精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

塘沽一中2024—2025学年度第一学期 高一年级第一次统练数学学科试题 一、选择题 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数的定义域为______________ 12. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______________ 13. 设是定义在上的奇函数，且时，，则______；当时，______． 14. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 15. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数a的取值范围是______________． 16. 有下列命题： ①不等式的解集为；②若，则； ③已知集合，若，则； ④若，函数的最小值是2： ⑤已知函数的定义域是，则的定义域是 ⑥当时，不等式恒成立，则k的取值范围； 其中真命题的序号为______.（把所有正确答案的序号填写在横线上） 三、解答题 17. 解关于x的不等式. 18. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 19. 已知函数 （1）当时，，判断在上的单调性，并给予证明； （2）当，且时，求的值； （3）若存在实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2024—2025学年度第一学期 高一年级第一次统练数学学科试题 一、选择题 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集与补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：D 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误. 故选：B 5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项分析两个函数的定义域与对应关系，从而判断是不是相同的函数即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于C，的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域相同，，对应关系不同，所以不是相同的函数； 故选：C 6. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】先求出分式不等式及一元二次不等式的解集，求出，然后求其真子集个数即可. 【详解】等价于，所以，所以， 解得，所以， 所以，所以的真子集个数为. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由配凑法和即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 8. 设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，，先由题意得，接着结合基本不等式得，解该不等式求出即可求解车厢的最大容积. 【详解】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 9. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先明确函数在上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分、和三种情况分析即可求解. 【详解】由题意可知，且在上单调递增，在上单调递减，如图： 当时，，故，此时； 当时，满足； 当时，，， 此时，则，所以， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 10. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、填空题 11. 函数的定义域为______________ 【答案】 【解析】 【分析】由分式的分母不为零，偶次根式的被开方数为非负数，零次幂的底数不为零，求解函数的定义域即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 12. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______________ 【答案】 【解析】 【分析】由关于的不等式的解集为可得、、的关系及的正负，将转化为，解出即可得. 【详解】由关于的不等式的解集为， 则为方程的两根，且， 则，故有、、， 则等价于， 即， 解得，即解集为. 故答案为：. 13. 设是定义在上的奇函数，且时，，则______；当时，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，代入解析式即可求值；利用题目所给条件及奇函数的定义化简求出时，的解析式. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 设，则，所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为满足上式， 所以时，. 故答案为： 14. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据基本不等式1的代换，求出的最小值，结合基本不等式分析求解. 【详解】因为两个正实数x，y满足， 且恒成立，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数m的取值范围是，当且仅当时，等号成立. 故答案为：；2. 15. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可. 【详解】因为， 所以在时单调递减， 所以，， 即； 因为对任意，存在，使， 所以， 所以存在,使得， 即,即能成立, 令,则要使在能成立, 只需使, 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减, 所以, 故只需. 故答案为： 16. 有下列命题： ①不等式的解集为；②若，则； ③已知集合，若，则； ④若，函数的最小值是2： ⑤已知函数的定义域是，则的定义域是 ⑥当时，不等式恒成立，则k的取值范围； 其中真命题的序号为______.（把所有正确答案的序号填写在横线上） 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】对①，直接解出绝对值不等式即可；对②，利用作差法即可判断；对③，根据交集结果分类讨论即可；对④，利用基本不等式即可判断；对⑤，根据抽象函数定义域即可判断；对⑥，举反例即可. 【详解】对①，，解得或，故①错误； 对②，，则，故②错误； 对③，因为，则若，解得，此时，不满足互异性， 若，解得（舍）或， 当时，此时，符合题意，则，故③正确； 对④，，当且仅当，无实数解， 故等号无法取到，故④错误； 对⑤，，则，且，则， 则的定义域是，故⑤正确； 对⑥，当时，此时恒成立，故⑥错误； 故答案为：③⑤. 三、解答题 17. 解关于x的不等式. 【答案】 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】先将不等式变形，然后分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】不等式化为， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 18. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集，并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （3）由，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. 【小问2详解】 解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19. 已知函数 （1）当时，，判断在上的单调性，并给予证明； （2）当，且时，求的值； （3）若存在实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数m的取值范围. 【答案】（1）当时，， 所以在上单调递增. 证明：任取， 则， 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递增. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出在上解析式，接着判断函数的单调性，再按证明单调性的定义法步骤去计算分析即可证明在上的单调性. （2）由函数在和上的单调性得出即可得解. （3）由函数在上的单调性结合题意得，进而得、是方程的两个实数根，从而结合函数过点和一元二次函数图象性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当，且时，则有且， 所以. 【小问3详解】 因为函数在上单调递增， 所以当时函数在上单调递增， 所以由题意可得，所以 ， 所以、是方程的两个实数根， 即关于x的方程在上有两个不等的实数根， 设，显然函数过点， 所以，解得， 所以实数m的取值范围. 【点睛】方法点睛：定义法证明函数的单调性步骤： （1）在给定区间上任取两个变量且； （2）作差； （3）变形和判号即比较差值与0的大小，变形常用因式分解、通分、有理化和配方等手段将差化积，从而达到可以判段差值与0的大小； （4）下结论，确定函数单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $