精品解析：湖北省宜昌市长阳土家族自治县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

长阳一中2024级九月月考数学试题 2024.9 满分150 时间120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】，故对应的点在第二象限. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直设出直线方程，代入，求解即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 代入，得，解得， 所以与直线垂直的直线方程为 故选：D. 4. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，总体平均数为97， 从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下： 选到95，96，则样本平均数为95.5，所以， 选到95，97，则样本平均数为96，所以， 选到95，98，则样本平均数为96.5，所以， 选到95，99，则样本平均数为97，所以， 选到96，97，则样本平均数为96.5，所以， 选到96，98，则样本平均数为97，所以， 选到96，99，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，98，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，99，则样本平均数为98，所以， 选到98，99，则样本平均数为98.5，所以， 所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为． 故选：D. 5. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解. 【详解】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，， 对于C，当时，，C不可能； 对于D，当时，，D不可能； 对于A，当时，，而当时，，则，A可能； 对于B，当时，，而当时，，则，B不可能. 故选：A 6. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得圆心为，半径为． 圆心到直线的距离为， 由直线与圆有公共点可得 ，即，解得． ∴实数a取值范围是． 选C． 7. 一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥的体积可求该几何体的体积. 【详解】 ，而为三角形内角，故， 故，故，故， 故几何体的体积为 故选：A. 8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则，即， 所以，所以点， 将点的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为， 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设动点与轴正方向夹角为，则求出，求出，求出每秒钟旋转的角度，证明时点纵坐标增大，，纵坐标减小，求出动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间. 【详解】 设与轴正方向夹角为， 则时，，故， 由于12秒旋转一周，所以每秒钟旋转， 在，，绕坐标原点沿逆时针方向旋转到位置， 所以点纵坐标增大，从旋转到时， ，，纵坐标减小， 在上，即从逆时针旋转至位置，动点纵坐标增大， 所以当时，纵坐标关于的函数的单调区间为和. 故选：AD. 10. 已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，最长 C. 当时，弦最短 D. 最短弦长 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方程求定点可判定A，由弦长公式可判定B、C、D. 【详解】直线方程可化为，当， 故直线恒过定点，A正确； 易知圆心，半径， 显然当直线过圆心时，最长，则， 故B错误； 当时，此时弦最短，即， 故C正确； 当时，则弦长，故D错误. 故选：AC 11. 已知四面体平面，垂足为，垂足为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则平面 C. 若，则 D. 若，则四面体体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A与B：根据线面垂直的判定与性质可得平面，平面， 平面，；对C：根据≌得；对D：在中，由可得，当且仅当时，有最大值. 【详解】对于A与B：因为平面， 平面，所以 若又平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又， 平面，所以平面， 又 平面，所以， 又 平面，所以平面， 又平面，所以，即与不垂直，故A不正确，B正确； 对C：， 因为则≌ 则≌，，所以，故C正确； 对于D，在中，，则，， 所以， 又当且仅当时，有最大值 所以四面体体积的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量求异面直线夹角即可. 【详解】由题意可知：，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 13. 是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，依题意可得，即可得到，从而表示出的坐标，再根据数量积的坐标运算计算可得； 【详解】设，，则，即，解得， 所以，，则，， 所以． 故答案为： 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则______． 【答案】. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出AP的长. 【详解】由题意， 如图建立直角坐标系： 则 ，直线方程为 即， 三角形重心为 即 设 , 关于直线对称点为 解得 由光的反射可知 四点共线， 直线斜率为 , 直线方程为 过重心， 即 ， 解得 舍去， ， ∴， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，当时，求直线的方程. 【答案】或 【解析】 【分析】求出圆方程，根据求出到直线的距离，设出直线方程，根据求出方程，斜率不存在时单独检验. 【详解】易知到直线的距离为圆半径， 所以，则圆方程为， 设圆心到直线的距离为，故，即，所以， 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为1，且根据勾股定理可知，显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为1知得，代入解之可得， 所以或为所求方程. 16. 已知三个内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若的面积，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化角，结合正弦函数的和角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得，，得：. 所以. 又，且，所以. 由，故. 【小问2详解】 ，所以. 由余弦定理，. 又. 联立得：. 所以. 故的周长为. 17. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取BC的中点M，连结MA、． 因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ， 因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程； （2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得 . 【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)， 由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)， ∴，解得， ∴圆C的半径为， ∴圆C的方程为. （2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程， 由已知得，判别式①， 由根与系数的关系得，②， 由得. 又∵，，∴可化为③， 将②代入③解得，经检验，满足①，即， ∴. 【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 19. 如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. （1）已知，求的三角形式； （2）已知为定值，，将复数化为三角形式； （3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【答案】（1）； （2）； （3）5 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算律计算即可； （2）结合二倍角余弦及正弦公式计算化简即可； （3）应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 正二十边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性可知，共有5个不同的值， 故复数所对应不同点的个数为5． 【点睛】关键点点睛：应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长阳一中2024级九月月考数学试题 2024.9 满分150 时间120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，最长 C. 当时，弦最短 D. 最短弦长 11. 已知四面体平面，垂足为，垂足为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则平面 C. 若，则 D. 若，则四面体体积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______． 13. 是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则______. 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，当时，求直线的方程. 16. 已知三个内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若的面积，且，求的周长. 17. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 19. 如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中. （1）已知，求的三角形式； （2）已知为定值，，将复数化为三角形式； （3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $