE＝AF； (2)EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC， ∵△BEF是等边三角形，∴FB＝EB，∠FBE＝60°， ∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴∠FBA＝∠EBC， ∴△FAB≌△ECB(SAS)，∴CE＝AF； (2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC， ∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°， 延长FA交BE于点G， 根据三角形的外角定义可知：∠GAD＝∠AFP＋∠APF，∠BAG＝∠AFB＋∠ABF， ∴∠GAD＋∠BAG＝∠AFP＋∠APF＋∠AFB＋∠ABF， ∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，∴∠BAD＝∠BFE＋∠DPE＋∠CBE， 即120°＝60°＋46°＋∠CBE，∴∠CBE＝14°. 4．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G. (1)如图①，连接BD.求证：△ADE≌△DBF； (2)如图②，连接CG.求证：BG＋DG＝CG. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°，又∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF(SAS)； (2)延长GB到点H，使BH＝DG，连接CH，BD，由(1)知△ADE≌△DBF，△CBD是等边三角形，∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠DBF＋∠CBH＝180°－∠CBD＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BC＝CD，∠ADC＝180°－∠BAD＝120°，∴∠ADE＋∠CDG＝120°，∴∠CBH＝∠CDG，∴△CBH≌△CDG(SAS)，∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG，∵∠BCD＝∠DCG＋∠BCG＝60°，∴∠BCH＋∠BCG＝60°，即∠GCH＝60°，∴△CGH是等边三角形，∴GH＝CG，∵GH＝BG＋BH＝BG＋DG，∴BG＋DG＝CG. $$