第一章 2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)

2　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 数学 九年级上册 北师版 练闯考 C A D D 2.5 D 18 C A 10 知识点一：矩形边、角的性质 1．矩形ABCD相邻的两条边长分别为5和12，则对角线AC的长为( ) A．10 B．12 C．13 D．17 2．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于( ) A.70° B．60° C．80° D．45° 3．如图，在矩形ABCD中，点M，N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM. 证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BA＝CD，∠A＝∠D. ∵AM＝DN，∴AN＝DM. 在△ABN和△DCM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠A＝∠D，,AN＝DM，)) ∴△ABN≌△DCM(SAS)，∴BN＝CM. 知识点二：矩形对角线的性质 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 5．(教材P13例1变式)如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( ) A． eq \r(3) cm B．2 cm C．2 eq \r(3) cm D．4 cm 6．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为__________． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝ eq \f(1,2) AC，OB＝ eq \f(1,2) BD，∴AO＝OB， 又∵∠AOB＝56°，∴∠OBA＝∠OAB＝62°， ∵AE⊥BD，∴∠BAE＝90°－∠ABE＝28°. 知识点三：直角三角形斜边上的中线的性质 8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 9．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是__________． 10．(遵义中考)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为( ) A．10 B．12 C．16 D．18 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是( ) A．15　 B．20　 C．6 eq \r(3) 　 D．8 eq \r(3) 12．(荆州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD.若CE＝ eq \f(1,3) AE＝1，则CD＝____________． eq \r(6) 13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形ABCD折叠，使点A，C重合，折痕为EF，则图中重叠部分△AEF的面积为________． 14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC. (1)求证：OE＝OF； (2)若BC＝2 eq \r(3) ，求AB的长． 解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC＝∠FCO. 在△AOE和△COF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠FCO，,∠AOE＝∠COF，,AE＝CF，)) ∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF； (2)连接OB， ∵BE＝BF，OE＝OF，∴BO⊥EF， ∴∠BEF＋∠ABO＝90°， 由(1)得，△AOE≌△COF，∴AO＝CO.∵∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO.又∵∠BEF＝2∠BAC， ∴2∠BAC＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝30°. ∵BC＝2 eq \r(3) ，易得AC＝2BC＝4 eq \r(3) ， ∴AB＝ eq \r(AC2－BC2) ＝ eq \r(（4\r(3)）2－（2\r(3)）2) ＝6. 15．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图①，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线． 证明：如图②取EF的中点G，连接AG…… 任务：(1)完成材料中的证明过程； (2)如图③，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F.若BF＝ eq \f(1,2) AC，求∠F的度数． 解：(1)证明：取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴AD∥BC，∠DAC＝90°，∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°，∵点G是EF的中点，∴AG＝ eq \f(1,2) EF＝FG，∴∠F＝∠GAF，∵EF＝2AB，∴AG＝AB，∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F＝2∠CBF，∴∠ABC＝3∠CBF，∴射线BF是∠ABC的一条三等分线； (2)取AC的中点H，连接BH，∵四边形BCAD是矩形，∴∠CBA＝∠CBE＝90°，∵BF是∠CBE的角平分线，∴∠FBE＝ eq \f(1,2) ∠CBE＝ eq \f(1,2) ×90°＝45°，∵∠FBE＝∠FAB＋∠F，∴∠FAB＋∠F＝45°，∵∠CBA＝90°，点H是AC的中点，∴BH＝AH＝BF＝ eq \f(1,2) AC，∴∠HAB＝∠HBA，∠BHF＝∠F，∴∠BHF＝2∠HAB，∴∠F＝2∠HAB，∴∠FAB＝ eq \f(1,2) ∠F，∴ eq \f(1,2) ∠F＋∠F＝45°，∴∠F＝30°. $$