精品解析：江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题

2023-2024第一学期立德高中高三数学月考试卷（1） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1 已知两个集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“"是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为 A. B. C. D. 6. 已知的值域为R，那么a的取值范围是( ) A. (﹣∞，﹣1] B. (﹣1，) C. [﹣1，) D. (0，1) 7. 已知，，，其中且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2] C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为1 10. 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是(a>0且a≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题，其中正确的有（ ） A. 池塘中原有浮草面积是0.5平方米 B. 第8个月浮草的面积超过60平方米 C. 浮草每月增加的面积都相等 D. 若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3 11. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数若，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知单位向量满足，则向量的夹角是__________ 14. 已知的展开式中常数项为20，则___________. 15. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值范围是________. 16. 已知函数，则不等式的解集是______. 四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22各12分，共70分） 17. 已知函数在时的最小值为． （1）求； （2）若函数的定义域为，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 19. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和，并比较与的大小． 20 已知函数，，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设函数，当时，求在区间上最小值． 21. 2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2019年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？ 22. 已知函数． （1）若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合； （2）若函数恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024第一学期立德高中高三数学月考试卷（1） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知两个集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及二次不等式得解法求得集合,利用分式不等式的解法求得集合，进而求得交集. 【详解】由题意得，， 故. 故选：C 2. 已知，复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再计算即可. 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以 故选：B 3. 已知，则“"是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由“"成立可推出即得，反之，由推不出成立，由此可得答案. 【详解】由“"成立可推出，继而可得到； 当时，比如，推不出成立， 故“"是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项D，利用当时，，排除选项B，C，即得解. 【详解】解：∵函数的定义域为，关于原点对称，，∴为奇函数，排除选项D． 当时，，，∴，排除选项B，C． 故选：A． 5. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域． 【详解】，又>0，∴，∴ ∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1； 当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2． ∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}． 故选D． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题． 6. 已知的值域为R，那么a的取值范围是( ) A. (﹣∞，﹣1] B. (﹣1，) C. [﹣1，) D. (0，1) 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得． 【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)， 那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0， 解得：，且a≥﹣1. 故选：C. 7. 已知，，，其中且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将选项变形，然后构造函数，求导得到函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知，，，，所以，，. 令，则，，； 又，则在上单调递减，在上单调递增， 如图所示；因为，所以，所以，又，，且在上单调递减， 所以. 故选：D. 8. 函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点分布规律求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，解得， 因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足. 故选：C 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2] C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】 直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断、的结论，利用函数的对称性判断的结论． 【详解】解：对于：函数的最小值为，故错误； 对于：已知函数且在上是减函数， 所以，解得，故正确． 对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的的图象关于直线对称，故正确； 对于：由于，则，则，同理， 所以，故正确． 故选：． 【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可； 10. 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是(a>0且a≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题，其中正确的有（ ） A. 池塘中原有浮草的面积是0.5平方米 B. 第8个月浮草的面积超过60平方米 C. 浮草每月增加的面积都相等 D. 若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的图像可知，函数的图象经过(2，2)，所以，解得a=2，从而可得函数的解析式为，然后利用函数的解析式逐个分析计算即可得答案 【详解】浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是 (a>0且a≠1)，函数的图象经过(2，2)，所以，解得a=2. 当t=0时，y=，故选项A正确; 当第8个月时，，故B正确; 当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，故每月增加的面积不相等，故C错误. 根据函数的解析式，解得t1=log210+1， 同理t2=log220+1，t3=log230+1， 所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t3=log2300+2，所以2t2>t1+t3.故D正确. 故选：ABD 【点睛】此题考查指数型函数模型的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 11. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可. 【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”. 对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”. 对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知， 二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”. 对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”. 故选：AC 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 12. 已知函数若，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出的函数图象，数形结合然后逐一判断即可. 【详解】函数的图象如图所示. 设，则 则直线与函数的图象的4个交点的横坐标分别为. 对于A，因为函数的图象关于直线对称，所以，故A错误; 对于B，由图象知且，得，即，即，故B正确; 对于C，由图象知，则，得，所以，故C正确; 对于D，由图象知，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知单位向量满足，则向量的夹角是__________ 【答案】 【解析】 【分析】对已知式平方，求得，利用夹角的余弦公式求得夹角的余弦，从而得夹角． 【详解】由得， 则，又，所以． 故答案为：． 14. 已知的展开式中常数项为20，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】写出的展开式的通项公式，根据题意可得关于m的方程，解得答案. 【详解】由题意可得的展开式的通项公式为 ， 故当时，即时，， 当时，即时，， 故的常数项为，解得， 故答案为： 15. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由有两个变号零点分离参数，构造函数转化为直线与函数图象有两个交点问题求解. 【详解】函数定义域为R，求导得， 由有两个极值点，得有两个变号零点，由，得， 令，因此直线与函数的图象有两个交点， 求导得，当时，；当时，， 则函数上单调递增，在上单调递减，， 而，当时，恒成立，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 16. 已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】， 【解析】 【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解． 【详解】构造函数，那么 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到， 的定义域为，且， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称． 不等式 等价于， 等价于 结合单调递增可知， 所以不等式的解集是，． 故答案为：，． 四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22各12分，共70分） 17. 已知函数在时的最小值为． （1）求； （2）若函数的定义域为，求的取值范围． 【答案】（1）3；（2），． 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求出最小值，即可得到m； （2）由定义域为R，建立不等式，分类讨论，求出a范围即可. 【详解】解：（1），， ， 当且仅当，即时等号成立， ； （2）由（1）可知的定义域为， 不等式的解集为， ①时，恒成立，满足题意； ②时，，解得， 综上得，的取值范围为，． 18. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）的增区间为 【解析】 【分析】（1）由题可得及，后由点斜式可得切线方程； （2）由题结合定义域，正负性可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 所以 . 所以，函数在处的切线方程为. 因此，所求切线方程为； 【小问2详解】 当时，，该函数的定义域为， 此时.所以，函数f (x)的增区间为. 19. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和，并比较与的大小． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据递推关系，判定数列等比数列，进而可求出通项公式； （2）由（1）先得到，根据裂项求和的方法，求出，再和比较，即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以，即， 当时，， 则， 整理得， 则数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 故． （2）因为， 所以， 所以 ， 因为，所以． 【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，求等比数列的通项公式，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型. 20. 已知函数，，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设函数，当时，求在区间上的最小值． 【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；（2）求导判断导函数的正负进而得到原函数的单调性；（3）利用导数判断原函数的单调性，最后求出最小值． 【详解】解：（1）因为，所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，定义域为， 所以． ①当时，． 所以在上单调递增． ②当时，令，得， 所以当时，与在上的变化情况如下： 极小值 所以在内单调递减，在内单调递增． 由①②可知，当时，在上单调递增． 当时，在内单调递减，在内单调递增 （3）因为， 所以， 所以． 令，所以． 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增． 所以． 因为，所以． 所以在区间上单调递增． 所以． 所以当时，在区间上的最小值是. 【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是对进行分类讨论得到导数的符号，最后得到函数的单调性． 21. 2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？ 【答案】（1）；（2）产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）分与两种情况分别求出的表达式后，将其写成分段函数的形式即可． （2）当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用对勾函数的性质求出的最大值，再比较即可得到的最大值和相应的的取值． 【详解】（1）当时，， 当时，. 综上所述，． （2）当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 22. 已知函数． （1）若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合； （2）若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，显然不满足题意；当时，将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况即可得出答案. （2）分，，三种情况讨论，将不等式恒成立转化成求即可. 【小问1详解】 当时，显然不满足题意； 当时，若函数只有一个零点， 即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根， 即直线与函数（且）的图像只有一个交点． ，令，得， 在和上，，在上，， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 在时有极小值，图像如图所示： 由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，则或， 综上． 【小问2详解】 恒成立，等价于， 令 ①若时，，所以在上单调递增， ，即，满足， ②若时，则，所以在上单调递增， 当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意． ③若时，令 令，因为在上单调递增， 且当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于0时，趋近于负无穷， 所以， ，单调递减，，单调递增， 只需即可， ， 令在上单调递增， 时，， 所以在上单调递增，，即， 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$